Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Емкости, Электрическое поле

Пролет электрона через конденсатор

Рассмотрим несколько задач, в которых электроны пролетают сквозь плоский конденсатор. Покажем, что можно применять законы кинематики для решения таких задач.

Задача 1. В плоский конденсатор  длиной l=5 см влетает электрон под углом 15^{\circ} к пластинам. Электрон обладает энергией W=1500 эВ. Расстояние между пластинами конденсатора d=1 см.  Определить разность потенциалов между пластинами, при которой электрон на выходе из него будет двигаться параллельно пластинам.

При движении в конденсаторе, то есть в электрическом поле, электрон лишится вертикальной составляющей скорости \upsilon \sin{\alpha} под действием силы F=Eq. Разность потенциалов определяется формулой U=Ed, то есть U=\frac{Fd}{q}

Пролет происходит в течение времени

    \[t=\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}\]

Задача 1

Раз за это время вертикальная составляющая убыла до нуля, следовательно, ускорение электрона равно:

    \[a=\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{t}=\frac{\upsilon^2 \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{l}\]

Тогда сила, действующая на электрон, равна F=ma:

    \[F=\frac{m \upsilon^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{l}\]

Найдем разность потенциалов:

    \[U=\frac{Fd}{q}=\frac{ md \upsilon^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{ql}\]

Энергия электрона равна:

    \[W=\frac{ m \upsilon^2}{2}\]

Тогда можно записать:

    \[U=\frac{ 2Wd \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{ql}=\frac{ Wd \sin{2\alpha}}{ql}\]

Теперь можно и числа подставить:

    \[U=\frac{ 1500\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot0,01 \frac{1}{2}}{1,6\cdot10^{-19}\cdot0,05}=150\]

Ответ: 150 В

 

Задача 2. Электрон влетает в плоский конденсатор длиной l=10 см под углом \alpha=45^{\circ} к плоскости пластин, а вылетает  под углом \beta=30^{\circ}. Определить первоначальную кинетическую энергию электрона, если напряжение на пластинах конденсатора  U=158 В, а расстояние между его пластинами  d=1 см.

В этой задаче электрон не только потерял вертикальную составляющую скорости \upsilon \sin{\alpha}, которая у него была, но и приобрел противоположно направленную вертикальную составляющую \upsilon_1 \sin{\beta}.

Задача2

В то же время горизонтальная составляющая не изменилась:

    \[\upsilon \cos{\alpha}=\upsilon_1 \cos{\beta}\]

В таком случае скорость на вылете равна

    \[\upsilon_1=\frac{\upsilon \cos{\alpha}}{\cos{\beta}}\]

Поэтому получается, что общее изменение скорости по вертикальной оси составило

    \[\upsilon \sin{\alpha}+\upsilon_1 \sin{\beta}=\upsilon \sin{\alpha}+\frac{\upsilon \cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\beta}}=\upsilon \sin{\alpha}+\upsilon \cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta}\]

Время пролета найдем как

 

    \[t=\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}\]

Тогда можем найти ускорение электрона, оно равно отношению изменения скорости ко времени, за которое такое изменение произошло:

    \[a=\frac{\upsilon^2 \cos{\alpha} (\sin{\alpha}+\cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta})}{l}\]

Сила, действующая на электрон, равна F=ma. С другой стороны,

    \[F=\frac{Uq}{d}\]

Тогда

    \[\frac{Uq}{d}=\frac{m\upsilon^2 \cos{\alpha} (\sin{\alpha}+\cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta})}{l}=\frac{m\upsilon^2 \cos^2{\alpha} (\operatorname{tg}{\alpha}+ \operatorname{tg}{\beta})}{l}\]

Отсюда «вытащим» энергию электрона:

    \[W=\frac{ m\upsilon^2}{2}\]

    \[m\upsilon^2=\frac{Uql}{d\cos^2{\alpha}(\operatorname{tg}{\alpha}+ \operatorname{tg}{\beta})}\]

Чтобы получить энергию, разделим все пополам:

    \[W=\frac{Uql}{2d\cos^2{\alpha}(\operatorname{tg}{\alpha}+ \operatorname{tg}{\beta})}\]

Получили ответ задачи, теперь можно подставить цифры:

    \[W=\frac{158\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot0,1}{2\cdot0,01\frac{1}{2}(1+ \frac{1}{\sqrt{3}})}=1602\cdot10^{-19}\]

Если выразить это в эВ, то получим 1кэВ

Ответ: 1 кэВ

 

 

Задача 3. Электрон влетает в плоский заряженный конденсатор со скоростью \upsilon, направленной вдоль средней плоскости конденсатора AB. Через какое время нужно изменить направление электрического поля в конденсаторе на противоположное, не изменяя по абсолютной величине, чтобы на вылете из конденсатора электрон пересек плоскость AB? Длина пластин конденсатора l, силу тяжести не учитывать.

Задача 3

Пока поле направлено снизу вверх, электрон поднимется над плоскостью AB на высоту h за время t_1:

    \[h=\frac{at_1^2}{2}\]

Он при этом приобретет вертикальную составляющую скорости:

    \[\upsilon=at_1\]

Тогда, чтобы пересечь на вылете плоскость AB, нужно, чтобы координата электрона по вертикальной оси снова стала бы равной нулю. Тогда:

    \[-h- at_1t_2+\frac{at_2^2}{2}=0\]

    \[-\frac{at_1^2}{2}-a t_1t_2+\frac{at_2^2}{2}=0\]

Искомое время – t_1, общее время пролета электрона равно t=\frac{l}{\upsilon }, тогда t_2=t-t_1=\frac{l}{\upsilon }-t_1, подставим в уравнение:

    \[-\frac{at_1^2}{2}-a t_1(\frac{l}{\upsilon }-t_1)+\frac{a(\frac{l}{\upsilon }-t_1)^2}{2}=0\]

Избавившись от ускорения, решим квадратное уравнение:

    \[-t_1^2-2t_1(\frac{l}{\upsilon }-t_1)+ (\frac{l}{\upsilon }-t_1)^2=0\]

    \[t_1^2-2t_1\frac{l}{\upsilon }+\frac{l^2}{\upsilon^2 }-2\frac{lt_1}{\upsilon }+t_1^2=0\]

    \[2t_1^2-4t_1\frac{l}{\upsilon }+\frac{l^2}{\upsilon^2 }=0\]

    \[D=16\frac{l^2}{\upsilon^2}-2\cdot4\frac{l^2}{\upsilon^2}=8\frac{l^2}{\upsilon^2}\]

    \[t_1=\frac{4\frac{l}{\upsilon} \pm \frac{2\sqrt{2}l}{\upsilon}}{4}\]

    \[t_1=\frac{l}{\upsilon} \pm \frac{l }{\upsilon \sqrt{2}}\]

Положительный корень нам не подойдет, так как общее время пролета, равное \frac{l}{\upsilon}, всегда больше своей части, поэтому

    \[t_1=\frac{l}{\upsilon} - \frac{l }{\upsilon \sqrt{2}}\]

    \[t_1=\frac{l}{\upsilon}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

Ответ: t_1=\frac{l}{\upsilon}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *