В этой статье собраны задачи, в которых так или иначе присутствует сила упругости. Задачи прошлых лет ЕГЭ или из олимпиадных подборок.
Задача 1. Две невесомые пружины прикреплены к верхнему и нижнему торцам неподвижного цилиндра. Концы пружин соединены. Жесткость верхней пружины равна Н/м, жесткость нижней
Н/м. Пружины находятся в нерастянутом состоянии. Между ними вставили тонкую платформу массой
кг. Пружины прикрепляют к платформе (см. рис.). На сколько при этом растянулась верхняя пружина?

К задаче 1
Запишем уравнение по второму закону Ньютона для груза:
Здесь – сила упругости верхней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет тянуть платформу вверх.
– сила упругости нижней пружины, она пытается вернуться в нерастянутое состояние, поэтому будет толкать платформу вверх.
Тогда
При этом на сколько растянулась верхняя пружина, на столько же сжалась нижняя: . Следовательно,
Ответ: 40 см.
Задача 2. К потолку прикреплена конструкция, состоящая из двух пружин и двух маленьких чашек A и B. Расстояние от пола до потолка равно 2 м. Жесткости пружин равны Н/м и
Н/м. Длины нерастянутых пружин одинаковы и равны 30 см. Масса чашки A равна
г, чашка B невесома. Груз какой массы надо положить в чашку A, чтобы чашка B достала до пола? Какой груз надо положить в чашку B, чтобы она достала до пола (чашка A при этом пуста)?

К задаче 2
Чтобы чашка В достала до пола, нужно, чтобы первая пружина растянулась до длины 1,7 м – тогда нерастянутая вторая пружина длиной 30 см коснется пола. Тогда удлинение пружины А должно составить 1 м 40 см. Следовательно,
Но сама чаша весит 100 г, следовательно, добавив 2 кг в чашу, мы обеспечим нужную силу.
Система из двух пружинок, соединенныx последовательно, имеет жесткость
Растягивать всю систему будем на 1,4 м – именно столько чашку В отделяет от пола.
Так как чашка А весит 100 г, то в этом случае масса дополнительного груза будет 1,3 кг.
Ответ: а) 2 кг; б)1,3 кг.
Задача 3. Два шарика подвешены на вертикальных тонких нитях так, что они находятся на одной высоте. Между ними находится сжатая и связанная нитью пружина. При пережигании связывающей нити пружина распрямляется, отклоняя шарики в разные стороны на одинаковые углы. Во сколько раз одна нить длиннее другой, если отношение масс ? Считать величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей.

К задаче 3
Когда пружина толкнет шарики, они начнут двигаться по окружностям радиусов и
соответственно. Первый поднимется при этом на высоту
, а второй – на высоту
. Определим эти высоты:
По закону сохранения импульса
Возведем в квадрат:
Или
Из равенства кинетической и потенциальной энергий следует, что
И аналогично
Поэтому
Подставим выражения, полученные вначале:
Сократим:
Ответ: .
Задача 4. Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом 0,5 с вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика?

К задаче 4
Координата грузика при колебаниях может быть записана как
Запишем второй закон Ньютона для грузика:
Запишем второй закон Ньютона для бруска:
Сила трения скольжения равна
Тогда, чтобы брусок не поехал под действием качаний грузика, нужно, чтобы соблюдалось условие:
Откуда отношение масс равно
Определить ускорение можно, взяв вторую производную по координате:
Максимальное ускорение равно
Подставим это ускорение в полученное отношение масс:
Ответ:
Задача 5. Пружинное ружьё наклонено под углом к горизонту. Энергия сжатой пружины равна 0,41 Дж. При выстреле шарик массой
г проходит по стволу ружья расстояние
, вылетает и падает на расстоянии
м от дула ружья в точку
, находящуюся с ним на одной высоте (см. рис.). Найдите расстояние
. Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь.

К задаче 5
Определим скорость шарика при вылете из ружья .
По горизонтали шарик полетит равномерно со скоростью :
По вертикали шарик будет иметь начальную скорость , и она станет равной нулю в максимальной точке подъема:
Тогда время полета до максимальной точки подъема
Откуда скорость равна
Определим скорость шарика вначале. Вся энергия пружины переходит в кинетическую энергию шарика:
Таким образом, в начале трубы скорость была 4,05, а в конце – 3,4 м/с. Составим закон сохранения энергии. Учтем, что конец трубы приподнят относительно начала, следовательно, часть энергии шарика превратилась в потенциальную:
Откуда
Тогда длина ствола больше вдвое, так как катет, лежащий против угла в тридцать градусов, вдвое короче гипотенузы. .
Ответ: 48 см.
Комментариев - 9
Почему в первой задаче пружина k1 будет стремится вверх? Наоборот, ее ведь сжали, чтобы разжаться, она будет давить вниз. Разве нет?
Первая – верхняя пружина. Она растянута висящим на ней грузом и стремится сократиться.
2 задача- во втором случае чашка a не весит НИЧЕГО! ошибка!
Все верно, Антон. Ошибок нет.
Есть подозрение, что второй пункт этой задачи решается не так. Нельзя считать пружины соединенными параллельно, ведь между ними весомая чашка.
Я думаю, факт наличия чаши не повлияет на решение. Все равно пружины соединены последовательно. Можно, конечно, посчитать их удлинения по отдельности и сложить – но ведь это то же самое.
В таких ситуациях я обычно говорю ученикам: не надо думать, надо формулы писать :))) У меня получился ответ 1.27 кг
соглашаюсь.