Прямая и подвижная полуокружность

[latexpage]

Задача из ЗФТШ МФТИ для 10 класса. Очень неплохая. А когда у них были плохие задачи? Все как на подбор!

Задача. Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение

$$10 a+\sqrt{-48+14x-x^2}=ax+1$$

имеет единственный корень.

Решение. Правая часть уравнения – прямая, проходящая через точку $(0;1)$ и меняющая свой коэффициент наклона (пучок прямых).

$$y=ax+1~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Левая часть уравнения – подвижная полуокружность. Давайте в этом убедимся. Сначала рассмотрим часть правой части – уравнение неподвижной полуокружности.

$$y=\sqrt{-48+14x-x^2}$$

$$y^2=-48+14x-x^2$$

$$y^2+x^2-14x+48+1=1$$

$$y^2+(x-7)^2=1$$

$$ (x-7)^2+ y^2=1$$

Координаты центра такой полуокружности (7; 0), а радиус  – 1. Но за счет слагаемого $10a$ наша полуокружность перемещается вдоль прямой $x=7$, вверх и вниз, в зависимости от $a$. Таким образом, координата центра этой подвижной полуокружности на самом деле $(7; 10a)$, а уравнение может быть записано

$$(x-7)^2+(y-10a)^2=1~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Правда, это уравнение целой окружности, из которой нам нужна только ее верхняя часть.

Если прямая коснется нашей подвижной полуокружности – то мы получим единственный корень. Причем сразу ясно, что значения параметра, какие бы они не получились, будут неотрицательны – прямая не может коснуться нашей полуокружности снизу, так как нижняя часть у нее отсутствует. Тогда подставим $(1)$ в $(2)$ и потребуем, чтобы дискриминант полученного уравнения был бы равен 0, что обеспечит единственный корень.

$$(x-7)^2+(ax+1-10a)^2=1$$

$$x^2-14x+49+a^2x^2+1+100a^2+2ax-20a^2x-20a-1=0$$

$$(a^2+1)x^2-x(14-2a+20a^2)+49-20a+100a^2=0$$

Определим дискриминант, деленный на 4:

$$\frac{D}{4}=(7-a+10a^2)^2-(a^2+1)(49-20a+100a^2)$$

$$\frac{D}{4}=49+a^2+100a^4+140a^2-14a-20a^3-(49a^2-20a^3+100a^4+49-20a+100a^2)$$

$$\frac{D}{4}=6a-8a^2$$

$$6a-8a^2=0$$

$$a=0$$

$$a=\frac{3}{4}$$

Значение параметра, равное 0 – очевидно, верно. А вот $a=\frac{3}{4}$ надо проверить. Подстановка его в уравнение даст

$$10\cdot 0,75+\sqrt{-48+14x-x^2}=0,75x+1$$

$$\sqrt{-48+14x-x^2}=0,75x-6,5$$

Тогда

$$0,75x-6,5\geqslant 0$$

Или

$$x\geqslant 8,7$$

А такого быть не может, поскольку крайняя правая точка полуокружности имеет координату по оси $x$, равную 8. Иными словами, касание произошло бы, будь у нас полная окружность, и прямая коснулась бы нашей целой окружности снизу.

Возможно еще решение. Если прямая пересекает окружность показанным на рисунке образом:

Тогда наша прямая проходит либо через точку с координатами $(6; 10a)$, либо через точку с координатами $(8; 10a)$. Исследуем оба случая:

$$10a=ax+1$$

$$10a=6a+1$$

$$a=\frac{1}{4}$$

$$10a=8a+1$$

$$2a=1$$

$$a=\frac{1}{2}$$

Ответ: $a=0; a \in \left(\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right]$.