Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Прямая и подвижная полуокружность

Задача из ЗФТШ МФТИ для 10 класса. Очень неплохая. А когда у них были плохие задачи? Все как на подбор!

Задача. Найти все значения параметра a, при которых уравнение

    \[10 a+\sqrt{-48+14x-x^2}=ax+1\]

имеет единственный корень.

Решение. Правая часть уравнения – прямая, проходящая через точку (0;1) и меняющая свой коэффициент наклона (пучок прямых).

    \[y=ax+1~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Левая часть уравнения – подвижная полуокружность. Давайте в этом убедимся. Сначала рассмотрим часть правой части – уравнение неподвижной полуокружности.

    \[y=\sqrt{-48+14x-x^2}\]

    \[y^2=-48+14x-x^2\]

    \[y^2+x^2-14x+48+1=1\]

    \[y^2+(x-7)^2=1\]

    \[(x-7)^2+ y^2=1\]

Координаты центра такой полуокружности (7; 0), а радиус  – 1. Но за счет слагаемого 10a наша полуокружность перемещается вдоль прямой x=7, вверх и вниз, в зависимости от a. Таким образом, координата центра этой подвижной полуокружности на самом деле (7; 10a), а уравнение может быть записано

    \[(x-7)^2+(y-10a)^2=1~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Правда, это уравнение целой окружности, из которой нам нужна только ее верхняя часть.

Если прямая коснется нашей подвижной полуокружности – то мы получим единственный корень. Причем сразу ясно, что значения параметра, какие бы они не получились, будут неотрицательны – прямая не может коснуться нашей полуокружности снизу, так как нижняя часть у нее отсутствует. Тогда подставим (1) в (2) и потребуем, чтобы дискриминант полученного уравнения был бы равен 0, что обеспечит единственный корень.

    \[(x-7)^2+(ax+1-10a)^2=1\]

    \[x^2-14x+49+a^2x^2+1+100a^2+2ax-20a^2x-20a-1=0\]

    \[(a^2+1)x^2-x(14-2a+20a^2)+49-20a+100a^2=0\]

Определим дискриминант, деленный на 4:

    \[\frac{D}{4}=(7-a+10a^2)^2-(a^2+1)(49-20a+100a^2)\]

    \[\frac{D}{4}=49+a^2+100a^4+140a^2-14a-20a^3-(49a^2-20a^3+100a^4+49-20a+100a^2)\]

    \[\frac{D}{4}=6a-8a^2\]

    \[6a-8a^2=0\]

    \[a=0\]

    \[a=\frac{3}{4}\]

Значение параметра, равное 0 – очевидно, верно. А вот a=\frac{3}{4} надо проверить. Подстановка его в уравнение даст

    \[10\cdot 0,75+\sqrt{-48+14x-x^2}=0,75x+1\]

    \[\sqrt{-48+14x-x^2}=0,75x-6,5\]

Тогда

    \[0,75x-6,5\geqslant 0\]

Или

    \[x\geqslant 8,7\]

А такого быть не может, поскольку крайняя правая точка полуокружности имеет координату по оси x, равную 8. Иными словами, касание произошло бы, будь у нас полная окружность, и прямая коснулась бы нашей целой окружности снизу.

Возможно еще решение. Если прямая пересекает окружность показанным на рисунке образом:

Тогда наша прямая проходит либо через точку с координатами (6; 10a), либо через точку с координатами (8; 10a). Исследуем оба случая:

    \[10a=ax+1\]

    \[10a=6a+1\]

    \[a=\frac{1}{4}\]

    \[10a=8a+1\]

    \[2a=1\]

    \[a=\frac{1}{2}\]

Ответ: a=0; a \in \left(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right].

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *