Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны

Пружинный маятник – 2

Продолжаем разбирать задачи на пружинный маятник. Здесь вы уже встретите задачки чуть-чуть посложнее, чем в предыдущей статье: нужно “достать” нужную величину из формулы, или записать математически неявное условие задачи.

Задача 1. Во сколько раз уменьшится период колебаний груза, подвешенного на резиновом жгуте, если отрезать \frac{3}{4} длины жгута и подвесить на оставшуюся часть тот же груз?

Пружинный маятник

Если отрезать \frac{3}{4} длины жгута, то его длина в итоге уменьшается вчетверо. Поэтому, чтобы растянуть такой жгут на то же \Delta x, что и целый, придется воздействовать с учетверенной силой. То есть, иными словами, жесткость жгута стала больше в 4 раза. Следовательно,

    \[k_2=4k_1\]

Период колебаний T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}} стал равен

    \[T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{4k_1}}=\frac{T_1}{2}\]

Ответ: период стал меньше вдвое.

 

Задача 2. Под действием силы F= 2 Н пружина растягивается на \Delta x= 1 см. К этой пружине прикрепили груз массой m= 2 кг. Найти период колебаний данного пружинного маятника.

Найдем жесткость пружины:

    \[k=\frac{F}{\Delta x }\]

И подставим в формулу для периода:

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{m\Delta x }{F}}=2 \pi \sqrt{\frac{2\cdot 0,01 }{2}}=0,2\pi=0,628\]

Ответ: T=0,628 с.
Задача 3. Если на резиновом шнуре подвесить груз, то шнур растягивается на l = 39,24 см. Найти период малых вертикальных колебаний груза.

Найдем жесткость шнура:

    \[k=\frac{mg}{l}\]

И подставим в формулу для периода:

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{ml }{mg}}=2 \pi \sqrt{\frac{l }{g}}=2 \pi \sqrt{\frac{0,3924 }{10}}=0,396\pi=1,24\]

Ответ: T=1,24 с.

Задача 4. Период колебаний груза на пружине T= 0,5 с. На сколько уменьшится длина пружины, если снять с нее груз?

Период колебаний пружинного маятника:

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Возведем в квадрат:

    \[T^2=4 \pi^2 \frac{m}{k}\]

Удлинение пружины при действии силы равно:

    \[l =\frac{F}{ k }=\frac{mg}{ k }=g\cdot \frac{m}{ k }\]

А дробь \frac{m}{ k } можно «вытащить» из периода:

    \[\frac{m}{ k }=\frac{ T^2}{4 \pi^2 }\]

Тогда удлинение будет равно:

    \[l = g\cdot \frac{m}{ k }=\frac{ gT^2}{4 \pi^2 }=\frac{ 10 \cdot(0,5)^2}{4 \cdot (3,14)^2 }=0,063\]

Ответ: l =6,3 см.

 

Задача 5. К пружине подвешена чашка с грузом. Период гармонических колебаний в вертикальном направлении  у этой системы равен T_1. После того как на чашку положили дополнительно грузик, период колебаний стал равен T_2. Определить, на сколько изменилось положение равновесия у этой системы.

Пусть T_1 – период колебаний чашки с грузом.

    \[T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}\]

Тогда можно определить массу грузика:

    \[T_1^2=4 \pi^2 \frac{m_1}{k}}\]

    \[m_1=\frac{ T_1^2 k}{4 \pi^2}}\]

После того, как добавили еще груз, период стал T_2, следовательно, масса

    \[m_2=\frac{ T_2^2 k}{4 \pi^2}}\]

Грузик m_1 растягивал пружину на

    \[\Delta x_1=\frac{m_1g}{k}\]

А после увеличения груз m_2 стал растягивать пружину на

    \[\Delta x_2=\frac{m_2g}{k}\]

То есть положение равновесия изменилось на

    \[L=\Delta x_2-\Delta x_1=\frac{m_2g}{k}-\frac{m_1g}{k}=\frac{g}{k}(m_2-m_1)\]

Подставим массы:

    \[L=\frac{g}{k}\left(\frac{ T_2^2 k}{4 \pi^2}}-\frac{ T_1^2 k}{4 \pi^2}}\right)=\frac{g}{4 \pi^2(T_2^2- T_1^2)}\]

Ответ: L=\frac{g}{4 \pi^2(T_2^2- T_1^2)}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *