Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Простой параметр

Еще одна совсем несложная задача с параметром, которая может быть использована для «входа» в параметры.

Задача. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

    \[(x^2+4x+1)^2+2(x^2+4x)+5+a=0\]

имеет два различных корня.

Решение. В уравнении просматривается замена. Можно ее провести по-разному, но я предлагаю t=x^2+4x+1, тогда оно примет вид

    \[t^2+2(t-1)+5+a=0\]

    \[t^2+2t+3+a=0\]

Или

    \[a=-t^2-2t-3\]

Парабола, ветви вниз, координаты вершины – (-1; -2).

Заметим, что

    \[t=x^2+4x+1=x^2+4x+4-3=(x+2)^2-3\]

Чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы исходное уравнение имело бы один корень, и чтобы он был неотрицателен: t \geqslant 0. Так как (x+2)^2>0, то t \in [-3; +\infty)

Для определения количества решений двигаем горизонтальную прямую сверху вниз. При a>-2 она не пересекает параболу – нет и решений. И так смещаем данную прямую, отмечая количество пересечений с параболой. Тогда из рисунка видно,

что при a<-6 решение 1, при a=-6 – два, при -6<a<2 – 2 корня, при a=-2 – 1 решение (вершина параболы), при a>-2 решений нет.

Ответ: a=-2, a<-6.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *