Пружинный маятник

Пружинный маятник – 2

Продолжаем разбирать задачи на пружинный маятник. Здесь вы уже встретите задачки чуть-чуть посложнее, чем в предыдущей статье: нужно “достать” нужную величину из формулы, или записать математически неявное условие задачи.

Задача 1. Во сколько раз уменьшится период колебаний груза, подвешенного на резиновом жгуте, если отрезать $\frac{3}{4}$ длины жгута и подвесить на оставшуюся часть тот же груз?

Пружинный маятник

Если отрезать $\frac{3}{4}$ длины жгута, то его длина в итоге уменьшается вчетверо. Поэтому, чтобы растянуть такой жгут на то же $\Delta x$ , что и целый, придется воздействовать с учетверенной силой. То есть, иными словами, жесткость жгута стала больше в 4 раза. Следовательно,

$k_2=4k_1$

Период колебаний $T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$ стал равен

$T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{4k_1}}=\frac{T_1}{2}$

Ответ: период стал меньше вдвое.

Задача 2. Под действием силы $F= 2$ Н пружина растягивается на $\Delta x= 1$ см. К этой пружине прикрепили груз массой $m= 2$ кг. Найти период колебаний данного пружинного маятника.

Найдем жесткость пружины:

$k=\frac{F}{\Delta x }$

И подставим в формулу для периода:

$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{m\Delta x }{F}}=2 \pi \sqrt{\frac{2\cdot 0,01 }{2}}=0,2\pi=0,628$

Ответ: $T=0,628$ с.
Задача 3. Если на резиновом шнуре подвесить груз, то шнур растягивается на $l = 39,24$ см. Найти период малых вертикальных колебаний груза.

Найдем жесткость шнура:

$k=\frac{mg}{l}$

И подставим в формулу для периода:

$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{ml }{mg}}=2 \pi \sqrt{\frac{l }{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{0,3924 }{10}}=0,396\pi=1,24$

Ответ: $T=1,24$ с.

Задача 4. Период колебаний груза на пружине $T= 0,5$ с. На сколько уменьшится длина пружины, если снять с нее груз?

Период колебаний пружинного маятника:

$T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Возведем в квадрат:

$T^2=4 \pi^2 \frac{m}{k}$

Удлинение пружины при действии силы равно:

$l =\frac{F}{ k }=\frac{mg}{ k }=g\cdot \frac{m}{ k }$

А дробь $\frac{m}{ k }$ можно «вытащить» из периода:

$\frac{m}{ k }=\frac{ T^2}{4 \pi^2 }$

Тогда удлинение будет равно:

$l = g\cdot \frac{m}{ k }=\frac{ gT^2}{4 \pi^2 }=\frac{ 10 \cdot(0,5)^2}{4 \cdot (3,14)^2 }=0,063$

Ответ: $l =6,3$ см.

Задача 5. К пружине подвешена чашка с грузом. Период гармонических колебаний в вертикальном направлении у этой системы равен $T_1$ . После того как на чашку положили дополнительно грузик, период колебаний стал равен $T_2$ . Определить, на сколько изменилось положение равновесия у этой системы.