Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Работа газа

Работа газа: задачки второго уровня

В этой статье будут рассмотрены чуть более сложные задачи, которые иногда потребуют от нас изображения графика процесса (или хотя бы четкого представления о нем). Нужно помнить, что работа численно равна площади под кривой, если процесс изображается в осях p-V.

Задача 1. Некоторый газ расширяется от объема V_1=1 л до объема V_2=11 л. Давление при этом изменяется по закону p=\alpha V, где \alpha=4 Па/м^3. Найти работу, совершаемую газом. Поглощается или выделяется энергия в этом процессе?

К задаче 1

График зависимости давления от объема для этого газа представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Площадь фигуры под графиком численно равна работе. Нам остается только определить площадь трапеции, умножив ее среднюю линию на высоту.

За высоту примем V_2-V_1, тогда средняя линия равна \frac{p_1+p_2}{2}. Отсюда работа газа:

    \[A=\frac{p_1+p_2}{2}( V_2-V_1)= \frac{\alpha V_1+\alpha V_2}{2}( V_2-V_1)= \frac{0,004+0,044}{2}( 0,011-0,001)=0,24\cdot10^{-3}\]

Выясним, поглощается или выделяется энергия в этом процессе. Для этого можно определить внутреннюю энергию газа до и после расширения, или же ее изменение. Изменение внутренней энергии одноатомного газа определяется выражением:

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R (T_2-T_1)= \frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)= \frac{3}{2}(44\cdot0,011-4\cdot0,001)=0,72\]

Ответ: 0,24 мДж, энергия поглощается.

 

Задача 2. Один киломоль идеального газа первоначально находился при давлении p_0 и занимал объем V_0. В процессе расширения до объема V_1 по закону \frac{p}{V}=\frac{p_0}{V_0} газ совершает работу. Определить работу, совершенную газом, и найти изменение температуры газа в этом процессе.

Начальное состояние газа описывается уравнением:

    \[p_0V_0=\nu R T_0\]

Конечное – уравнением:

    \[p_1V_1=\nu R T_1\]

Тогда из первого уравнения начальная температура газа равна:

    \[T_0=\frac{p_0V_0}{\nu R}\]

А конечная температура:

    \[T_1=\frac{p_1V_1}{\nu R}\]

Изменение же температуры:

    \[\Delta T=T_1-T_0=\frac{ p_1V_1- p_0V_0}{\nu R }\]

Из данного закона изменения объема получим: p_1=V_1\frac{p_0}{V_0}, тогда

    \[\Delta T=\frac{ V_1^2\frac{p_0}{V_0}- p_0V_0}{\nu R }=\frac{ p_0(V_1^2- V_0^2)}{V_0\nu R }\]

Так как зависимость давления от объема линейная, то работа, как и в предыдущей задаче, найдется как площадь треугольника под графиком этой зависимости:

    \[A=\frac{p_1+p_0}{2}\cdot(V_1-V_0)= \frac{ V_1\frac{p_0}{V_0}+p_0}{2}\cdot(V_1-V_0)= \frac{p_0(V_1+V_0)(V_1-V_0)}{2V_0}=\frac{p_0}{2V_0}(V_1^2-V_0^2)\]

Ответ: \Delta T=\frac{ p_0(V_1^2- V_0^2)}{V_0\nu R }, A=\frac{p_0}{2V_0}(V_1^2-V_0^2)

Задача 3. Газ расширяется от давления p_1=2\cdot10^3 Па до давления p_2=10^3 Па по закону p=a-bV, где a=const, b=0,5 Па/м^3. Найти работу, совершаемую газом при таком расширении.

И снова линейная зависимость давления от объема. То бишь опять все та же трапеция, площади которой она численно равна:

    \[A=\frac{p_2+p_1}{2}\cdot(V_2-V_1)\]

Из данного закона изменения давления определяем:

    \[p_1=a-bV_1\]

    \[p_2=a-bV_2\]

Тогда V_1=\frac{a-p_1}{b}, V_2=\frac{a-p_2}{b}.

Найдем работу:

    \[A=\frac{p_2+p_1}{2}\cdot(\frac{a-p_2}{b}-\frac{a-p_1}{b})=\frac{p_1^2-p_2^2}{2b}=4\cdot10^6-10^6=3\cdot10^6\]

Ответ:  A=3\cdot10^6 Дж

 

Задача 4. Температура некоторой массы m идеального газа молярной массы M меняется по закону T=\alpha V^2, где \alpha=const. Найти работу, совершенную газом при увеличении объема от V_1 до V_2. Поглощается или выделяется тепло в таком процессе?

Так как растет объем, то температура, очевидно, тоже растет:

    \[T_1=\alpha V_1^2\]

    \[T_2=\alpha V_2^2\]

Тогда увеличивается внутренняя энергия газа:

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R (T_2-T_1)\]

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \alpha(V_2^2-V_1^2)= \frac{3m}{2M} R \alpha(V_2^2-V_1^2)\]

Из основного газового закона имеем:

    \[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\]

Или

    \[\frac{p_1V_1}{{\alpha} {V_1}^2}=\frac{p_2 V_2}{{\alpha}{ V_2}^2}\]

Сокращая, получим, что давление зависит от объема линейно:

    \[\frac{p_1}{V_1}=\frac{p_2}{V_2}\]

Тогда работа численно равна площади под прямой (площади трапеции), и может быть вычислена как:

    \[A=\frac{p_2+p_1}{2}\cdot(V_2-V_1)\]

    \[p_1V_1=\nu R T_1=\frac{m}{M}R \alpha V_1^2\]

    \[p_1=\nu R T_1=\frac{m}{M}R \alpha V_1\]

    \[p_2V_2=\nu R T_2=\frac{m}{M}R \alpha V_2^2\]

    \[p_2=\nu R T_2=\frac{m}{M}R \alpha V_2\]

Тогда работа:

    \[A=\frac{m}{2M}R \alpha (V_2+V_1)\cdot(V_2-V_1)= \frac{m}{2M}R \alpha \cdot(V_2^2-V_1^2)\]

Ответ: A=\frac{m}{2M}R \alpha \cdot(V_2^2-V_1^2)

 

Задача 5. Объем газа увеличился в 2 раза: один раз изотермически, другой раз изобарически. В каком из этих случаев газ совершил большую работу?

К задаче 5

Из рисунка хорошо видно, что при изобарическом процессе фигура под кривой (точнее, под прямой, потому что в координатах p-V изобарный процесс – прямая, параллельная ос абсцисс) представляет собой прямоугольник, и его площади численно равна работа. При изотермическом процессе фигура обладает меньшей площадью (фигура голубого цвета).

Комментариев - 11

  • Адам
    |

    В задаче номер один разве площадь под графиком, которая численно равна работе, является треугольником. По-моему это трапеция и тогда решение совсем другое во всех задачах не только в первой.

    Ответить
  • Адам
    |

    Извините я тут немного перепутал-формула то правильная и вычисления, только вы говорите что вычисляете площадь треугольника а на самом деле вычислили площадь трапеции

    Ответить
  • Адам
    |

    И рисунок тогда немного другой

    Ответить
    • Анна
      |

      Рисунок поправила, чтоб не смущал.

      Ответить
  • Адам
    |

    Ещё в задаче № 3 ошибка там V равно p-a/-b, а не то что в решение и тогда формула работы другая

    Ответить
    • Анна
      |

      Нет, правильно, нет ошибки. Перепроверьте у себя, Адам.

      Ответить
  • Адам
    |

    В четвёртой задаче почему у вас конце решения молярная масса удвоилась, ведь в условии не говорится что газ двух атомный.

    Ответить
    • Анна
      |

      Это двойка, пришедшая из формулы для площади трапеции, а не удвоение молярной массы.

      Ответить
  • Адам
    |

    Всё равно вопрос по задаче номер 3, вы утверждаете что V=a-p/b. Как? Как если p=a-bV,a переносится и меняется знак и делим всё на -b => p-a/-b. Ещё в условии говорится что газ расширяется хотя давление уменьшается и по формуле объём тоже уменьшается а значит идёт сжатие газа.
    P.S.заранее прошу прощение если что-то упускаю.

    Ответить
    • Анна
      |

      По условию p=a-bV, или bV=a-p, или V=\frac{a-p}{b}. Газ расширяется при уменьшении давления – противоположный процесс (при увеличении давления) был бы сжатием. По формуле объем уменьшается? По какой? Объем растет.

      Ответить
  • Адам
    |

    Да точно. Всё понятно спасибо. Кое-что упустил

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *