Работа газа: простые задачи

Разберем несколько простых, подготовительных задач на работу газа. Придется вспомнить основные газовые законы, понятие количества вещества и то, как найти работу газа по графику в координатах p,V.

Задача 1. Один киломоль газа при изобарическом расширении совершает работу $A=831$ кДж. В исходном состоянии объем газа $V_1=3$ м $^3$ , а температура $T_1=300$ К. Каковы параметры газа $p_2, V_2, T_2$ после расширения?

Работа, совершенная газом, равна

$A=p\Delta V=\nu R \Delta T$

Откуда изменение температуры газа:

$\Delta T= \frac{A}{\nu R}=T_2-T_1$

$T_2=\frac{A}{\nu R}+T_1=\frac{831\cdot10^3}{10^3\cdot8,31}+300=400$

Давление газа, как следует из условия, не менялось, поэтому $p_2=p_1$ .

$p_1V_1=\nu R T_1$

$p_1=\frac{\nu R T_1}{ V_1}=\frac{10^3\cdot8,31\cdot300}{3}=8,31\cdot10^5$

Объем расширившегося газа найдем из закона Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

$V_2=\frac{V_1T_2}{T_1}=\frac{3\cdot400}{300}=4$

Ответ: $p_1=p_2=831$ кПа, $V_2=4$ м $^3$ , $T_2=400$ К.

Задача 2. В вертикальном цилиндре с площадью основания $S=10$ см $^2$ находится газ при температуре $t=17^{\circ}C$ . На высоте $h=25$ см от основания цилиндра расположен легкий поршень, на который поставлена гиря весом $P=20$ Н. Какую работу совершит газ при расширении, если его нагреть на $\Delta t=100^{\circ}C$ ? Атмосферное давление $p_0=10^5$ Па. Трения в системе нет.

Раз газ выдерживает гирю (поршень в равновесии), значит, его давление до нагрева равно

$p_1=p_0+\frac{P}{S}$

Здесь $S=0,001$ м $^2$ . Объем газа до нагревания, очевидно, равен $V=Sh$ . Тогда состояние газа до нагрева можно описать уравнением:

$p_1V_1=\nu R T_1$

$\left(p_0+\frac{P}{S}\right)Sh=\nu R T_1$

Откуда найдем количество газа:

$\nu R=\frac{\left(p_0+\frac{P}{S}\right)Sh }{ T_1}$

Работа, совершенная газом, равна

$A=p\Delta V=\nu R \Delta T$

$A=\frac{\left(p_0+\frac{P}{S}\right)Sh \Delta T }{ T_1}$

$A=\frac{\left(10^5+\frac{20}{0,001}\right)0,001\cdot0,25 \cdot100}{ 273+17}=10,3$

Ответ: 10,3 Дж.

Задача 3. В цилиндре под поршнем находится водород при температуре $t=30^{\circ}C$ , занимающий объем $V=8$ дм $^3$ при давлении $p=2\cdot10^5$ Па. Как изменится температура водорода, если при постоянном давлении совершить над ним работу $A=50$ Дж?

Если давление постоянно, то соблюдается закон Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

$V_2=\frac{V_1T_2}{T_1}$

Работа, совершенная газом, равна

$-A=p\Delta V=p(V_2-V_1)=p(\frac{V_1T_2}{T_1}-V_1)=pV_1(\frac{T_2}{T_1}-1)$

Тогда

$\frac{T_2}{T_1}=-\frac{A}{pV_1}+1$

$T_2=-\frac{AT_1}{pV_1}+T_1=-\frac{AT_1}{pV_1}+T_1$

Можно найти сразу же изменение температуры:

$\Delta T=T_2-T_1=-\frac{AT_1}{pV_1}=-\frac{50\cdot 303}{2\cdot10^5\cdot0,008}=-9,4$

Ответ: $\Delta T=-9,4$ К

Задача 4. При изобарическом нагревании от температуры $t_1=20^{\circ}C$ до температуры $t_2=50^{\circ}C$ газ совершает работу $A=2,5$ кДж. Определить число молекул газа, участвующих в этом процессе.

Работа, совершенная газом, равна

$A=p\Delta V=\nu R \Delta T$

Откуда $\nu R=\frac{A}{\Delta T}$

Перепишем иначе:

$\nu N_A k=\frac{A}{\Delta T}$

Здесь $N_A$ – постоянная Авогадро, $k$ – постоянная Больцмана.

Но $\nu N_A=N$ , поэтому

$N=\frac{A}{k\Delta T }=\frac{2500}{1,38\cdot10^{-23}\cdot(50-20) }=6\cdot10^{24}$

Ответ: $N=6\cdot10^{24}$

Задача 5. Найти работу изобарического расширения двух молей идеального одноатомного газа, если известно, что концентрация молекул в конечном состоянии вдвое меньше, чем в начальном при температуре $T=300$ К.

Запишем уравнения для обоих состояний газа:

$p_1=n_1kT_1$

$p_2=n_2kT_2$

А теперь просто разделим уравнения друг на друга:

$\frac{p_1}{p_2}=\frac{n_1T_1}{n_2 T_2}$

Нам известно, что $n_1=2n_2$ , поэтому

$\frac{p_1}{p_2}=\frac{2n_2T_1}{n_2 T_2}=\frac{2T_1}{ T_2}$

Так как процесс изобарный, то $p_1=p_2$ :

$\frac{p_1}{p_2}=1=\frac{2T_1}{ T_2}$

$T_2=2T_1=600$

Тогда $\Delta T=T_2-T_1=300$ К, а работа равна:

$A= p\Delta V=\nu R \Delta T=2\cdot8,31\cdot300=4986$

Ответ: 5кДж

Задача 6. Водород массой $m=2$ кг при температуре $T=300$ К охлаждают изохорически так, что его давление падает в $n=3$ раза. Затем водород изобарически расширяется. Найти работу газа, если его конечная температура равна начальной.

К задаче 6

Опишем оба состояния газа уравнениями:

$p_1V_1=\nu R T_1$

$p_2V_2=\nu R T_2$

Разделим уравнения друг на друга:

$\frac{ p_1V_1}{ p_2V_2}=1$

Так как $p_2=\frac{p_1}{3}$ , то

$\frac{ 3p_1V_1}{ p_1V_2}=1$

$\frac{ V_1}{ V_2}=\frac{1}{3}$

Или $V_2=3V_1$ .

Тогда, поскольку в первом процессе газ не совершал работы, работа газа равна:

$A=p_2\Delta V=\frac{p_1}{3}\cdot 2V_1=\frac{2}{3}p_1V_1$

$A=\frac{2}{3}\nu R T_1=\frac{2}{3}\frac{m}{M} R T_1=\frac{2}{3}\frac{2}{2\cdot10^{-3}} 8,31\cdot300=1,66\cdot10^6$

Ответ: $A=1,66\cdot10^6$ Дж

К задаче 7

Задача 7. Некоторая масса газа, занимающего объем $V_1=0,01$ м $^3$ , находится под давлением $p_1=10^5$ Па при температуре $T_1=300$ К. Газ нагревают при постоянном объеме до температуры $T_2=320$ К, а затем при постоянном давлении до температуры $T_3=350$ К. Найти работу, совершаемую газом при переходе из состояния 1 в состояние 3.