Пролет электрона через конденсатор

Рассмотрим несколько задач, в которых электроны пролетают сквозь плоский конденсатор. Покажем, что можно применять законы кинематики для решения таких задач.

Задача 1. В плоский конденсатор длиной $l=5$ см влетает электрон под углом $15^{\circ}$ к пластинам. Электрон обладает энергией $W=1500$ эВ. Расстояние между пластинами конденсатора $d=1$ см. Определить разность потенциалов между пластинами, при которой электрон на выходе из него будет двигаться параллельно пластинам.

При движении в конденсаторе, то есть в электрическом поле, электрон лишится вертикальной составляющей скорости $\upsilon \sin{\alpha}$ под действием силы $F=Eq$ . Разность потенциалов определяется формулой $U=Ed$ , то есть $U=\frac{Fd}{q}$

Пролет происходит в течение времени

$t=\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}$

Задача 1

Раз за это время вертикальная составляющая убыла до нуля, следовательно, ускорение электрона равно:

$a=\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{t}=\frac{\upsilon^2 \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{l}$

Тогда сила, действующая на электрон, равна $F=ma$ :

$F=\frac{m \upsilon^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{l}$

Найдем разность потенциалов:

$U=\frac{Fd}{q}=\frac{ md \upsilon^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{ql}$

Энергия электрона равна:

$W=\frac{ m \upsilon^2}{2}$

Тогда можно записать:

$U=\frac{ 2Wd \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{ql}=\frac{ Wd \sin{2\alpha}}{ql}$

Теперь можно и числа подставить:

$U=\frac{ 1500\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot0,01 \frac{1}{2}}{1,6\cdot10^{-19}\cdot0,05}=150$

Ответ: 150 В

Задача 2. Электрон влетает в плоский конденсатор длиной $l=10$ см под углом $\alpha=45^{\circ}$ к плоскости пластин, а вылетает под углом $\beta=30^{\circ}$ . Определить первоначальную кинетическую энергию электрона, если напряжение на пластинах конденсатора $U=158$ В, а расстояние между его пластинами $d=1$ см.

В этой задаче электрон не только потерял вертикальную составляющую скорости $\upsilon \sin{\alpha}$ , которая у него была, но и приобрел противоположно направленную вертикальную составляющую $\upsilon_1 \sin{\beta}$ .

Задача2

В то же время горизонтальная составляющая не изменилась:

$\upsilon \cos{\alpha}=\upsilon_1 \cos{\beta}$

В таком случае скорость на вылете равна

$\upsilon_1=\frac{\upsilon \cos{\alpha}}{\cos{\beta}}$

Поэтому получается, что общее изменение скорости по вертикальной оси составило

$\upsilon \sin{\alpha}+\upsilon_1 \sin{\beta}=\upsilon \sin{\alpha}+\frac{\upsilon \cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\beta}}=\upsilon \sin{\alpha}+\upsilon \cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta}$

Время пролета найдем как

$t=\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}$

Тогда можем найти ускорение электрона, оно равно отношению изменения скорости ко времени, за которое такое изменение произошло:

$a=\frac{\upsilon^2 \cos{\alpha} (\sin{\alpha}+\cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta})}{l}$

Сила, действующая на электрон, равна $F=ma$ . С другой стороны,

$F=\frac{Uq}{d}$

Тогда

$\frac{Uq}{d}=\frac{m\upsilon^2 \cos{\alpha} (\sin{\alpha}+\cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta})}{l}=\frac{m\upsilon^2 \cos^2{\alpha} (\operatorname{tg}{\alpha}+ \operatorname{tg}{\beta})}{l}$

Отсюда «вытащим» энергию электрона:

$W=\frac{ m\upsilon^2}{2}$

$m\upsilon^2=\frac{Uql}{d\cos^2{\alpha}(\operatorname{tg}{\alpha}+ \operatorname{tg}{\beta})}$

Чтобы получить энергию, разделим все пополам:

$W=\frac{Uql}{2d\cos^2{\alpha}(\operatorname{tg}{\alpha}+ \operatorname{tg}{\beta})}$

Получили ответ задачи, теперь можно подставить цифры:

$W=\frac{158\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot0,1}{2\cdot0,01\frac{1}{2}(1+ \frac{1}{\sqrt{3}})}=1602\cdot10^{-19}$

Если выразить это в эВ, то получим 1кэВ

Ответ: 1 кэВ

Задача 3. Электрон влетает в плоский заряженный конденсатор со скоростью $\upsilon$ , направленной вдоль средней плоскости конденсатора $AB$ . Через какое время нужно изменить направление электрического поля в конденсаторе на противоположное, не изменяя по абсолютной величине, чтобы на вылете из конденсатора электрон пересек плоскость $AB$ ? Длина пластин конденсатора $l$ , силу тяжести не учитывать.

Задача 3

Пока поле направлено снизу вверх, электрон поднимется над плоскостью $AB$ на высоту $h$ за время $t_1$ :

$h=\frac{at_1^2}{2}$

Он при этом приобретет вертикальную составляющую скорости:

$\upsilon=at_1$

Тогда, чтобы пересечь на вылете плоскость $AB$ , нужно, чтобы координата электрона по вертикальной оси снова стала бы равной нулю. Тогда:

$-h- at_1t_2+\frac{at_2^2}{2}=0$

$-\frac{at_1^2}{2}-a t_1t_2+\frac{at_2^2}{2}=0$

Искомое время – $t_1$ , общее время пролета электрона равно $t=\frac{l}{\upsilon }$ , тогда $t_2=t-t_1=\frac{l}{\upsilon }-t_1$ , подставим в уравнение: