Пружины. Задачи части С ЕГЭ по физике и олимпиадные

В этой статье собраны задачи, в которых так или иначе присутствует сила упругости. Задачи прошлых лет ЕГЭ или из олимпиадных подборок.

Задача 1. Две невесомые пружины прикреплены к верхнему и нижнему торцам неподвижного цилиндра. Концы пружин соединены. Жесткость верхней пружины равна  Н/м, жесткость нижней  Н/м. Пружины находятся в нерастянутом состоянии. Между ними вставили тонкую платформу массой  кг. Пружины прикрепляют к платформе (см. рис.). На сколько при этом растянулась верхняя пружина?

К задаче 1

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для груза:

Здесь – сила упругости верхней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет тянуть платформу вверх. – сила упругости верхней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет толкать платформу вверх.

Тогда

При этом на сколько растянулась верхняя пружина, на столько же сжалась нижняя: . Следовательно,

Ответ: 40 см.

Задача 2. К потолку прикреплена конструкция, состоящая из двух пружин и двух маленьких чашек A и B. Расстояние от пола до потолка равно 2 м. Жесткости пружин равны  Н/м и  Н/м. Длины нерастянутых пружин одинаковы и равны 30 см. Масса чашки A равна  г, чашка B невесома. Груз какой массы надо положить в чашку A, чтобы чашка B достала до пола? Какой груз надо положить в чашку B, чтобы она достала до пола (чашка A при этом пуста)?

К задаче 2

Чтобы чашка В достала до пола, нужно, чтобы первая пружина растянулась до длины 1,7 м – тогда нерастянутая вторая пружина длиной 30 см коснется пола. Тогда удлинение пружины А должно составить 1 м 40 см. Следовательно,

Но сама чаша весит 100 г, следовательно, добавив 2 кг в чашу, мы обеспечим нужную силу.

Система из двух пружинок, соединенныx последовательно, имеет жесткость

Растягивать всю систему будем на 1,4 м – именно столько чашку В отделяет от пола.

Так как чашка А весит 100 г, то в этом случае масса дополнительного груза будет 1,3 кг.

Ответ: а) 2 кг;  б)1,3 кг.

Задача 3. Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между ними находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, отклоняя шарики в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс ? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.

К задаче 3

Когда пружина толкнет шарики, они начнут двигаться по окружностям радиусов и соответственно. Первый поднимется при этом на высоту , а второй – на высоту . Определим эти высоты:

По закону сохранения импульса

Возведем в квадрат:

Или

Из равенства кинетической и потенциальной энергий следует, что

И аналогично

Поэтому

Подставим выражения, полученные вначале:

Сократим:

Ответ: .

Задача 4. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом 0,5 с вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика?

К задаче 4

Координата грузика при колебаниях может быть записана как

Запишем второй закон Ньютона для грузика:

Запишем второй закон Ньютона для бруска:

Сила трения скольжения равна

Тогда, чтобы брусок не поехал под действием качаний грузика, нужно, чтобы соблюдалось условие:

Откуда отношение масс равно

Определить ускорение можно, взяв вторую производную по координате:

Максимальное ускорение равно

Подставим это ускорение в полученное отношение масс:

Ответ:

Задача 5. Пружинное ружьё наклонено под углом к горизонту. Энергия сжатой пружины равна 0,41 Дж. При выстреле шарик массой  г проходит по стволу ружья расстояние , вылетает и падает на расстоянии  м от дула ружья в точку , находящуюся с ним на одной высоте (см. рис.). Найдите расстояние . Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь.

К задаче 5

Определим скорость шарика при вылете из ружья .

По горизонтали шарик полетит равномерно со скоростью :

По вертикали шарик будет иметь начальную скорость , и она станет равной нулю в максимальной точке подъема:

Тогда время полета до максимальной точки подъема

Откуда скорость равна

Определим скорость шарика вначале. Вся энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика:

Таким образом, в начале трубы скорость была 4,05, а в конце – 3,4 м/с. Составим закон сохранения энергии. Учтем, что конец трубы приподнят относительно начала, следовательно, часть энергии шарика превратилась в потенциальную:

Откуда

Тогда длина ствола больше вдвое, так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов, вдвое короче гипотенузы. .

Ответ: 48 см.