Простая задачка С6 ГИА

Попалась мне вчера такая вот задачка. Решила из интереса. На С4 ЕГЭ не тянет, но на С6 ГИА – вполне.

Дан треугольник со сторонами 10, 15 и 7. В него вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что она пересекает большие стороны. Нужно определить периметр отсекаемого треугольника.

Для начала я решила определить радиус вписанной окружности. Как никак, искомый периметр должен как-то от него зависеть, верно?

Чтобы определить радиус, мне понадобилась площадь: , а так как известны стороны, напрашивается формула Герона: , где p – полупериметр .

Считаем:,  ,

.

Чертеж к задаче

Я провела радиусы окружности к местам, где ее касаются стороны. Радиусы перпендикулярны сторонам – касательным. Точки касания обозначила P и T. Заметила, что треугольники AOT и AOP равны (прямоугольные, равны гипотенуза и катет). Вспомнилась редко используемая формула для нахождения синуса половины угла треугольника (навеяно формулой Герона):

.

По геометрическому определению синуса, так как знаем радиус-катет, можем найти гипотенузу – отрезок АO:

, откуда .

Теперь найдем отрезки AP=AT от вершины А до точек касания, это можно сделать по теореме Пифагора:

.

Сразу понятно становится, на какие отрезки разбивают точки касания все стороны треугольника:

На этом этапе мне уже понятно, что периметр отсекаемого треугольника равен 18. Вам этого  еще не видно? Вспомните свойства касательных, и давайте вместе отметим равные отрезки на рисунке:

Нам даже и неважно, как именно проходит наша касательная, и чему равны отмеченные отрезки. Периметр все равно будет равен 18 до тех пор, пока точка касания прямой k и окружности расположена между точками P и T.