Работа газа: простые задачи

Разберем несколько простых,  подготовительных задач на работу газа. Придется вспомнить основные газовые законы, понятие количества вещества и то, как найти работу газа по графику в координатах p,V.

[latexpage]

Задача 1. Один киломоль газа при изобарическом расширении совершает работу $A=831$ кДж. В исходном состоянии объем газа $V_1=3$ м$^3$, а температура $T_1=300$ К. Каковы параметры газа $p_2, V_2, T_2$ после расширения?

Работа, совершенная газом, равна

$$A=p\Delta V=\nu R \Delta T$$

Откуда изменение температуры газа:

$$\Delta T= \frac{A}{\nu R}=T_2-T_1$$

$$\Delta T= \frac{A}{\nu R}=T_2-T_1$$

$$T_2=\frac{A}{\nu R}+T_1=\frac{831\cdot10^3}{10^3\cdot8,31}+300=400$$

Давление газа, как следует из условия, не менялось, поэтому $p_2=p_1$.

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

$$p_1=\frac{\nu R T_1}{ V_1}=\frac{10^3\cdot8,31\cdot300}{3}=8,31\cdot10^5$$

Объем расширившегося газа найдем из закона Гей-Люссака:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

$$V_2=\frac{V_1T_2}{T_1}=\frac{3\cdot400}{300}=4$$

Ответ: $p_1=p_2=831$ кПа, $V_2=4$ м$^3$, $T_2=400$ К.

 

Задача 2. В вертикальном цилиндре с площадью основания $S=10$ см$^2$ находится газ при температуре $t=17^{\circ}C$. На высоте $h=25$ см от основания цилиндра расположен легкий поршень, на который поставлена гиря весом $P=20$ Н. Какую работу совершит газ при расширении, если его нагреть на $\Delta t=100^{\circ}C$? Атмосферное давление $p_0=10^5$ Па. Трения в системе нет.

Раз газ выдерживает гирю (поршень в равновесии), значит, его давление до нагрева равно

$$p_1=p_0+\frac{P}{S}$$

Здесь $S=0,001$ м$^2$. Объем газа до нагревания, очевидно, равен $V=Sh$. Тогда состояние газа до нагрева можно описать уравнением:

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

$$ \left(p_0+\frac{P}{S}\right)Sh=\nu R T_1$$

Откуда найдем количество газа:

$$\nu R=\frac{\left(p_0+\frac{P}{S}\right)Sh }{ T_1}$$

Работа, совершенная газом, равна

$$A=p\Delta V=\nu R \Delta T$$

$$A=\frac{\left(p_0+\frac{P}{S}\right)Sh \Delta T }{ T_1} $$

$$A=\frac{\left(10^5+\frac{20}{0,001}\right)0,001\cdot0,25 \cdot100}{ 273+17}=10,3 $$

Ответ: 10,3 Дж.

 

Задача 3. В цилиндре под поршнем находится водород при температуре $t=30^{\circ}C$, занимающий объем $V=8$ дм$^3$ при давлении $p=2\cdot10^5$ Па. Как изменится температура водорода, если при постоянном давлении совершить над ним работу $A=50$ Дж?

Если давление постоянно, то соблюдается закон Гей-Люссака:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

$$V_2=\frac{V_1T_2}{T_1}$$

Работа, совершенная  газом, равна

$$-A=p\Delta V=p(V_2-V_1)=p(\frac{V_1T_2}{T_1}-V_1)=pV_1(\frac{T_2}{T_1}-1)$$

Тогда

$$\frac{T_2}{T_1}=-\frac{A}{pV_1}+1$$

$$T_2=-\frac{AT_1}{pV_1}+T_1=-\frac{AT_1}{pV_1}+T_1$$

Можно найти сразу же изменение температуры:

$$\Delta T=T_2-T_1=-\frac{AT_1}{pV_1}=-\frac{50\cdot 303}{2\cdot10^5\cdot0,008}=-9,4$$

Ответ: $\Delta T=-9,4$ К

Задача 4. При изобарическом нагревании от температуры $t_1=20^{\circ}C$ до температуры $t_2=50^{\circ}C$ газ совершает работу $A=2,5$ кДж. Определить число молекул газа, участвующих в этом процессе.

Работа, совершенная газом, равна

$$A=p\Delta V=\nu R \Delta T$$

Откуда $\nu R=\frac{A}{\Delta T}$

Перепишем иначе:

$$\nu N_A k=\frac{A}{\Delta T}$$

Здесь $N_A$ – постоянная Авогадро, $k$ – постоянная Больцмана.

Но $\nu N_A=N$, поэтому

$$N=\frac{A}{k\Delta T }=\frac{2500}{1,38\cdot10^{-23}\cdot(50-20) }=6\cdot10^{24}$$

Ответ: $N=6\cdot10^{24}$

 

Задача 5. Найти работу изобарического расширения двух молей идеального одноатомного газа, если известно, что концентрация молекул в конечном состоянии вдвое меньше, чем в начальном при температуре $T=300$ К.

Запишем уравнения для обоих состояний газа:

$$p_1=n_1kT_1$$

$$p_2=n_2kT_2$$

А теперь просто разделим уравнения друг на друга:

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{n_1T_1}{n_2 T_2}$$

Нам известно, что $n_1=2n_2$, поэтому

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{2n_2T_1}{n_2 T_2}=\frac{2T_1}{ T_2}$$

Так как процесс изобарный, то $p_1=p_2$:

$$\frac{p_1}{p_2}=1=\frac{2T_1}{ T_2}$$

$$T_2=2T_1=600$$

Тогда $\Delta T=T_2-T_1=300$ К, а работа равна:

$$A= p\Delta V=\nu R \Delta T=2\cdot8,31\cdot300=4986$$

Ответ: 5кДж

 

Задача 6. Водород массой $m=2$ кг при температуре $T=300$ К охлаждают изохорически так, что его давление падает в $n=3$   раза. Затем водород изобарически расширяется. Найти работу газа, если его конечная температура равна начальной.

Опишем оба состояния газа уравнениями:

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

$$p_2V_2=\nu R T_2$$

Разделим уравнения друг на друга:

$$\frac{ p_1V_1}{ p_2V_2}=1$$

Так как $p_2=\frac{p_1}{3}$, то

$$\frac{ 3p_1V_1}{ p_1V_2}=1$$

$$\frac{ V_1}{ V_2}=\frac{1}{3}$$

Или $V_2=3V_1$.

Тогда, поскольку в первом процессе газ не совершал работы,  работа газа равна:

$$A=p_2\Delta V=\frac{p_1}{3}\cdot 2V_1=\frac{2}{3}p_1V_1$$ $$A=\frac{2}{3}\nu R T_1=\frac{2}{3}\frac{m}{M} R T_1=\frac{2}{3}\frac{2}{2\cdot10^{-3}} 8,31\cdot300=1,66\cdot10^6$$

Ответ: $A=1,66\cdot10^6$ Дж

 

Задача 7. Некоторая масса газа, занимающего объем $V_1=0,01$ м$^3$, находится под давлением $p_1=10^5$ Па при температуре $T_1=300$ К. Газ нагревают при постоянном объеме до температуры $T_2=320$ К, а затем при постоянном давлении до температуры $T_3=350$ К. Найти работу, совершаемую газом при переходе из состояния 1 в состояние 3.

 

Из рисунка видно, что $A=p_2(V_3-V_2)$

Состояние газа вначале можно описать уравнением:

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

Затем от точки 1 до точки 2 выполняется закон Шарля:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$

Откуда $p_2=\frac{p_1T_2}{T_1}$.

Затем от точки 2 до точки 3 выполняется закон Гей-Люссака:

$$\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}$$

Следовательно,

$$V_3=\frac{V_2T_3}{T_2}$$

Тогда запишем работу:

$$A=\frac{p_1T_2}{T_1}\left(\frac{V_2T_3}{T_2}-V_2\right)$$

Так как $V_1=V_2$, то

$$A=\frac{p_1T_2}{T_1}\left(\frac{V_1T_3}{T_2}-V_1\right)= \frac{p_1V_1}{T_1}\left( T_3-T_2\right)=$$

$$=\frac{10^5\cdot0,01}{300}\left(350- 320\right)=100$$

Ответ: $A=100$ Дж