Пружины. Задачи части С ЕГЭ по физике и олимпиадные

В этой статье собраны задачи, в которых так или иначе присутствует сила упругости. Задачи прошлых лет ЕГЭ или из олимпиадных подборок.

Задача 1. Две невесомые пружины прикреплены к верхнему и нижнему торцам неподвижного цилиндра. Концы пружин соединены. Жесткость верхней пружины равна $k_1 = 10$ Н/м, жесткость нижней $k_2 = 20$ Н/м. Пружины находятся в нерастянутом состоянии. Между ними вставили тонкую платформу массой $M = 1,2$ кг. Пружины прикрепляют к платформе (см. рис.). На сколько при этом растянулась верхняя пружина?

К задаче 1

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для груза:

$0=Mg-F_{upr1}-F_{upr2}$

Здесь $F_{upr1}$ – сила упругости верхней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет тянуть платформу вверх. $F_{upr2}$ – сила упругости нижней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет толкать платформу вверх.

Тогда

$k_1\Delta x_1+k_2 \Delta x_2=mg$

При этом на сколько растянулась верхняя пружина, на столько же сжалась нижняя: $\Delta x_1=\Delta x_2$ . Следовательно,

$\Delta x_1=\frac{mg}{k_1+k_2}=0,4$

Ответ: 40 см.

Задача 2. К потолку прикреплена конструкция, состоящая из двух пружин и двух маленьких чашек A и B. Расстояние от пола до потолка равно 2 м. Жесткости пружин равны $k_1 = 15$ Н/м и $k_2 = 30$ Н/м. Длины нерастянутых пружин одинаковы и равны 30 см. Масса чашки A равна $m = 100$ г, чашка B невесома. Груз какой массы надо положить в чашку A, чтобы чашка B достала до пола? Какой груз надо положить в чашку B, чтобы она достала до пола (чашка A при этом пуста)?

К задаче 2

Чтобы чашка В достала до пола, нужно, чтобы первая пружина растянулась до длины 1,7 м – тогда нерастянутая вторая пружина длиной 30 см коснется пола. Тогда удлинение пружины А должно составить 1 м 40 см. Следовательно,

$F_1=\Delta x_1 k_1=m_1g$

$m_1=\frac{\Delta x_1 k_1}{g}=\frac{1,4\cdot15}{10}=2,1$

Но сама чаша весит 100 г, следовательно, добавив 2 кг в чашу, мы обеспечим нужную силу.

Система из двух пружинок, соединенныx последовательно, имеет жесткость

$k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}=\frac{15\cdot30}{45}=10$

Растягивать всю систему будем на 1,4 м – именно столько чашку В отделяет от пола.

$F_2=\Delta x_2 k=m_2g$

$m_2=\frac{\Delta x_2}{g}=\frac{1,4\cdot10}{10}=1,4$

Так как чашка А весит 100 г, то в этом случае масса дополнительного груза будет 1,3 кг.

Ответ: а) 2 кг; б)1,3 кг.

Задача 3. Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между ними находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, отклоняя шарики в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс $\frac{m_2}{m_1} =1,5$ ? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.

К задаче 3

Когда пружина толкнет шарики, они начнут двигаться по окружностям радиусов $L_1$ и $L_2$ соответственно. Первый поднимется при этом на высоту $h_1$ , а второй – на высоту $h_2$ . Определим эти высоты:

$h_1=L_1-L_1\cos{\alpha}=L_1(1-\cos{\alpha})$

$h_2=L_2-L_2\cos{\alpha}=L_2(1-\cos{\alpha})$

По закону сохранения импульса

$m_1\upsilon_1=m_2\upsilon_2$

Возведем в квадрат:

$m_1^2\upsilon_1^2=m_2^2\upsilon_2^2$

Или

$\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}$

Из равенства кинетической и потенциальной энергий следует, что

$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}=m_1gh_1$

$\upsilon_1^2=2gh_1$

И аналогично

$\upsilon_2^2=2gh_2$

Поэтому

$\frac{h_1}{h_2}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}$

Подставим выражения, полученные вначале:

$\frac{ L_1(1-\cos{\alpha})}{ L_2(1-\cos{\alpha})}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}$

Сократим:

$\frac{ L_1}{ L_2}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}=2,25$

Ответ: $\frac{ L_1}{ L_2}=2,25$ .

Задача 4. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом 0,5 с вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика?

К задаче 4

Координата грузика при колебаниях может быть записана как

$x=x_0\cos \omega t$

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Запишем второй закон Ньютона для грузика:

$ma=mg-F_{upr}$

Запишем второй закон Ньютона для бруска:

$F_{upr}=F_{tr}$

Сила трения скольжения равна

$F_{tr}=\mu M g$

Тогда, чтобы брусок не поехал под действием качаний грузика, нужно, чтобы соблюдалось условие:

$mg -ma \leqslant \mu M g$

Откуда отношение масс равно

$\frac{M}{m}=\frac{ g -a }{\mu g }$

Определить ускорение можно, взяв вторую производную по координате:

$\upsilon=x'=-\omega x_0\sin\omega t$

$a=x''=-\omega^2 x_0 \cos \omega t$

Максимальное ускорение равно

$a_{max}=-\omega^2 x_0=-\frac{4\pi^2 x_0}{T^2}$

Подставим это ускорение в полученное отношение масс:

$\frac{M}{m}=\frac{ g +\frac{4\pi^2 x_0}{T^2} }{\mu g }=\frac{ 10 +\frac{4\pi^2\cdot0,04}{0,25} }{2,5}=6,53$

Ответ: $\frac{M}{m}=6,53$

Задача 5. Пружинное ружьё наклонено под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту. Энергия сжатой пружины равна 0,41 Дж. При выстреле шарик массой $m= 50$ г проходит по стволу ружья расстояние $b$ , вылетает и падает на расстоянии $L = 1$ м от дула ружья в точку $M$ , находящуюся с ним на одной высоте (см. рис.). Найдите расстояние $b$ . Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь.

К задаче 5

Определим скорость шарика при вылете из ружья $\upsilon_0$ .

По горизонтали шарик полетит равномерно со скоростью $\upsilon_0\cos{\alpha}$ :

$\upsilon_0\cos{\alpha}\cdot 2t=L$

По вертикали шарик будет иметь начальную скорость $\upsilon_0\sin{\alpha}$ , и она станет равной нулю в максимальной точке подъема:

$\upsilon(y_{max})=0=\upsilon_0\sin{\alpha}-gt$

Тогда время полета до максимальной точки подъема

$t=\frac{L}{2\upsilon_0\cos{\alpha}}=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}$

Откуда скорость $\upsilon_0$ равна

$\upsilon_0^2=\frac{Lg}{2\sin{2\alpha}}=\frac{10}{\sqrt{3}}=11,56$

$\upsilon_0=3,4$

Определим скорость шарика вначале. Вся энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика:

$E=\frac{m\upsilon^2}{2}$

$\upsilon=\sqrt{\frac{2E}{m}}=\sqrt{\frac{0,82}{0,05}}=4,05$

Таким образом, в начале трубы скорость была 4,05, а в конце – 3,4 м/с. Составим закон сохранения энергии. Учтем, что конец трубы приподнят относительно начала, следовательно, часть энергии шарика превратилась в потенциальную:

$\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{m\upsilon_0^2}{2}=mgh$

Откуда

$h=\frac{\upsilon^2-\upsilon_0^2}{2g}=\frac{16,4-11,56}{20}=0,242$

Тогда длина ствола больше вдвое, так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов, вдвое короче гипотенузы. $b=2h=2\cdot0,242=0,484$ .

Ответ: 48 см.

Комментариев - 9

Элиза

2020-01-29

Почему в первой задаче пружина k1 будет стремится вверх? Наоборот, ее ведь сжали, чтобы разжаться, она будет давить вниз. Разве нет?

Ответить

Анна
|

2020-01-29

Первая – верхняя пружина. Она растянута висящим на ней грузом и стремится сократиться.

Ответить

anton

2021-02-28

2 задача- во втором случае чашка a не весит НИЧЕГО! ошибка!

Анна
|

2021-02-28

Все верно, Антон. Ошибок нет.

Ответить
- Евгения
  |
  
  2021-02-28
  
  Есть подозрение, что второй пункт этой задачи решается не так. Нельзя считать пружины соединенными параллельно, ведь между ними весомая чашка.
  
  Ответить
  - Анна
    |
    
    2021-03-01
    
    Я думаю, факт наличия чаши не повлияет на решение. Все равно пружины соединены последовательно. Можно, конечно, посчитать их удлинения по отдельности и сложить – но ведь это то же самое.
    
    Ответить
    - Евгения
      |
      
      2021-03-01
      
      В таких ситуациях я обычно говорю ученикам: не надо думать, надо формулы писать :))) У меня получился ответ 1.27 кг
      
      Ответить

Анна

2021-03-01

$\Delta l_1=\frac{(m_A+M)g}{k_1}$

$\Delta l_2=\frac{Mg}{k_2}$

$\Delta l_1+\Delta l_2=1,4$

$\frac{m_Ag}{k_1}+\frac{Mg}{k_1}+\frac{Mg}{k_2}=1,4$

$Mg\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)=1,4-\frac{m_Ag}{k_1}=1,33$

$M=1,33$

Евгения
|

2021-03-01

соглашаюсь.

Ответить

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Мар
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

Пружины. Задачи части С ЕГЭ по физике и олимпиадные

Для вас другие записи этой рубрики:

Комментариев - 9

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Пароль для библиотеки – 777

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы