Работа газа: сложные задачи.

[latexpage]

Рассмотрим задачи чуть более сложные. Здесь в основном требуется найти работу газа при изотермическом процессе, то есть определить площадь криволинейной трапеции, а для этого нужно уметь брать определенный интеграл элементарных функций.

Задача 1. Какую работу совершает при изотермическом расширении водород, взятый при температуре $t=11^{\circ}C$, если его объем увеличивается в три раза? Масса водорода $m=5$ г.

К задаче 1

Так как процесс изотермический, и зависимость давления от объема представляет собой гиперболу, то найти площадь под такой кривой нам поможет интегрирование.

$$A=S=\int\limits_{V_1}^{V_2} p dV =\frac{m}{M} RT\int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V}\, dV$$

Найдем определенный интеграл:

$$A=\frac{m}{M} RT \ln V \Bigr|_{V_1}^{V_2} =\frac{m}{M} RT (\ln V_2-\ln V_1)=$$  $$= \frac{m}{M} RT \ln {\frac{V_2}{V_1}}=\frac{0,005}{0,002} 8,31\cdot(273+11) \ln {3}=6481,8$$

Ответ:  6481,8 Дж или  6,5 кДж

Задача 2. Газ, занимающий объем $V_1=10$ л при давлении  $p_1=2\cdot10^5$ Па, расширяется изотермически до объема $V_2=28$ л. Какую работу он при этом совершает?

Аналогично предыдущей задаче, найдем площадь под кривой процесса с помощью интеграла:

$$A=S=\int\limits_{V_1}^{V_2} p dV =\nu RT\int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V}\, dV$$

$$A=\nu RT \ln V \Bigr|_{V_1}^{V_2} =\nu RT (\ln V_2-\ln V_1)= \nu RT \ln {\frac{V_2}{V_1}}$$

Так как начальное состояние газа можно описать уравнением $p_1V_1=\nu RT$, то

$$A= p_1V_1\ln {\frac{V_2}{V_1}}=2\cdot10^5\cdot0,01\ln {2,8}=2059$$

Ответ:  2059 Дж или  2,06 кДж

Задача 3. Воздух массой $m=1$ кг находится под поршнем в цилиндре. Давление воздуха $p=8\cdot10^5$ Па, а температура $t=158^{\circ}C$. При изотермическом расширении его давление уменьшилось вдвое. Найти работу, совершаемую газом, и его конечный объем.

Найдем площадь под кривой процесса с помощью интеграла:

$$A=S=\int\limits_{V_1}^{V_2} p dV =\nu RT\int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V}\, dV$$

$$A=\nu RT \ln V \Bigr|_{V_1}^{V_2} =\nu RT (\ln V_2-\ln V_1)= \nu RT \ln {\frac{V_2}{V_1}}$$

Так как начальное состояние газа можно описать уравнением $p_1V_1=p_2V_2$, то $\frac{V_2}{V_1}=\frac{p_1}{p_2}$

Подставим:

$$A= \nu RT \ln {\frac{V_2}{V_1}}= \nu RT \ln {\frac{p_1}{p_2}}= \frac{m}{M}RT \ln {\frac{p_1}{p_2}}=\frac{1}{0,029}8,31\cdot(273+158) \ln {2}=85606$$

Ответ:  85606 Дж или  85,6 кДж

Задача 4. Газ, занимающий объем $V_1=1$ л при давлении  $p_1=1$ атм, расширился изотермически до объема $V_2=2$ л. Затем при постоянном объеме давление газа было уменьшено в два раза. В дальнейшем газ расширился при постоянном давлении до объема $V_3=4$ л. Начертить график зависимости давления от объема и, используя его, установить, в каком из перечисленных процессов газ совершил наибольшую работу. Как менялась температура в каждом процессе?

К задаче 4

По закону Бойля-Мариотта $p_1V_1=p_2V_2$, поэтому $p_2=\frac{ p_1V_1}{V_2}=\frac{p_1}{2}$

Далее давление уменьшилось еще вдвое (по условию): $p_3=\frac{p_1}{4}$.

Таким образом, работа, численно равная площади под изображенным графиком, равна:

а) первый участок, изотермический процесс:

$$A_1=S=\int\limits_{V_1}^{V_2} p dV =\nu RT\int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V}\ dV$$

$$A_1=\nu RT \ln V \Bigr|_{V_1}^{V_2} =\nu RT (\ln V_2-\ln V_1)= \nu RT \ln {\frac{V_2}{V_1}}$$

$\frac{V_2}{V_1}=\frac{p_1}{p_2}$

Так как  $p_1V_1=\nu RT$, то

$$A_1= p_1V_1\ln {\frac{V_2}{V_1}}= p_1V_1\ln {\frac{p_1}{p_2}}= p_1V_1 \ln {\frac{p_1}{p_2}}=10^5\cdot0,001\ln {2}=69$$

На первом участке работа равна 69 Дж.

б) Второй участок – изохорный процесс, работа равна 0.

в) Третий участок – изобара.  Процесс происходит по закону Гей-Люссака: $\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}$.

$$A_3=p_3\Delta V=p_3(V_3-V_2)= \frac{p_1}{4}( V_3-V_2)=0,25\cdot10^5(0,004-0,002)=50$$

На третьем участке работа равна 50 Дж.

Ответ на первый вопрос задачи готов, работа на первом участке наибольшая. Теперь посмотрим, как менялась температура. Очевидно, что на первом участке $T_1=T_2$. Далее изохорный процесс, $\frac{p_2}{T_1}=\frac{p_3}{T_2}$. Тогда $\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_3}{p_2}=\frac{1}{2}$, следовательно, $T_2=\frac{1}{2}T_1$, температура упала вдвое. На изобаре (третий участок) $\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}$, $T_3=\frac{T_2V_3}{V_2}=2T_2$ – температура вновь выросла вдвое. То есть к концу процесса температура такая же, как и вначале, и точки $a$ и $b$ должны лежать на одной изотерме.