Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Прогрессии

Прогрессии: задачи для продвинутых

Прогрессия – благодатная тема. Придумать задач можно великое множество, причем разной сложности, смешать в задаче и арифметическую, и геометрическую прогрессии. Представляю вашему вниманию задачи, которые, по мнению авторов, относятся к уровню В. Но на мой взгляд, задачи довольно сложные – для сильного ученика.

Задача 1. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 7; при делении десятого члена прогрессии на ее пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найдите двадцатый член этой прогрессии.

Запишем условия:

   

   

Теперь распишем члены прогрессии через первый член и разность прогрессии:

   

   

   

   

И подставим в наши уравнения:

   

   

   

И второе:

   

   

Откуда

   

   

   

Ответ: , .

Задача 2. Даны две арифметические прогрессии (11; 15; 19; …), (154; 147; 140; …). Найдите все общие члены этих прогрессий.

Разность первой прогрессии равна 4, второй – 7. Запишем n-ный член для каждой прогрессии:

   

   

Мы ищем одинаковые члены прогрессий, поэтому приравняем выражения:

   

   

Таким образом, подберем значения , кратные 7, чтобы число было целым: при , при , при , при , при .

Следовательно, общие члены прогрессий

   

   

   

   

   

Ответ: 35, 63, 91, 119, 147.

 

Задача 3. – арифметическая прогрессия. , . Найдите .

Сумму можно представить как

   

Разделим на 3:

   

То есть

   

Тогда

   

   

Тогда

   

   

   

Или

   

Ответ: или .

 

Задача 4. Найдите сумму всех чётных трёхзначных чисел, делящихся на 3.

Такие числа обязательно делятся на 6, поэтому образуют арифметическую прогрессию с разностью . Первый член нашей прогрессии, очевидно, 102 – числа 100 и 101 не делятся на 6. Последний член – 996. Определим его номер:

   

   

   

Теперь можно найти сумму таких чисел:

   

Ответ: 82350.

Задача 5. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем  равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

По условию

   

Также

   

Запишем последнее так:

   

   

В скобках можно заметить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , тогда

   

А из самого первого уравнения этой задачи следует, что

   

Тогда

   

Подставим это в (2)

   

Откуда, сокращая, получаем

   

Получаем квадратное уравнение

   

   

Первый корень не подходит по условию, тогда

   

Ответ: .

 

Задача 6. Найдите четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21; а сума средних равна 18.

Дано:

   

   

Также известно, что

   

   

   

   

Тогда разность арифметической прогрессии может быть найдена как

   

Сумма средних равна

   

Сумма крайних (с учетом, что )

   

Подставим разность :

   

Имеем:

   

Разделим теперь (2) на (1):

   

Получили квадратное уравнение:

   

Корни: или .

Если , то

Тогда , , а . Следовательно, .

Если , то

Тогда , , а . Следовательно, .

Ответ: 3, 6, 12, 18 или 18,75, 11,25, 6,75, 2,25.

 

 

Задача 7. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найдите эти числа.

Итак, – образуют геометрическую прогрессию, по ее свойствам

   

   

Числа – образуют арифметическую прогрессию. То есть

   

   

Числа снова образуют геометрическую прогрессию, но знаменатель у нее может быть другим:

   

   

Знаменатель первой геометрической прогрессии

   

А второй геометрической

   

По свойству геометрической прогрессии можно записать:

   

   

Но вторая геометрическая обладает тем же свойством:

   

   

Приравниваем , полученные таким образом из обоих прогрессий:

   

Упрощая это, имеем:

   

   

   

Тогда

   

 

Разность арифметической прогрессии

   

Тогда

   

   

Откуда

   

   

   

   

   

   

В случае, если , то , .

В случае, если , то , .

Ответ: 4, 8, 16 или 0,16, -0,64, 2,56.

 

Задача 8. Найдите три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно .

   

   

Или .

По свойству прогрессии

   

   

Откуда .

Тогда

   

   

Либо , , либо наоборот, , .

Ответ: 2, 4, 8 или 8, 4, 2.

Задача 9. Даны две арифметические прогрессии. Первый и пятый члены первой прогрессии равны соответственно 7 и (-5). У второй прогрессии первый член равен 0, а последний равен 3,5. Найдите сумму членов второй прогрессии, если известно, что третьи члены обеих прогрессий равны между собой.

Так как первый и пятый на одинаковом «расстоянии» от третьего, то выполняется свойство прогрессии:

   

Таким образом, у второй прогрессии первый член – 0, а третий – 1, значит, второй  – 0,5 и разность тоже 0,5. Следовательно, 3,5 – это восьмой член прогрессии. Осталось сосчитать сумму:

   

Ответ: 14.

 

Задача 10. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, делящихся на 7.

Такие числа обязательно делятся на 7, поэтому образуют арифметическую прогрессию с разностью . Первый член нашей прогрессии, очевидно, 105 – числа 100, 101, 102, 103 и 104 не делятся на 7. Последний член – 994. Определим его номер:

   

   

   

Теперь можно найти сумму таких чисел:

   

Ответ: 70336.

 

 

Задача 11. Найдите сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем , если её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов членов к сумме членов равна .

   

   

Преобразуем:

   

 

   

В скобках имеем в числителе – сумму бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем , а в знаменателе – сумму бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем . Тогда

   

Или

   

Но , поэтому

   

   

   

или , но по условию проходит меньший 1 по модулю знаменатель – то есть . Тогда

   

   

   

Ответ: .

 

Задача 12. В геометрической прогрессии с отрицательными членами сумма первых шести членов равна (-504) и . Найдите знаменатель прогрессии.

Запишем обе сумы немного по-другому:

   

   

   

Теперь еще раз преобразуем последнее:

   

Или

   

   

Разделим (2) на (1)

   

   

Тогда знаменатель либо , либо .

Так как по условию члены прогрессии отрицательны, нам подойдет положительный знаменатель.

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *