Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 26 (ГИА С6)

Простая задачка С6 ГИА



Попалась мне вчера такая вот задачка. Решила из интереса. На С4 ЕГЭ не тянет, но на С6 ГИА – вполне.

Дан треугольник со сторонами 10, 15 и 7. В него вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что она пересекает большие стороны. Нужно определить периметр отсекаемого треугольника.


 

Для начала я решила определить радиус вписанной окружности. Как никак, искомый периметр должен как-то от него зависеть, верно?

Чтобы определить радиус, мне понадобилась площадь: S=pr, а так как известны стороны, напрашивается формула Герона: S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где p – полупериметр p={a+b+c}/2.

Считаем:p={a+b+c}/2={10+15+7}/2=16,  S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=sqrt{16(16-15)(16-7)(16-10)}=4*3*sqrt{6}=12sqrt{6},

r=S/p={12sqrt{6}}/16={3/4}sqrt{6}.

Чертеж к задаче

Я провела радиусы окружности к местам, где ее касаются стороны. Радиусы перпендикулярны сторонам – касательным. Точки касания обозначила P и T. Заметила, что треугольники AOT и AOP равны (прямоугольные, равны гипотенуза и катет). Вспомнилась редко используемая формула для нахождения синуса половины угла треугольника (навеяно формулой Герона):

sin{alpha/2}=sqrt{{(p-b)(p-c)}/bc}=sqrt{{(16-15)(16-10)}/10*15}=sqrt{6/150}=sqrt{1/25}=1/5.

По геометрическому определению синуса, так как знаем радиус-катет, можем найти гипотенузу – отрезок АO:

sin{alpha/2}=r/AO, откуда AO=r/{sin{alpha/2}}={15/4}sqrt{6}.

Теперь найдем отрезки AP=AT от вершины А до точек касания, это можно сделать по теореме Пифагора:

AP=sqrt{{AO}^2-r^2}=sqrt{(225*6-9*6)/16}=sqrt{81}=9.

Сразу понятно становится, на какие отрезки разбивают точки касания все стороны треугольника:

 

 

 

На этом этапе мне уже понятно, что периметр отсекаемого треугольника равен 18. Вам этого  еще не видно? Вспомните свойства касательных, и давайте вместе отметим равные отрезки на рисунке:

Нам даже и неважно, как именно проходит наша касательная, и чему равны отмеченные отрезки. Периметр все равно будет равен 18 до тех пор, пока точка касания прямой k и окружности расположена между точками P и T.

 



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *