[latexpage]
Задача из ЗФТШ МФТИ для 10 класса. Очень неплохая. А когда у них были плохие задачи? Все как на подбор!
Задача. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение
$$10 a+\sqrt{-48+14x-x^2}=ax+1$$
имеет единственный корень.
Решение. Правая часть уравнения – прямая, проходящая через точку $(0;1)$ и меняющая свой коэффициент наклона (пучок прямых).
$$y=ax+1~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
Левая часть уравнения – подвижная полуокружность. Давайте в этом убедимся. Сначала рассмотрим часть правой части – уравнение неподвижной полуокружности.
$$y=\sqrt{-48+14x-x^2}$$
$$y^2=-48+14x-x^2$$
$$y^2+x^2-14x+48+1=1$$
$$y^2+(x-7)^2=1$$
$$ (x-7)^2+ y^2=1$$
Координаты центра такой полуокружности (7; 0), а радиус – 1. Но за счет слагаемого $10a$ наша полуокружность перемещается вдоль прямой $x=7$, вверх и вниз, в зависимости от $a$. Таким образом, координата центра этой подвижной полуокружности на самом деле $(7; 10a)$, а уравнение может быть записано
$$(x-7)^2+(y-10a)^2=1~~~~~~~~~~~~~(2)$$
Правда, это уравнение целой окружности, из которой нам нужна только ее верхняя часть.
Если прямая коснется нашей подвижной полуокружности – то мы получим единственный корень. Причем сразу ясно, что значения параметра, какие бы они не получились, будут неотрицательны – прямая не может коснуться нашей полуокружности снизу, так как нижняя часть у нее отсутствует. Тогда подставим $(1)$ в $(2)$ и потребуем, чтобы дискриминант полученного уравнения был бы равен 0, что обеспечит единственный корень.
$$(x-7)^2+(ax+1-10a)^2=1$$
$$x^2-14x+49+a^2x^2+1+100a^2+2ax-20a^2x-20a-1=0$$
$$(a^2+1)x^2-x(14-2a+20a^2)+49-20a+100a^2=0$$
Определим дискриминант, деленный на 4:
$$\frac{D}{4}=(7-a+10a^2)^2-(a^2+1)(49-20a+100a^2)$$
$$\frac{D}{4}=49+a^2+100a^4+140a^2-14a-20a^3-(49a^2-20a^3+100a^4+49-20a+100a^2)$$
$$\frac{D}{4}=6a-8a^2$$
$$6a-8a^2=0$$
$$a=0$$
$$a=\frac{3}{4}$$
Значение параметра, равное 0 – очевидно, верно. А вот $a=\frac{3}{4}$ надо проверить. Подстановка его в уравнение даст
$$10\cdot 0,75+\sqrt{-48+14x-x^2}=0,75x+1$$
$$\sqrt{-48+14x-x^2}=0,75x-6,5$$
Тогда
$$0,75x-6,5\geqslant 0$$
Или
$$x\geqslant 8,7$$
А такого быть не может, поскольку крайняя правая точка полуокружности имеет координату по оси $x$, равную 8. Иными словами, касание произошло бы, будь у нас полная окружность, и прямая коснулась бы нашей целой окружности снизу.
Возможно еще решение. Если прямая пересекает окружность показанным на рисунке образом:
Тогда наша прямая проходит либо через точку с координатами $(6; 10a)$, либо через точку с координатами $(8; 10a)$. Исследуем оба случая:
$$10a=ax+1$$
$$10a=6a+1$$
$$a=\frac{1}{4}$$
$$10a=8a+1$$
$$2a=1$$
$$a=\frac{1}{2}$$
Ответ: $a=0; a \in \left(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right]$.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...