Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Прогрессии

Прогрессии: задачи для продвинутых

Прогрессия – благодатная тема. Придумать задач можно великое множество, причем разной сложности, смешать в задаче и арифметическую, и геометрическую прогрессии. Представляю вашему вниманию задачи, которые, по мнению авторов, относятся к уровню В. Но на мой взгляд, задачи довольно сложные – для сильного ученика.

Задача 1. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 7; при делении десятого члена прогрессии на ее пятый член в частном получается 2 и в остатке 5. Найдите двадцатый член этой прогрессии.

Запишем условия:

    \[\frac{a_9}{a_2}=7\]

    \[a_{10}=2a_5+5\]

Теперь распишем члены прогрессии через первый член и разность прогрессии:

    \[a_9=a_1+8d\]

    \[a_2=a_1+d\]

    \[a_{10}=a_1+9d\]

    \[a_5=a_1+4d\]

И подставим в наши уравнения:

    \[a_9=7a_7\]

    \[a_1+8d=7(a_1+d)\]

    \[6a_1=d\]

И второе:

    \[a_1+9d=2(a_1+4d)+5\]

    \[d-5=a_1\]

Откуда

    \[6a_1-5=a_1\]

    \[a_1=1\]

    \[d=6\]

Ответ: a_1=1, d=6.

Задача 2. Даны две арифметические прогрессии (11; 15; 19; …), (154; 147; 140; …). Найдите все общие члены этих прогрессий.

Разность первой прогрессии равна 4, второй – 7. Запишем n-ный член для каждой прогрессии:

    \[a_{n1}=7+4n\]

    \[a_{n2}=161-7m\]

Мы ищем одинаковые члены прогрессий, поэтому приравняем выражения:

    \[7+4n=161-7m\]

    \[m=22-\frac{4}{7}n\]

Таким образом, подберем значения n, кратные 7, чтобы число m было целым: при n=7m=18, при n=14m=14, при n=21m=10, при n=28m=6, при n=35m=2.

Следовательно, общие члены прогрессий

    \[161-7m=161-7\cdot18=35\]

    \[161-7m=161-7\cdot14=63\]

    \[161-7m=161-7\cdot10=91\]

    \[161-7m=161-7\cdot6=119\]

    \[161-7m=161-7\cdot2=147\]

Ответ: 35, 63, 91, 119, 147.

 

Задача 3. a_n– арифметическая прогрессия. a_1+a_3+a_5=-12, a_1\cdot a_3\cdot a_5=80. Найдите a_1.

Сумму можно представить как

    \[a_1+a_3+a_5=a_1+a_1+2d+a_1+4d=3a_1+6d=-12\]

Разделим на 3:

    \[a_1+2d=-4\]

То есть

    \[a_3=-4\]

Тогда

    \[a_1+a_5=-8\]

    \[a_1\cdot a_5=-20\]

Тогда

    \[a_1(-8-a_1)+20=0\]

    \[a_1^2+8a_1-20=0\]

    \[a_1=-10\]

Или

    \[a_1=2\]

Ответ: a_1=-10 или a_1=2.

 

Задача 4. Найдите сумму всех чётных трёхзначных чисел, делящихся на 3.

Такие числа обязательно делятся на 6, поэтому образуют арифметическую прогрессию с разностью d=6. Первый член нашей прогрессии, очевидно, 102 – числа 100 и 101 не делятся на 6. Последний член – 996. Определим его номер:

    \[a_n=a_1+d(n-1)\]

    \[996=102+6(n-1)\]

    \[n=150\]

Теперь можно найти сумму таких чисел:

    \[S_{150}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{204+6(150-1)}{2}\cdot150=82350\]

Ответ: 82350.

Задача 5. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \mid q \mid<1  равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

По условию

    \[S_n=\frac{b_1}{1-q}=4~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Также

    \[b_1^3+b_2^3+b_3^3+ \ldots =192\]

Запишем последнее так:

    \[b_1^3+b_1^3q^3+b_1^3q^6+\ldots=192\]

    \[b_1^3 (1+q^3+q^6+\ldots)=192\]

В скобках можно заметить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q^3, тогда

    \[b_1^3\cdot\frac{1}{1-q^3}=192~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

А из самого первого уравнения этой задачи следует, что

    \[b_1=4(1-q)\]

Тогда

    \[b_1^3=64(1-q)^3\]

Подставим это в (2)

    \[64(1-q)^3\frac{1}{1-q^3}=192\]

Откуда, сокращая, получаем

    \[(1-q)^2=3(1+q+q^2)\]

Получаем квадратное уравнение

    \[2q^2+5q+2=0\]

    \[q=-2, q=-\frac{1}{2}\]

Первый корень не подходит по условию, тогда

    \[b_1=4(1-q)=4(1+\frac{1}{2})=6\]

Ответ: b_1=6, q=-\frac{1}{2}.

 

Задача 6. Найдите четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21; а сума средних равна 18.

Дано: a, b, c, f

    \[a+f=21\]

    \[b+c=18\]

Также известно, что

    \[b=aq\]

    \[c=aq^2\]

    \[c=b+d\]

    \[f=b+2d\]

Тогда разность арифметической прогрессии может быть найдена как

    \[d=c-b=aq^2-aq=aq(q-1)\]

Сумма средних равна

    \[aq+aq^2=aq(1+q)=18~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Сумма крайних (с учетом, что f=c+d=aq^2+d)

    \[a+ aq^2+d=21\]

Подставим разность d:

    \[a+ aq^2+ aq^2-aq =21\]

Имеем:

    \[a(1+2q^2-q)=21~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Разделим теперь (2) на (1):

    \[\frac{1+2q^2-q }{ q(1+q)}=\frac{7}{6}\]

Получили квадратное уравнение:

    \[12q^2-13q+6=0\]

Корни: q=2 или q=0,6.

Если q=2, то a=\frac{18}{q(1+q)}=3

Тогда b=6, c=12, а d=21-aq^2-a=21-3\cdot4-3=6. Следовательно, f=c+d=12+6=18.

Если q=0,6, то a=\frac{18}{q(1+q)}=18,75

Тогда b=11,25, c=6,75, а d=21-6,75-18,75=-4,5. Следовательно, f=c+d=6,75-4,5=2,25.

Ответ: 3, 6, 12, 18 или 18,75, 11,25, 6,75, 2,25.

 

 

Задача 7. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найдите эти числа.

Итак, a, b, c – образуют геометрическую прогрессию, по ее свойствам

    \[b=aq_1\]

    \[c=aq_1^2\]

Числа a, b+2, c – образуют арифметическую прогрессию. То есть

    \[a+d=b+2\]

    \[a+2d=c\]

Числа a, b+2, c+9 снова образуют геометрическую прогрессию, но знаменатель у нее может быть другим:

    \[aq_2=b+2\]

    \[aq_2^2=c+9\]

Знаменатель первой геометрической прогрессии

    \[q_1=\frac{c}{b}\]

А второй геометрической

    \[q_2=\frac{c+9}{b+2}\]

По свойству геометрической прогрессии можно записать:

    \[b^2=ac\]

    \[a=\frac{b^2}{c}\]

Но вторая геометрическая обладает тем же свойством:

    \[(b+2)^2=a(c+9)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

    \[a=\frac{(b+2)^2}{c+9}\]

Приравниваем a, полученные таким образом из обоих прогрессий:

    \[\frac{b^2}{c}=\frac{(b+2)^2}{c+9}\]

Упрощая это, имеем:

    \[b^2(c+9)=(b+2)^2c\]

    \[9b^2-4bc-4c=0\]

    \[c=\frac{9b^2}{4(b+1)}\]

Тогда

    \[a=\frac{b^2}{c}=\frac{b^2}{\frac{9b^2}{4(b+1)}}=\frac{4(b+1)}{9}\]

 

Разность арифметической прогрессии

    \[d=b+2-a=b+2-\frac{4(b+1)}{9}=\frac{5b+14}{9}\]

Тогда

    \[a+2d=c\]

    \[\frac{4(b+1)}{9}+\frac{2(5b+14)}{9}=\frac{9b^2}{4(b+1)}\]

Откуда

    \[4(b+1)+2(5b+14)= \frac{81b^2}{4(b+1)}\]

    \[4(14b+32)(b+1)=81b^2\]

    \[25b^2-184b-128=0\]

    \[\frac{D}{4}=92^2+128\cdot25=11664=108^2\]

    \[b=\frac{92+108}{25}=8\]

    \[b=\frac{92-108}{25}=-0,64\]

В случае, если b=8, то a=\frac{4(b+1)}{9}=4, c=\frac{9b^2}{4(b+1)}=16.

В случае, если b=-0,64, то a=\frac{4(b+1)}{9}=0,16, c=\frac{9b^2}{4(b+1)}=2,56.

Ответ: 4, 8, 16 или 0,16, -0,64, 2,56.

 

Задача 8. Найдите три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно \frac{14}{3}.

    \[a\cdot b \cdot c=64\]

    \[\frac{a+b+c}{3}=\frac{14}{3}\]

Или a+b+c=14.

По свойству прогрессии

    \[b^2=ac\]

    \[b^2=\frac{64}{b}\]

Откуда b=4.

Тогда

    \[a \cdot c=16\]

    \[a+c=10\]

Либо a=2, c=8, либо наоборот, c=2, a=8.

Ответ: 2, 4, 8 или 8, 4, 2.

Задача 9. Даны две арифметические прогрессии. Первый и пятый члены первой прогрессии равны соответственно 7 и (-5). У второй прогрессии первый член равен 0, а последний равен 3,5. Найдите сумму членов второй прогрессии, если известно, что третьи члены обеих прогрессий равны между собой.

Так как первый и пятый на одинаковом «расстоянии» от третьего, то выполняется свойство прогрессии:

    \[a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=1\]

Таким образом, у второй прогрессии первый член – 0, а третий – 1, значит, второй  – 0,5 и разность тоже 0,5. Следовательно, 3,5 – это восьмой член прогрессии. Осталось сосчитать сумму:

    \[S_8=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{0+0,5(8-1)}{2}8=14\]

Ответ: 14.

 

Задача 10. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, делящихся на 7.

Такие числа обязательно делятся на 7, поэтому образуют арифметическую прогрессию с разностью d=7. Первый член нашей прогрессии, очевидно, 105 – числа 100, 101, 102, 103 и 104 не делятся на 7. Последний член – 994. Определим его номер:

    \[a_n=a_1+d(n-1)\]

    \[994=105+7(n-1)\]

    \[n=128\]

Теперь можно найти сумму таких чисел:

    \[S_{128}=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{210+7(128-1)}{2}\cdot128=70336\]

Ответ: 70336.

 

 

Задача 11. Найдите сумму семи первых членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \mid q \mid<1 , если её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов членов к сумме членов равна \frac{16}{3}.

    \[b_2=b_1q=4\]

    \[\frac{b_1^2+b_2^2+b_3^2+\ldots}{b_1+b_2+b_3+\ldots}=\frac{16}{3}\]

Преобразуем:

    \[\frac{b_1^2+b_1^2q^2+b_1^2q^4+\ldots}{b_1+b_1q+b_1q^2+\ldots}=\frac{16}{3}\]

 

    \[\frac{b_1^2(1+q^2+q^4+\ldots)}{b_1(1+q+q^2+\ldots)}=\frac{16}{3}\]

В скобках имеем в числителе – сумму бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q^2, а в знаменателе – сумму бесконечно убывающей прогрессии со знаменателем q. Тогда

    \[\frac{b_1\frac{1}{1-q^2}}{\frac{1}{1-q}}=\frac{16}{3}\]

Или

    \[\frac{b_1}{1+q}=\frac{16}{3}\]

Но b_1=\frac{4}{q}, поэтому

    \[3b_1=16(1+q)\]

    \[3\cdot\frac{4}{q}=16(1+q)\]

    \[4q^2+4q-3=0\]

q=0,5 или q=-1,5, но по условию проходит меньший 1 по модулю знаменатель – то есть q=0,5. Тогда

    \[S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\]

    \[b_1=\frac{4}{q}=8\]

    \[S_7=\frac{8(1-0,5^7)}{1-0,5}=\frac{127}{8}\]

Ответ: S_7=\frac{127}{8}.

 

Задача 12. В геометрической прогрессии с отрицательными членами сумма первых шести членов равна (-504) и b_1+b_4=-24. Найдите знаменатель прогрессии.

Запишем обе сумы немного по-другому:

    \[b_1+b_1q^3=-24\]

    \[b_1(1+q^3)=-24~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

    \[b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3+b_1^4+b_1q^5=-504\]

Теперь еще раз преобразуем последнее:

    \[b_1(1+q^3+q^2+q^5+q+q^4)=-504\]

Или

    \[b_1((1+q^3)+q^2(1+q^3)+q(1+q^3))=-504\]

    \[b_1(1+q^3)(1+q^2+q)=-504~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Разделим (2) на (1)

    \[1+q+q^2=21\]

    \[q^2+q-20=0\]

Тогда знаменатель либо q=4, либо q=-5.

Так как по условию члены прогрессии отрицательны, нам подойдет положительный знаменатель.

Ответ: q=4.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *