Пролет электрона через конденсатор

[latexpage]

Рассмотрим несколько задач, в которых электроны пролетают сквозь плоский конденсатор. Покажем, что можно применять законы кинематики для решения таких задач.

Задача 1. В плоский конденсатор  длиной $l=5$ см влетает электрон под углом $15^{\circ}$ к пластинам. Электрон обладает энергией $W=1500$ эВ. Расстояние между пластинами конденсатора $d=1$ см.  Определить разность потенциалов между пластинами, при которой электрон на выходе из него будет двигаться параллельно пластинам.

При движении в конденсаторе, то есть в электрическом поле, электрон лишится вертикальной составляющей скорости $\upsilon \sin{\alpha}$ под действием силы $F=Eq$. Разность потенциалов определяется формулой $U=Ed$, то есть $U=\frac{Fd}{q}$

Пролет происходит в течение времени

$$t=\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}$$

Задача 1

Раз за это время вертикальная составляющая убыла до нуля, следовательно, ускорение электрона равно:

$$a=\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{t}=\frac{\upsilon^2 \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{l}$$

Тогда сила, действующая на электрон, равна $F=ma$:

$$F=\frac{m \upsilon^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{l}$$

Найдем разность потенциалов:

$$U=\frac{Fd}{q}=\frac{ md \upsilon^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{ql}$$

Энергия электрона равна:

$$W=\frac{ m \upsilon^2}{2}$$

Тогда можно записать:

$$U=\frac{ 2Wd \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{ql}=\frac{ Wd \sin{2\alpha}}{ql}$$

Теперь можно и числа подставить:

$$U=\frac{ 1500\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot0,01 \frac{1}{2}}{1,6\cdot10^{-19}\cdot0,05}=150$$

Ответ: 150 В

Задача 2. Электрон влетает в плоский конденсатор длиной $l=10$ см под углом $\alpha=45^{\circ}$ к плоскости пластин, а вылетает  под углом $\beta=30^{\circ}$. Определить первоначальную кинетическую энергию электрона, если напряжение на пластинах конденсатора  $U=158$ В, а расстояние между его пластинами  $d=1$ см.

В этой задаче электрон не только потерял вертикальную составляющую скорости $\upsilon \sin{\alpha}$, которая у него была, но и приобрел противоположно направленную вертикальную составляющую $\upsilon_1 \sin{\beta}$.

Задача2

В то же время горизонтальная составляющая не изменилась:

$$\upsilon \cos{\alpha}=\upsilon_1 \cos{\beta}$$

В таком случае скорость на вылете равна

$$\upsilon_1=\frac{\upsilon \cos{\alpha}}{\cos{\beta}}$$

Поэтому получается, что общее изменение скорости по вертикальной оси составило

$$\upsilon \sin{\alpha}+\upsilon_1 \sin{\beta}=\upsilon \sin{\alpha}+\frac{\upsilon \cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\beta}}=\upsilon \sin{\alpha}+\upsilon \cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta}$$

Время пролета найдем как

$$t=\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}$$

Тогда можем найти ускорение электрона, оно равно отношению изменения скорости ко времени, за которое такое изменение произошло:

$$a=\frac{\upsilon^2 \cos{\alpha} (\sin{\alpha}+\cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta})}{l}$$

Сила, действующая на электрон, равна $F=ma$. С другой стороны,

$$F=\frac{Uq}{d}$$

Тогда

$$\frac{Uq}{d}=\frac{m\upsilon^2 \cos{\alpha} (\sin{\alpha}+\cos{\alpha} \operatorname{tg}{\beta})}{l}=\frac{m\upsilon^2 \cos^2{\alpha} (\operatorname{tg}{\alpha}+ \operatorname{tg}{\beta})}{l}$$

Отсюда «вытащим» энергию электрона:

$$W=\frac{ m\upsilon^2}{2}$$

$$ m\upsilon^2=\frac{Uql}{d\cos^2{\alpha}(\operatorname{tg}{\alpha}+ \operatorname{tg}{\beta})}$$

Чтобы получить энергию, разделим все пополам:

$$W=\frac{Uql}{2d\cos^2{\alpha}(\operatorname{tg}{\alpha}+ \operatorname{tg}{\beta})}$$

Получили ответ задачи, теперь можно подставить цифры:

$$W=\frac{158\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot0,1}{2\cdot0,01\frac{1}{2}(1+ \frac{1}{\sqrt{3}})}=1602\cdot10^{-19}$$

Если выразить это в эВ, то получим 1кэВ

Ответ: 1 кэВ

Задача 3. Электрон влетает в плоский заряженный конденсатор со скоростью $\upsilon$, направленной вдоль средней плоскости конденсатора $AB$. Через какое время нужно изменить направление электрического поля в конденсаторе на противоположное, не изменяя по абсолютной величине, чтобы на вылете из конденсатора электрон пересек плоскость $AB$? Длина пластин конденсатора $l$, силу тяжести не учитывать.

Задача 3

Пока поле направлено снизу вверх, электрон поднимется над плоскостью $AB$ на высоту $h$ за время $t_1$:

$$h=\frac{at_1^2}{2}$$

Он при этом приобретет вертикальную составляющую скорости:

$$\upsilon=at_1$$

Тогда, чтобы пересечь на вылете плоскость $AB$, нужно, чтобы координата электрона по вертикальной оси снова стала бы равной нулю. Тогда:

$$-h- at_1t_2+\frac{at_2^2}{2}=0$$

$$-\frac{at_1^2}{2}-a t_1t_2+\frac{at_2^2}{2}=0$$

Искомое время – $t_1$, общее время пролета электрона равно $t=\frac{l}{\upsilon }$, тогда $t_2=t-t_1=\frac{l}{\upsilon }-t_1$, подставим в уравнение:

$$-\frac{at_1^2}{2}-a t_1(\frac{l}{\upsilon }-t_1)+\frac{a(\frac{l}{\upsilon }-t_1)^2}{2}=0$$

Избавившись от ускорения, решим квадратное уравнение:

$$-t_1^2-2t_1(\frac{l}{\upsilon }-t_1)+ (\frac{l}{\upsilon }-t_1)^2=0$$

$$t_1^2-2t_1\frac{l}{\upsilon }+\frac{l^2}{\upsilon^2 }-2\frac{lt_1}{\upsilon }+t_1^2=0$$

$$2t_1^2-4t_1\frac{l}{\upsilon }+\frac{l^2}{\upsilon^2 }=0$$

$$D=16\frac{l^2}{\upsilon^2}-2\cdot4\frac{l^2}{\upsilon^2}=8\frac{l^2}{\upsilon^2}$$

$$t_1=\frac{4\frac{l}{\upsilon} \pm \frac{2\sqrt{2}l}{\upsilon}}{4}$$

$$t_1=\frac{l}{\upsilon} \pm \frac{l }{\upsilon \sqrt{2}}$$

Корень “с плюсом”  нам не подойдет, так как общее время пролета, равное $\frac{l}{\upsilon}$, всегда больше своей части, поэтому

$$t_1=\frac{l}{\upsilon} – \frac{l }{\upsilon \sqrt{2}}$$

$$t_1=\frac{l}{\upsilon}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$

Ответ: $t_1=\frac{l}{\upsilon}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$