Работа газа и КПД цикла

[latexpage]

Речь в статье пойдет о КПД различных циклов, проводимых с газом. При этом давайте помнить, что внутренняя энергия изменяется тогда, когда изменяется температура, а в адиабатном процессе передачи тепла не происходит, то есть для совершения работы в таком процессе газ “изыскивает внутренние резервы”. Кроме того, работа численно равна площади под кривой процесса, а работа за цикл – площади внутри цикла.

Задача 1. На рисунке представлена диаграмма цикла с одноатомным идеальным газом. Участки $BC$ и $DA$ – адиабаты.  Вычислите КПД $\eta$ данной тепловой машины и максимально возможный КПД $\eta_{max}$.

К задаче 1

КПД тепловой машины можно вычислить как

$$\eta=\frac{A}{Q}$$

Машина получает тепло только на участке AB, и, так как работы здесь не совершается, то можно вычислить количество теплоты, полученное газом, как увеличение его внутренней энергии:

$$Q=\Delta U= \frac{3}{2}(p_B V_B-p_A V_A)= \frac{3}{2}\cdot(3300-900)= \frac{3}{2}\cdot 2400=3600$$

Работа численно равна площади, ограниченной циклом. Поэтому

$$A=A_{BC}-A_{DA}$$

Участк $BC$ и $DA$ по условию – адиабаты, то есть передачи тепла газу на этих участках не происходит, следовательно, работа будет совершена за счет «внутренних резервов» – то есть внутренней энергии. Нужно, следовательно, найти, как она изменилась.

Задачу можно решить двумя способами. Во-первых, просто определить температуры в точках $B$ и $C$, $D$ и $A$, это легко сделать из данных графика с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона, и затем посчитать $\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T$. Но, так как $\nu R  T_B=p_B V_B$, а $\nu R  T_С=p_С V_С$,то изменение внутренней энергии будет равно

$$\Delta U_{BC}= \frac{3}{2}(p_B V_B-p_C V_C)= \frac{3}{2}\cdot(3300-2400)= \frac{3}{2}\cdot 900=1350$$

$$\Delta U_{DA}=\mid \frac{3}{2}(p_D V_D-p_A V_A)\mid= \mid\frac{3}{2}\cdot(600-900)\mid= \frac{3}{2}\cdot 300=450$$

$$A=A_{BC}-A_{DA}=1350-450=900$$

$$\eta=\frac{A}{Q}=\frac{900}{3600}=0,25$$

Определим максимальный КПД. Посчитаем его как КПД цикла Карно. Максимальная температура газа будет достигнута в точке $B$, а минимальная – в точке $D$:

$$T_{max}=\frac{p_BV_B}{\nu R}=\frac{3300}{\nu R}$$

$$T_{min}=\frac{p_D V_D}{\nu R}=\frac{600}{\nu R}$$

$$\eta_{max}=1-\frac{ T_{min}}{ T_{max}}=1-\frac{600}{3300}=\frac{9}{11}=0,82$$

Ответ: $\eta=25\%$, $\eta_{max}=82\%$.

Задача 2. Над идеальным одноатомным газом проводят цикл, включающий изобару, изохору, изотерму, при этом работа газа за цикл равна $A=5$ кДж.  В процессе изотермического сжатия (3-1) внешние силы совершают над газом положительную работу $A_3=3$ кДж. Найдите КПД данной тепловой машины.

К задаче 2

Работа газа в процессе 1-2– площадь под линией процесса 1-2. Работа внешних сил – площадь под циклом (под линией 3-1). Поэтому полная работа за цикл – это разность работы газа и работы внешних сил, площадь, ограниченная линиями цикла. Она будет равна 5 кДж.

Работа газа в процессе 1-2, таким образом, равна 8 кДж. А поскольку процесс изобарный, то $\Delta U_{12}=\frac{3}{2}A_{12}=12$ кДж. Тогда КПД

$$\eta=\frac{A}{Q}=\frac{A}{A+\Delta U}=\frac{5}{8+12}=0,25$$

Ответ: $\eta=25\%$.

Задача 3. КПД  тепловой машины, работающей по циклу, включающему изотермический (1-2) и адиабатный (3-1) процессы, равен $\eta=25\%$, причем работа, совершенная 2 моль одноатомного идеального газа в изотермическом процессе $A_{12}=16,62$ кДж. Найдите разность $\Delta T$ максимальной и минимальной  температур  газа в цикле.

К задаче 3

Полная площадь под кривой процесса 1-2 равна $A_{12}=16,62$ кДж. При этом, так как КПД машины 25%, то площадь внутри цикла равна $\frac{1}{4} A_{12}$, а под кривой 3-1  – $\frac{3}{4} A_{12}$.  В процессе 1-2 изменения внутренней энергии не было, так как температура не менялась, а в процессе 3-1 газу не передавали тепло, следовательно, работа совершена за счет внутренней энергии. Т.е.

$$\Delta U_{31}=\frac{3}{4} A_{12}$$

$$\Delta U_{31}=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{4} A_{12}$$

$$\Delta T=\frac{1}{2\nu R } A_{12}=\frac{16620}{8,31\cdot2\cdot2}=500$$

Ответ: 500 K.