Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны

Пружинный маятник – 3

В этой статье присутствуют оба вида маятников: как математический, так и пружинный. В основном речь пойдет о математическом маятнике. Хочу обратить ваше внимание на разницу в количестве колебаний такого маятника и количестве качаний: качание – это отклонение в одну сторону, то есть только половинка колебания!

Математический и пружинный маятники

Задача 1. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один совершил N_1 = 10, а другой N_2= 30 колебаний?

Обозначим это неизвестное время за t. Тогда период колебаний первого маятника равен:

    \[T_1=\frac{t}{N_1}\]

А второго

    \[T_2=\frac{t}{N_2}\]

С другой стороны,

    \[T_1=2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}\]

    \[T_2=2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}\]

Тогда

    \[\frac{t}{N_1}=2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}\]

    \[\frac{t}{N_2}=2 \pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}\]

Поделим первое уравнение на второе:

    \[\frac{N_2}{N_1}=\sqrt{\frac{l_1}{l_2}}\]

Возведем в квадрат:

    \[\frac{l_1}{l_2}=\left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2=\left(\frac{30}{10}\right)^2=9\]

Ответ: длины отличаются в 9 раз.

Задача 2. Определить длину нити математического маятника, если он совершает одно качание в 1 с.

Заметим, не колебание, а качание! Тогда за 2 с маятник совершит 2 качания – то есть одно полное колебание, то есть период T=2 и равен

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]

    \[T^2=4 \pi ^2\frac{l}{g}\]

    \[l=\frac{gT^2}{4 \pi ^2}=\frac{10\cdot2^2}{4 (3,14) ^2}=1\]

Ответ: 1 м.

Задача 3. Маятник длиной l= 2 м совершает на время t = 1 ч N= 2536 качаний. Определить ускорение свободного падения по этим данным.

Запишем формулу периода:

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]

Возведем в квадрат:

    \[T^2=4 \pi ^2\frac{l}{g}\]

«Вытащим» ускорение свободного падения:

    \[g=\frac{4 \pi ^2 l}{T^2}\]

Период колебаний равен

    \[T=\frac{2t}{N}\]

Так как опять дано количество качаний, следовательно, колебаний в два раза меньше!

Теперь нужно сделать подстановку численных данных. Только не забудем подставить время в секундах!

    \[g=\frac{4 \pi ^2 l N^2}{4t^2}=\frac{4 (3,14)^2\cdot 2\cdot 2536^2}{3600^2}=9,79\]

Ответ: 9,79 м/с^2.

Задача 4. Определить ускорение свободного падения на Луне, если маятниковые часы идут на ее поверхности в 2,46 раза медленнее, чем на Земле.

Если маятниковые часы идут медленнее, следовательно, на одно качание (или колебание – неважно) тратится больше времени, то есть период колебаний маятника таких часов на Луне стал больше:

    \[T_L=2,46T_Z\]

Найдем отношение периодов:

    \[T_L=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_L}}\]

    \[T_Z=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g_Z}}\]

    \[\frac{ T_L }{ T_Z }=\sqrt{\frac{g_Z}{g_L}}\]

Возведем в квадрат:

    \[\left(\frac{ T_L }{ T_Z }\right)^2=\frac{g_Z}{g_L}\]

Откуда

    \[g_L=\frac{g_Z T_Z^2}{T_L^2}=\frac{9,8}{ 2,46^2}=1,62\]

Ответ: g_L=1,62 м/с^2.

Задача 5. Математический и пружинный маятники совершают колебания с одинаковым периодом. Определить массу груза пружинного маятника, если коэффициент жесткости пружины k= 20 Н/м. Длина нити математического маятника L= 0,4 м.

Запишем формулу периода математического маятника:

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]

Запишем формулу периода пружинного маятника:

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Приравняем:

    \[2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

    \[\frac{l}{g}=\frac{m}{k}\]

Определим массу:

    \[m=\frac{lk}{g}=\frac{0,4 \cdot 20}{9,8}=0,816\]

Ответ: 816 г

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *