Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Работа газа

Работа газа: сложные задачи.

Рассмотрим задачи чуть более сложные. Здесь в основном требуется найти работу газа при изотермическом процессе, то есть определить площадь криволинейной трапеции, а для этого нужно уметь брать определенный интеграл элементарных функций.

Задача 1. Какую работу совершает при изотермическом расширении водород, взятый при температуре t=11^{\circ}C, если его объем увеличивается в три раза? Масса водорода m=5 г.

К задаче 1

Так как процесс изотермический, и зависимость давления от объема представляет собой гиперболу, то найти площадь под такой кривой нам поможет интегрирование.

    \[A=S=\int\limits_{V_1}^{V_2} p dV =\frac{m}{M} RT\int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V}\, dV\]

Найдем определенный интеграл:

    \[A=\frac{m}{M} RT \ln V \Bigr|_{V_1}^{V_2} =\frac{m}{M} RT (\ln V_2-\ln V_1)=\]

 

    \[= \frac{m}{M} RT \ln {\frac{V_2}{V_1}}=\frac{0,005}{0,002} 8,31\cdot(273+11) \ln {3}=6481,8\]

Ответ:  6481,8 Дж или  6,5 кДж

 

Задача 2. Газ, занимающий объем V_1=10 л при давлении  p_1=2\cdot10^5 Па, расширяется изотермически до объема V_2=28 л. Какую работу он при этом совершает?

Аналогично предыдущей задаче, найдем площадь под кривой процесса с помощью интеграла:

    \[A=S=\int\limits_{V_1}^{V_2} p dV =\nu RT\int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V}\, dV\]

    \[A=\nu RT \ln V \Bigr|_{V_1}^{V_2} =\nu RT (\ln V_2-\ln V_1)= \nu RT \ln {\frac{V_2}{V_1}}\]

Так как начальное состояние газа можно описать уравнением p_1V_1=\nu RT, то

    \[A= p_1V_1\ln {\frac{V_2}{V_1}}=2\cdot10^5\cdot0,01\ln {2,8}=2059\]

Ответ:  2059 Дж или  2,06 кДж

Задача 3. Воздух массой m=1 кг находится под поршнем в цилиндре. Давление воздуха p=8\cdot10^5 Па, а температура t=158^{\circ}C. При изотермическом расширении его давление уменьшилось вдвое. Найти работу, совершаемую газом, и его конечный объем.

Найдем площадь под кривой процесса с помощью интеграла:

    \[A=S=\int\limits_{V_1}^{V_2} p dV =\nu RT\int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V}\, dV\]

    \[A=\nu RT \ln V \Bigr|_{V_1}^{V_2} =\nu RT (\ln V_2-\ln V_1)= \nu RT \ln {\frac{V_2}{V_1}}\]

Так как начальное состояние газа можно описать уравнением p_1V_1=p_2V_2, то \frac{V_2}{V_1}=\frac{p_1}{p_2}

Подставим:

    \[A= \nu RT \ln {\frac{V_2}{V_1}}= \nu RT \ln {\frac{p_1}{p_2}}= \frac{m}{M}RT \ln {\frac{p_1}{p_2}}=\frac{1}{0,029}8,31\cdot(273+158) \ln {2}=85606\]

Ответ:  85606 Дж или  85,6 кДж

 

Задача 4. Газ, занимающий объем V_1=1 л при давлении  p_1=1 атм, расширился изотермически до объема V_2=2 л. Затем при постоянном объеме давление газа было уменьшено в два раза. В дальнейшем газ расширился при постоянном давлении до объема V_3=4 л. Начертить график зависимости давления от объема и, используя его, установить, в каком из перечисленных процессов газ совершил наибольшую работу. Как менялась температура в каждом процессе?

К задаче 4

По закону Бойля-Мариотта p_1V_1=p_2V_2, поэтому p_2=\frac{ p_1V_1}{V_2}=\frac{p_1}{2}

Далее давление уменьшилось еще вдвое (по условию): p_3=\frac{p_1}{4}.

Таким образом, работа, численно равная площади под изображенным графиком, равна:

а) первый участок, изотермический процесс:

    \[A_1=S=\int\limits_{V_1}^{V_2} p dV =\nu RT\int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V}\ dV\]

    \[A_1=\nu RT \ln V \Bigr|_{V_1}^{V_2} =\nu RT (\ln V_2-\ln V_1)= \nu RT \ln {\frac{V_2}{V_1}}\]

\frac{V_2}{V_1}=\frac{p_1}{p_2}

Так как  p_1V_1=\nu RT, то

    \[A_1= p_1V_1\ln {\frac{V_2}{V_1}}= p_1V_1\ln {\frac{p_1}{p_2}}= p_1V_1 \ln {\frac{p_1}{p_2}}=10^5\cdot0,001\ln {2}=69\]

На первом участке работа равна 69 Дж.

б) Второй участок – изохорный процесс, работа равна 0.

в) Третий участок – изобара.  Процесс происходит по закону Гей-Люссака: \frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}.

    \[A_3=p_3\Delta V=p_3(V_3-V_2)= \frac{p_1}{4}( V_3-V_2)=0,25\cdot10^5(0,004-0,002)=50\]

На третьем участке работа равна 50 Дж.

Ответ на первый вопрос задачи готов, работа на первом участке наибольшая. Теперь посмотрим, как менялась температура. Очевидно, что на первом участке T_1=T_2. Далее изохорный процесс, \frac{p_2}{T_1}=\frac{p_3}{T_2}. Тогда \frac{T_2}{T_1}=\frac{p_3}{p_2}=\frac{1}{2}, следовательно, T_2=\frac{1}{2}T_1, температура упала вдвое. На изобаре (третий участок) \frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}, T_3=\frac{T_2V_3}{V_2}=2T_2 – температура вновь выросла вдвое. То есть к концу процесса температура такая же, как и вначале, и точки a и b должны лежать на одной изотерме.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *