Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Работа газа

Работа газа: простые задачи

Разберем несколько простых,  подготовительных задач на работу газа. Придется вспомнить основные газовые законы, понятие количества вещества и то, как найти работу газа по графику в координатах p,V.

Задача 1. Один киломоль газа при изобарическом расширении совершает работу A=831 кДж. В исходном состоянии объем газа V_1=3 м^3, а температура T_1=300 К. Каковы параметры газа p_2, V_2, T_2 после расширения?

Работа, совершенная газом, равна

    \[A=p\Delta V=\nu R \Delta T\]

Откуда изменение температуры газа:

    \[\Delta T= \frac{A}{\nu R}=T_2-T_1\]

    \[\Delta T= \frac{A}{\nu R}=T_2-T_1\]

    \[T_2=\frac{A}{\nu R}+T_1=\frac{831\cdot10^3}{10^3\cdot8,31}+300=400\]

Давление газа, как следует из условия, не менялось, поэтому p_2=p_1.

    \[p_1V_1=\nu R T_1\]

    \[p_1=\frac{\nu R T_1}{ V_1}=\frac{10^3\cdot8,31\cdot300}{3}=8,31\cdot10^5\]

Объем расширившегося газа найдем из закона Гей-Люссака:

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

    \[V_2=\frac{V_1T_2}{T_1}=\frac{3\cdot400}{300}=4\]

Ответ: p_1=p_2=831 кПа, V_2=4 м^3, T_2=400 К.

 

Задача 2. В вертикальном цилиндре с площадью основания S=10 см^2 находится газ при температуре t=17^{\circ}C. На высоте h=25 см от основания цилиндра расположен легкий поршень, на который поставлена гиря весом P=20 Н. Какую работу совершит газ при расширении, если его нагреть на \Delta t=100^{\circ}C? Атмосферное давление p_0=10^5 Па. Трения в системе нет.

Раз газ выдерживает гирю (поршень в равновесии), значит, его давление до нагрева равно

    \[p_1=p_0+\frac{P}{S}\]

Здесь S=0,001 м^2. Объем газа до нагревания, очевидно, равен V=Sh. Тогда состояние газа до нагрева можно описать уравнением:

    \[p_1V_1=\nu R T_1\]

    \[\left(p_0+\frac{P}{S}\right)Sh=\nu R T_1\]

Откуда найдем количество газа:

    \[\nu R=\frac{\left(p_0+\frac{P}{S}\right)Sh }{ T_1}\]

Работа, совершенная газом, равна

    \[A=p\Delta V=\nu R \Delta T\]

    \[A=\frac{\left(p_0+\frac{P}{S}\right)Sh \Delta T }{ T_1}\]

    \[A=\frac{\left(10^5+\frac{20}{0,001}\right)0,001\cdot0,25 \cdot100}{ 273+17}=10,3\]

Ответ: 10,3 Дж.

 

Задача 3. В цилиндре под поршнем находится водород при температуре t=30^{\circ}C, занимающий объем V=8 дм^3 при давлении p=2\cdot10^5 Па. Как изменится температура водорода, если при постоянном давлении совершить над ним работу A=50 Дж?

Если давление постоянно, то соблюдается закон Гей-Люссака:

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

    \[V_2=\frac{V_1T_2}{T_1}\]

Работа, совершенная  газом, равна

    \[-A=p\Delta V=p(V_2-V_1)=p(\frac{V_1T_2}{T_1}-V_1)=pV_1(\frac{T_2}{T_1}-1)\]

Тогда

    \[\frac{T_2}{T_1}=-\frac{A}{pV_1}+1\]

    \[T_2=-\frac{AT_1}{pV_1}+T_1=-\frac{AT_1}{pV_1}+T_1\]

Можно найти сразу же изменение температуры:

    \[\Delta T=T_2-T_1=-\frac{AT_1}{pV_1}=-\frac{50\cdot 303}{2\cdot10^5\cdot0,008}=-9,4\]

Ответ: \Delta T=-9,4 К

Задача 4. При изобарическом нагревании от температуры t_1=20^{\circ}C до температуры t_2=50^{\circ}C газ совершает работу A=2,5 кДж. Определить число молекул газа, участвующих в этом процессе.

Работа, совершенная газом, равна

    \[A=p\Delta V=\nu R \Delta T\]

Откуда \nu R=\frac{A}{\Delta T}

Перепишем иначе:

    \[\nu N_A k=\frac{A}{\Delta T}\]

Здесь N_A – постоянная Авогадро, k – постоянная Больцмана.

Но \nu N_A=N, поэтому

    \[N=\frac{A}{k\Delta T }=\frac{2500}{1,38\cdot10^{-23}\cdot(50-20) }=6\cdot10^{24}\]

Ответ: N=6\cdot10^{24}

 

Задача 5. Найти работу изобарического расширения двух молей идеального одноатомного газа, если известно, что концентрация молекул в конечном состоянии вдвое меньше, чем в начальном при температуре T=300 К.

Запишем уравнения для обоих состояний газа:

    \[p_1=n_1kT_1\]

    \[p_2=n_2kT_2\]

А теперь просто разделим уравнения друг на друга:

    \[\frac{p_1}{p_2}=\frac{n_1T_1}{n_2 T_2}\]

Нам известно, что n_1=2n_2, поэтому

    \[\frac{p_1}{p_2}=\frac{2n_2T_1}{n_2 T_2}=\frac{2T_1}{ T_2}\]

Так как процесс изобарный, то p_1=p_2:

    \[\frac{p_1}{p_2}=1=\frac{2T_1}{ T_2}\]

    \[T_2=2T_1=600\]

Тогда \Delta T=T_2-T_1=300 К, а работа равна:

    \[A= p\Delta V=\nu R \Delta T=2\cdot8,31\cdot300=4986\]

Ответ: 5кДж

 

Задача 6. Водород массой m=2 кг при температуре T=300 К охлаждают изохорически так, что его давление падает в n=3   раза. Затем водород изобарически расширяется. Найти работу газа, если его конечная температура равна начальной.

К задаче 6

Опишем оба состояния газа уравнениями:

    \[p_1V_1=\nu R T_1\]

    \[p_2V_2=\nu R T_2\]

Разделим уравнения друг на друга:

    \[\frac{ p_1V_1}{ p_2V_2}=1\]

Так как p_2=\frac{p_1}{3}, то

    \[\frac{ 3p_1V_1}{ p_1V_2}=1\]

    \[\frac{ V_1}{ V_2}=\frac{1}{3}\]

Или V_2=3V_1.

Тогда, поскольку в первом процессе газ не совершал работы,  работа газа равна:

    \[A=p_2\Delta V=\frac{p_1}{3}\cdot 2V_1=\frac{2}{3}p_1V_1\]

    \[A=\frac{2}{3}\nu R T_1=\frac{2}{3}\frac{m}{M} R T_1=\frac{2}{3}\frac{2}{2\cdot10^{-3}} 8,31\cdot300=1,66\cdot10^6\]

Ответ: A=1,66\cdot10^6 Дж

 

К задаче 7

Задача 7. Некоторая масса газа, занимающего объем V_1=0,01 м^3, находится под давлением p_1=10^5 Па при температуре T_1=300 К. Газ нагревают при постоянном объеме до температуры T_2=320 К, а затем при постоянном давлении до температуры T_3=350 К. Найти работу, совершаемую газом при переходе из состояния 1 в состояние 3.

 

Из рисунка видно, что A=p_2(V_3-V_2)

Состояние газа вначале можно описать уравнением:

    \[p_1V_1=\nu R T_1\]

Затем от точки 1 до точки 2 выполняется закон Шарля:

    \[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\]

Откуда p_2=\frac{p_1T_2}{T_1}.

Затем от точки 2 до точки 3 выполняется закон Гей-Люссака:

    \[\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}\]

Следовательно,

    \[V_3=\frac{V_2T_3}{T_2}\]

Тогда запишем работу:

    \[A=\frac{p_1T_2}{T_1}\left(\frac{V_2T_3}{T_2}-V_2\right)\]

Так как V_1=V_2, то

    \[A=\frac{p_1T_2}{T_1}\left(\frac{V_1T_3}{T_2}-V_1\right)= \frac{p_1V_1}{T_1}\left( T_3-T_2\right)=\]

    \[=\frac{10^5\cdot0,01}{300}\left(350- 320\right)=100\]

Ответ: A=100 Дж

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *