Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Работа газа, Тепловые двигатели

Работа газа и КПД цикла

Речь в статье пойдет о КПД различных циклов, проводимых с газом. При этом давайте помнить, что внутренняя энергия изменяется тогда, когда изменяется температура, а в адиабатном процессе передачи тепла не происходит, то есть для совершения работы в таком процессе газ “изыскивает внутренние резервы”. Кроме того, работа численно равна площади под кривой процесса, а работа за цикл – площади внутри цикла.

Задача 1. На рисунке представлена диаграмма цикла с одноатомным идеальным газом. Участки BC и DA – адиабаты.  Вычислите КПД \eta данной тепловой машины и максимально возможный КПД \eta_{max}.

К задаче 1

КПД тепловой машины можно вычислить как

    \[\eta=\frac{A}{Q}\]

Машина получает тепло только на участке AB, и, так как работы здесь не совершается, то можно вычислить количество теплоты, полученное газом, как увеличение его внутренней энергии:

    \[Q=\Delta U= \frac{3}{2}(p_B V_B-p_A V_A)= \frac{3}{2}\cdot(3300-900)= \frac{3}{2}\cdot 2400=3600\]

Работа численно равна площади, ограниченной циклом. Поэтому

    \[A=A_{BC}-A_{DA}\]

Участк BC и DA по условию – адиабаты, то есть передачи тепла газу на этих участках не происходит, следовательно, работа будет совершена за счет «внутренних резервов» – то есть внутренней энергии. Нужно, следовательно, найти, как она изменилась.

Задачу можно решить двумя способами. Во-первых, просто определить температуры в точках B и C, D и A, это легко сделать из данных графика с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона, и затем посчитать \Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T. Но, так как \nu R  T_B=p_B V_B, а \nu R  T_С=p_С V_С,то изменение внутренней энергии будет равно

    \[\Delta U_{BC}= \frac{3}{2}(p_B V_B-p_C V_C)= \frac{3}{2}\cdot(3300-2400)= \frac{3}{2}\cdot 900=1350\]

    \[\Delta U_{DA}=\mid \frac{3}{2}(p_D V_D-p_A V_A)\mid= \mid\frac{3}{2}\cdot(600-900)\mid= \frac{3}{2}\cdot 300=450\]

    \[A=A_{BC}-A_{DA}=1350-450=900\]

    \[\eta=\frac{A}{Q}=\frac{900}{3600}=0,25\]

Определим максимальный КПД. Посчитаем его как КПД цикла Карно. Максимальная температура газа будет достигнута в точке B, а минимальная – в точке D:

    \[T_{max}=\frac{p_BV_B}{\nu R}=\frac{3300}{\nu R}\]

    \[T_{min}=\frac{p_D V_D}{\nu R}=\frac{600}{\nu R}\]

    \[\eta_{max}=1-\frac{ T_{min}}{ T_{max}}=1-\frac{600}{3300}=\frac{9}{11}=0,82\]

Ответ: \eta=25\%, \eta_{max}=82\%.

 

Задача 2. Над идеальным одноатомным газом проводят цикл, включающий изобару, изохору, изотерму, при этом работа газа за цикл равна A=5 кДж.  В процессе изотермического сжатия (3-1) внешние силы совершают над газом положительную работу A_3=3 кДж. Найдите КПД данной тепловой машины.

К задаче 2

Работа газа – площадь под линией процесса 1-2. Работа внешних сил – площадь под циклом (под линией 3-1). Поэтому полная работа за цикл – это разность работы газа и работы внешних сил, площадь, ограниченная линиями цикла. Она будет равна 2 кДж.

Так как в процессе 2-3 не совершалась работа, а в процессе 3-1 не изменялась внутренняя энергия – то есть газу передавали теплоту, за счет чего совершалась работа, то все количество теплоты, переданное газу, равно сумме  A_3+A, то есть 8 кДж. Тогда КПД

    \[\eta=\frac{A}{Q}=\frac{A-A_3}{A+A_3}=\frac{2}{8}=0,25\]

Ответ: \eta=25\%.

 

Задача 3. КПД  тепловой машины, работающей по циклу, включающему изотермический (1-2) и адиабатный (3-1) процессы, равен \eta=25\%, причем работа, совершенная 2 моль одноатомного идеального газа в изотермическом процессе A_{12}=16,62 кДж. Найдите разность \Delta T максимальной и минимальной  температур  газа в цикле.

К задаче 3

Полная площадь под кривой процесса 1-2 равна A_{12}=16,62 кДж. При этом, так как КПД машины 25%, то площадь внутри цикла равна \frac{1}{4} A_{12}, а под кривой 3-1  – \frac{3}{4} A_{12}.  В процессе 1-2 изменения внутренней энергии не было, так как температура не менялась, а в процессе 3-1 газу не передавали тепло, следовательно, работа совершена за счет внутренней энергии. Т.е.

    \[\Delta U_{31}=\frac{3}{4} A_{12}\]

    \[\Delta U_{31}=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{4} A_{12}\]

    \[\Delta T=\frac{1}{2\nu R } A_{12}=\frac{16620}{8,31\cdot2\cdot2}=500\]

Ответ: 500 K.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *