Работа газа: сложные задачи.

Рассмотрим задачи чуть более сложные. Здесь в основном требуется найти работу газа при изотермическом процессе, то есть определить площадь криволинейной трапеции, а для этого нужно уметь брать определенный интеграл элементарных функций.

Задача 1. Какую работу совершает при изотермическом расширении водород, взятый при температуре , если его объем увеличивается в три раза? Масса водорода г.

К задаче 1

Так как процесс изотермический, и зависимость давления от объема представляет собой гиперболу, то найти площадь под такой кривой нам поможет интегрирование.

Найдем определенный интеграл:

Ответ:  6481,8 Дж или  6,5 кДж

Задача 2. Газ, занимающий объем л при давлении  Па, расширяется изотермически до объема л. Какую работу он при этом совершает?

Аналогично предыдущей задаче, найдем площадь под кривой процесса с помощью интеграла:

Так как начальное состояние газа можно описать уравнением , то

Ответ:  2059 Дж или  2,06 кДж

Задача 3. Воздух массой кг находится под поршнем в цилиндре. Давление воздуха Па, а температура . При изотермическом расширении его давление уменьшилось вдвое. Найти работу, совершаемую газом, и его конечный объем.

Найдем площадь под кривой процесса с помощью интеграла:

Так как начальное состояние газа можно описать уравнением , то

Подставим:

Ответ:  85606 Дж или  85,6 кДж

Задача 4. Газ, занимающий объем л при давлении  атм, расширился изотермически до объема л. Затем при постоянном объеме давление газа было уменьшено в два раза. В дальнейшем газ расширился при постоянном давлении до объема л. Начертить график зависимости давления от объема и, используя его, установить, в каком из перечисленных процессов газ совершил наибольшую работу. Как менялась температура в каждом процессе?

К задаче 4

По закону Бойля-Мариотта , поэтому

Далее давление уменьшилось еще вдвое (по условию): .

Таким образом, работа, численно равная площади под изображенным графиком, равна:

а) первый участок, изотермический процесс:

Так как  , то

На первом участке работа равна 69 Дж.

б) Второй участок – изохорный процесс, работа равна 0.

в) Третий участок – изобара.  Процесс происходит по закону Гей-Люссака: .

На третьем участке работа равна 50 Дж.

Ответ на первый вопрос задачи готов, работа на первом участке наибольшая. Теперь посмотрим, как менялась температура. Очевидно, что на первом участке . Далее изохорный процесс, . Тогда , следовательно, , температура упала вдвое. На изобаре (третий участок) , – температура вновь выросла вдвое. То есть к концу процесса температура такая же, как и вначале, и точки и должны лежать на одной изотерме.