Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Астрономия

Пульсары и черные дыры: размеры, плотности, периоды.

В этой статье собраны задачи из сборника задач для учеников 179 школы Москвы. В этой школе астрономию преподают на очень высоком уровне, представленные задачи в большинстве своем из олимпиад прошлых лет городского и регионального уровня.

Задача 1. В межзвёздном пространстве находится облако нейтрального водорода радиусом 1 парсек, массой 100 масс  Солнца и температурой 50 К. Вспыхнет ли из этого облака звезда?

Определим критический радиус такого облака. Это можно сделать, приравняв энергию гравитационного взаимодействия и тепловую (по модулю):

    \[W_p=-\frac{GM^2}{r}\]

    \[W=\frac{M}{M_H}RT\]

Если суммарная энергия облака будет отрицательной – то есть гравитационная окажется больше по модулю, чем тепловая, то звезда образуется.

    \[\frac{GM^2}{r}\geqslant \frac{M}{M_H}RT\]

    \[r\leqslant \frac{GMM_H}{RT}=\frac{6,67\cdot10^{-11}\cdot100\cdot2\cdot10^{30}\cdot2\cdot10^{-3}}{8,31\cdot50}=6,4\cdot10^{16}\]

В километрах это r=6,4\cdot10^{13}. 1 парсек – 3,09\cdot10^{13} км. Так как радиус облака меньше критического, то звезда образуется.
Ответ: да.

Задача 2. Сверхновая в максимуме блеска достигает абсолютной звёздной величины -21^m. Сравните светимость сверхновой со светимостью Солнца.

По формуле Погсона

    \[\lg L=0,4(M_{\odot}-M)=0,4(4,77+21)\]

    \[L=10^{10}\]

Ответ: L=10^{10} светимостей Солнца.

Задача 3. Оцените (из общефизических соображений) нижний предел периода вращения пульсара, радиус которого R=10 км.

Период вращения пульсара должен быть таким, чтобы линейная скорость вращения на его поверхности не превышала скорость света.

Тогда

    \[T\leqslant\frac{2\pi R}{c}=\frac{2\pi\cdot10^4}{3\cdot10^8}=2,09\cdot10^{-4}\]

Ответ: 0,2 мс

 

Задача 4. Оцените размер и плотность, который должна иметь чёрная дыра массой 30 масс Солнца.

Для черной дыры вторая космическая скорость должна быть равна  скорости света.

    \[R=\frac{2MG}{c^2}=\frac{2\cdot 30\cdot 2\cdot 10^{30}\cdot6,67\cdot10^{-11}}{9\cdot10^{16}}=88,93\cdot10^3\]

Плотность

    \[\rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4\pi R^3}{3}}=\frac{30\cdot2\cdot10^{30}\cdot 3}{4\pi\cdot(88930)^3}=2,04\cdot10^{16}\]

Ответ: радиус – 88,9 км, плотность 20 млн. тонн на см^3.

 

Задача 5. Солнце обращается вокруг центра Галактики по круговой орбите радиуса примерно 10 кпк со скоростью 250 км/с, а) Полагая всю массу Галактики сосредоточенной в её центре, определите значение этой массы; б) Найдите продолжительность галактического года (периода обращения Солнца вокруг центра Галактики).

Из второго закона Ньютона

    \[M=\frac{\upsilon^2R}{G}=\frac{250000^2\cdot10^4\cdot3\cdot10^{16}}{6,67\cdot10^{-11}}=281,1\cdot10^{39}\]

Период

    \[T=\frac{2\pi R}{\upsilon}=\frac{2\pi\cdot10^4\cdot3\cdot10^{13}}{250}=753,6\cdot10^{13}\]

Получили результат в секундах. Переведем в года: 2,4\cdot10^{8}.

Ответ: масса – 281,1\cdot10^{39} кг, период – 2,4\cdot10^{8} лет (240 миллионов лет).

Задача 6. Определите расстояние до шарового скопления и его размеры, если известно, что а) в нём находится цефеида, видимая величина которой 15,1^m,  а абсолютная 0^m и б) угловой диаметр скопления 12’.

По условию а)

    \[M=m+5-5\lg r\]

    \[\lg r=\frac{m+5-M}{r}=\frac{20,1}{5}=4,02\]

    \[r=10471\]

По условию  б) угловой  размер

    \[D=\frac{rd}{3438'}=10471\frac{12'}{3438'}=36,5\]

Ответ: расстояние 10471 парсек, размер – 36,5 парсека.

 

Задача 7. Каково расстояние до галактики, если в ней обнаружена новая звезда, видимая звёздная величина которой +18^m, а абсолютная -7^m?

    \[M=m+5-5\lg r\]

    \[5\lg r=m+5-M=18+5-(-7)=30\]

    \[\lg r=6\]

    \[r=10^6\]

Ответ: 10^6 парсек.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *