Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила упругости

Пружины. Задачи части С ЕГЭ по физике и олимпиадные

В этой статье собраны задачи, в которых так или иначе присутствует сила упругости. Задачи прошлых лет ЕГЭ или из олимпиадных подборок.

Задача 1. Две невесомые пружины прикреплены к верхнему и нижнему торцам неподвижного цилиндра. Концы пружин соединены. Жесткость верхней пружины равна k_1 = 10 Н/м, жесткость нижней k_2 = 20 Н/м. Пружины находятся в нерастянутом состоянии. Между ними вставили тонкую платформу массой M = 1,2 кг. Пружины прикрепляют к платформе (см. рис.). На сколько при этом растянулась верхняя пружина?

К задаче 1

Запишем уравнение по второму закону Ньютона для груза:

    \[0=Mg-F_{upr1}-F_{upr2}\]

Здесь F_{upr1} – сила упругости верхней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет тянуть платформу вверх. F_{upr2} – сила упругости верхней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет толкать платформу вверх.

Тогда

    \[k_1\Delta x_1+k_2 \Delta x_2=mg\]

При этом на сколько растянулась верхняя пружина, на столько же сжалась нижняя: \Delta x_1=\Delta x_2. Следовательно,

    \[\Delta x_1=\frac{mg}{k_1+k_2}=0,4\]

Ответ: 40 см.

Задача 2. К потолку прикреплена конструкция, состоящая из двух пружин и двух маленьких чашек A и B. Расстояние от пола до потолка равно 2 м. Жесткости пружин равны k_1 = 15 Н/м и k_2  = 30 Н/м. Длины нерастянутых пружин одинаковы и равны 30 см. Масса чашки A равна m = 100 г, чашка B невесома. Груз какой массы надо положить в чашку A, чтобы чашка B достала до пола? Какой груз надо положить в чашку B, чтобы она достала до пола (чашка A при этом пуста)?

К задаче 2

Чтобы чашка В достала до пола, нужно, чтобы первая пружина растянулась до длины 1,7 м – тогда нерастянутая вторая пружина длиной 30 см коснется пола. Тогда удлинение пружины А должно составить 1 м 40 см. Следовательно,

    \[F_1=\Delta x_1 k_1=m_1g\]

    \[m_1=\frac{\Delta x_1 k_1}{g}=\frac{1,4\cdot15}{10}=2,1\]

Но сама чаша весит 100 г, следовательно, добавив 2 кг в чашу, мы обеспечим нужную силу.

Система из двух пружинок, соединенныx последовательно, имеет жесткость

    \[k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}=\frac{15\cdot30}{45}=10\]

Растягивать всю систему будем на 1,4 м – именно столько чашку В отделяет от пола.

    \[F_2=\Delta x_2 k=m_2g\]

    \[m_2=\frac{\Delta x_2}{g}=\frac{1,4\cdot10}{10}=1,4\]

Так как чашка А весит 100 г, то в этом случае масса дополнительного груза будет 1,3 кг.

Ответ: а) 2 кг;  б)1,3 кг.

Задача 3. Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между ними находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, отклоняя шарики в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс \frac{m_2}{m_1} =1,5? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.

К задаче 3

Когда пружина толкнет шарики, они начнут двигаться по окружностям радиусов L_1 и L_2 соответственно. Первый поднимется при этом на высоту h_1, а второй – на высоту h_2 . Определим эти высоты:

    \[h_1=L_1-L_1\cos{\alpha}=L_1(1-\cos{\alpha})\]

    \[h_2=L_2-L_2\cos{\alpha}=L_2(1-\cos{\alpha})\]

По закону сохранения импульса

    \[m_1\upsilon_1=m_2\upsilon_2\]

Возведем в квадрат:

    \[m_1^2\upsilon_1^2=m_2^2\upsilon_2^2\]

Или

    \[\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}\]

Из равенства кинетической и потенциальной энергий следует, что

    \[\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}=m_1gh_1\]

    \[\upsilon_1^2=2gh_1\]

И аналогично

    \[\upsilon_2^2=2gh_2\]

Поэтому

    \[\frac{h_1}{h_2}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}\]

Подставим выражения, полученные вначале:

    \[\frac{ L_1(1-\cos{\alpha})}{ L_2(1-\cos{\alpha})}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}\]

Сократим:

    \[\frac{ L_1}{ L_2}=\frac{ m_2^2}{ m_1^2}=2,25\]

Ответ: \frac{ L_1}{ L_2}=2,25.

Задача 4. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом 0,5 с вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика?

К задаче 4

Координата грузика при колебаниях может быть записана как

    \[x=x_0\cos \omega t\]

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Запишем второй закон Ньютона для грузика:

    \[ma=mg-F_{upr}\]

Запишем второй закон Ньютона для бруска:

    \[F_{upr}=F_{tr}\]

Сила трения скольжения равна

    \[F_{tr}=\mu M g\]

Тогда, чтобы брусок не поехал под действием качаний грузика, нужно, чтобы соблюдалось условие:

    \[mg -ma \leqslant \mu M g\]

Откуда отношение масс равно

    \[\frac{M}{m}=\frac{ g -a }{\mu  g }\]

Определить ускорение можно, взяв вторую производную по координате:

    \[\upsilon=x'=-\omega x_0\sin\omega t\]

    \[a=x''=-\omega^2 x_0 \cos \omega t\]

Максимальное ускорение равно

    \[a_{max}=-\omega^2 x_0=-\frac{4\pi^2 x_0}{T^2}\]

Подставим это ускорение в полученное отношение масс:

    \[\frac{M}{m}=\frac{ g +\frac{4\pi^2 x_0}{T^2} }{\mu  g }=\frac{ 10 +\frac{4\pi^2\cdot0,04}{0,25} }{2,5}=6,53\]

Ответ: \frac{M}{m}=6,53

Задача 5. Пружинное ружьё наклонено под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту. Энергия сжатой пружины равна 0,41 Дж. При выстреле шарик массой m= 50 г проходит по стволу ружья расстояние b, вылетает и падает на расстоянии L = 1 м от дула ружья в точку M, находящуюся с ним на одной высоте (см. рис.). Найдите расстояние b. Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь.

К задаче 5

Определим скорость шарика при вылете из ружья \upsilon_0.

По горизонтали шарик полетит равномерно со скоростью \upsilon_0\cos{\alpha}:

    \[\upsilon_0\cos{\alpha}\cdot 2t=L\]

По вертикали шарик будет иметь начальную скорость \upsilon_0\sin{\alpha}, и она станет равной нулю в максимальной точке подъема:

    \[\upsilon(y_{max})=0=\upsilon_0\sin{\alpha}-gt\]

Тогда время полета до максимальной точки подъема

    \[t=\frac{L}{2\upsilon_0\cos{\alpha}}=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}\]

Откуда скорость \upsilon_0 равна

    \[\upsilon_0^2=\frac{Lg}{2\sin{2\alpha}}=\frac{10}{\sqrt{3}}=11,56\]

    \[\upsilon_0=3,4\]

Определим скорость шарика вначале. Вся энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика:

    \[E=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{2E}{m}}=\sqrt{\frac{0,82}{0,05}}=4,05\]

Таким образом, в начале трубы скорость была 4,05, а в конце – 3,4 м/с. Составим закон сохранения энергии. Учтем, что конец трубы приподнят относительно начала, следовательно, часть энергии шарика превратилась в потенциальную:

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}-\frac{m\upsilon_0^2}{2}=mgh\]

Откуда

    \[h=\frac{\upsilon^2-\upsilon_0^2}{2g}=\frac{16,4-11,56}{20}=0,242\]

Тогда длина ствола больше вдвое, так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов, вдвое короче гипотенузы. b=2h=2\cdot0,242=0,484.

Ответ: 48 см.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *