Задача из ЗФТШ МФТИ для 10 класса. Очень неплохая. А когда у них были плохие задачи? Все как на подбор!
Задача. Найти все значения параметра , при которых уравнение
имеет единственный корень.
Решение. Правая часть уравнения – прямая, проходящая через точку и меняющая свой коэффициент наклона (пучок прямых).
Левая часть уравнения – подвижная полуокружность. Давайте в этом убедимся. Сначала рассмотрим часть правой части – уравнение неподвижной полуокружности.
Координаты центра такой полуокружности (7; 0), а радиус – 1. Но за счет слагаемого наша полуокружность перемещается вдоль прямой
, вверх и вниз, в зависимости от
. Таким образом, координата центра этой подвижной полуокружности на самом деле
, а уравнение может быть записано
Правда, это уравнение целой окружности, из которой нам нужна только ее верхняя часть.
Если прямая коснется нашей подвижной полуокружности – то мы получим единственный корень. Причем сразу ясно, что значения параметра, какие бы они не получились, будут неотрицательны – прямая не может коснуться нашей полуокружности снизу, так как нижняя часть у нее отсутствует. Тогда подставим в
и потребуем, чтобы дискриминант полученного уравнения был бы равен 0, что обеспечит единственный корень.
Определим дискриминант, деленный на 4:
Значение параметра, равное 0 – очевидно, верно. А вот надо проверить. Подстановка его в уравнение даст
Тогда
Или
А такого быть не может, поскольку крайняя правая точка полуокружности имеет координату по оси , равную 8. Иными словами, касание произошло бы, будь у нас полная окружность, и прямая коснулась бы нашей целой окружности снизу.
Возможно еще решение. Если прямая пересекает окружность показанным на рисунке образом:
Тогда наша прямая проходит либо через точку с координатами , либо через точку с координатами
. Исследуем оба случая:
Ответ: .
Тут я с Вами полностью...
Здравствуйте. Сейчас пересмотрю решение. Надо ввести разные температуры. Жаль, не...
Здравствуйте! Почему в задаче 3 перегородка теплоизолирующая? Казалось бы,...
Согласна, решать можно по-разному, и ваше решение строже, чем мое. И бог с ними, с...
Здравствуйте! Благодарю Вас за варианты, которые Вы создаете. Заметила небольшое...