Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Прогрессии

Прогрессии: контрольная подготовительных курсов МГУ

Задачи на прогрессии, которые были включены в контрольную работу на курсах подготовки к ЕГЭ МГУ. Очень интересные задачи, решала с удовольствием, чего и вам желаю!

Задача 1. Сумма второго, третьего и четвертого членов убывающей арифметической прогрессии в три раза больше квадрата разности этой прогрессии. Сумма третьего и шестого ее членов равна двум. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Запишем условие:

    \[(a_2+a_3+a_4)=3d^2\]

    \[a_3+a_6=2\]

Также известно, что a_2>a_3>a_4.

Из второго условия имеем:

    \[a_1+2d+a_1+5d=2\]

    \[2a_1+7d=2\]

    \[a_1=1-3,5d\]

Первое условие запишем так:

    \[a_1+d+a_1+2d+a_1+3d=3d^2\]

    \[3a_1+6d=3d^2\]

Или

    \[a_1+2d=d^2\]

Заменим a_1 на 1-3,5d.

    \[1-3,5d+2d-d^2=0\]

    \[d^2+1,5d-1=0\]

    \[D=1,5^2+4\cdot1=6,25\]

    \[d_{1,2}=\frac{-1,5 \pm \sqrt{6,25}}{2}=-2\]

Выбрали отрицательный корень, так как известно, что прогрессия убывающая. Теперь можно определить первый член и сумму прогрессии:

    \[a_1=1-3,5d=1+7=8\]

    \[S_6=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\frac{16-2(6-1)}{2}\cdot6=18\]

Ответ: S_6=18

 

Задача 2. Определить три положительных числа, которые образуют геометрическую прогрессию, если их сумма равна \frac{91}{9}, а сумма обратных величин равна \frac{13}{7}.

Запишем условие:

    \[b_1+b_2+b_3=\frac{91}{9}\]

    \[\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}=\frac{13}{7}\]

Представим теперь b_2=qb_1, а b_3=q^2b_1.

Тогда:

    \[b_1+qb_1+q^2b_1=\frac{91}{9}\]

    \[\frac{1}{b_1}+\frac{1}{qb_1}+\frac{1}{q^2b_1}=\frac{13}{7}\]

Вынесем b_1 за скобку:

    \[b_1(1+q+q^2)=\frac{91}{9}\]

    \[\frac{1}{b_1}\left(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}\right)=\frac{13}{7}\]

Или

    \[1+q+q^2=\frac{91}{9b_1}\]

    \[\frac{1}{b_1}\frac{q^2+q+1}{q^2}=\frac{13}{7}\]

Подставим  1+q+q^2:

    \[\frac{1}{b_1}\frac{91}{9b_1q^2}=\frac{13}{7}\]

Или:

    \[b_1^2q^2=\frac{49}{9}\]

    \[b_1q=\frac{7}{3}\]

Но b_1q=b_2=\frac{7}{3}.

Тогда получаем обычную систему уравнений:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_3}=\frac{10}{7}}\\{ b_1+b_3=\frac{70}{9}}\end{matrix}}\]

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{ b_1+ b_3}{b_1 b_3}=\frac{10}{7}}\\{ b_1+b_3=\frac{70}{9}}\end{matrix}}\]

Сумму из второго уравнения подставим в первое:

    \[\begin{Bmatrix}{\frac{ 70}{9b_1 b_3}=\frac{10}{7}}\\{ b_1+b_3=\frac{70}{9}}\end{matrix}}\]

    \[b_1 b_3=\frac{49}{9}\]

    \[b_1=\frac{49}{9 b_3}\]

Подставим во второе уравнение системы:

    \[b_3+\frac{49}{9 b_3}=\frac{70}{9}\]

    \[b_3^2-\frac{70b_3}{9}+\frac{49}{9}=0\]

    \[9b_3^2-70b_3+49=0\]

    \[D=4900-4\cdot49\cdot9=3136=56^2\]

    \[b_3=\frac{70 \pm 56}{18}\]

Корни b_3=7 или b_3=\frac{7}{9}.

Тогда b_1=\frac{7}{9} или b_1=7.

 

Задача 3. Сумма первого, удвоенного второго и утроенного четвертого членов геометрической прогрессии равна 2, ее первый член, знаменатель и второй член образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии.

Запишем условие:

    \[b_1+2b_2+3b_4=2\]

Представим теперь b_2=qb_1, а b_4=q^3b_1.

Получим

    \[b_1+2qb_1+3q^3b_1=2\]

    \[b_1(1+2q+3q^3)=2\]

Если первый член, знаменатель и второй член образуют арифметическую прогрессию, то по свойству арифметической прогрессии

    \[\frac{b_1+b_2}{2}=q\]

Тогда

    \[b_1+qb_1=2q\]

Или

    \[b_1=\frac{2q}{1+q}\]

Подставим в условие задачи:

    \[\frac{2q}{1+q}(1+2q+3q^3)=2\]

    \[q+2q^2+3q^4=1+q\]

Получаем биквадратное уравнение:

    \[3q^4+2q^2-1=0\]

Решим это биквадратное уравнение:

    \[D=2^2-4\cdot(-1)\cdot3=16\]

    \[q^2_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6}\]

Тогда либо q^2=\frac{1}{3}, либо q^2=-1 – этот корень посторонний.

Следовательно, q=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.

Определим первый член прогрессии при положительном знаменателе:

    \[b_1=\frac{2q}{1+q}=\frac{2}{\sqrt{3}(1+\frac{1}{\sqrt{3}})}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}\]

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

    \[b_1=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)( \sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1\]

Определим первый член прогрессии при отрицательном знаменателе:

    \[b_1=\frac{2q}{1+q}=\frac{-2}{\sqrt{3}(1-\frac{1}{\sqrt{3}})}=\frac{-2}{\sqrt{3}-1}\]

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

    \[b_1=\frac{-2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)( \sqrt{3}-1)}=\frac{-2(\sqrt{3}+1)}{2}=-\sqrt{3}-1\]

Ответ: q=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, b_1=\sqrt{3}-1, b_1=-\sqrt{3}-1.

Задача 4. Числа a_1, a_2, a_3 образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел – геометрическую прогрессию. Найти a_1, a_2, a_3, если a_1+ a_2+ a_3=21.

Так как квадраты образуют геометрическую прогрессию, то можно записать, что знаменатель этой прогрессии

    \[q=\frac{a_2^2}{a_1^2}=\frac{a_3^2}{a_2^2}\]

Отсюда можно получить, что:

    \[a_2^2=a_1a_3\]

Также можно записать следующее:

    \[a_1+a_1+d+a_1+2d=21\]

    \[3a_1+3d=21\]

    \[a_1+d=7=a_2\]

Но тогда a_1a_3=49, а так как сумма a_1+a_3=14, то a_1=a_3=7

Ответ: a_1=a_2=a_3=7.

 

Задача 5. Найти 4 положительных числа, из которых первые три составляют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую. Сумма первых трех чисел равна 12, а сумма последних трех равна 19.

    \[a_1+a_2+a_3=12\]

    \[a_2+a_3+a_4=19\]

Тогда, если вычесть из одного уравнения другое,  a_4-a_1=7.

Первое уравнение запишем иначе:

    \[a_1+a_1+d+a_1+3d=12\]

Или

    \[3a_1+3d=12\]

    \[a_1+d=4\]

Но a_1+d=a_2, следовательно, a_2=4

Можно теперь угадать ответ: a_1=2, a_2=4, a_3=6, a_4=9.

 

Задача 6. Решить уравнение x^3+ 3x^2-6x+a=0, зная, что есть три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Если есть корни b_1, b_2, b_3, то многочлен можно представить в виде:

    \[(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)=(x-b_1)(x^2-b_2x-b_3x+b_2b_3)= (x-b_1)(x^2-x(b_2+b_3)+b_2b_3)=\]

    \[=x^3-x^2(b_2+b_3)+xb_2b_3-x^2b_1+xb_1(b_2+b_3)-b_1b_2b_3= x^3-x^2(b_1+b_2+b_3)+x(b_2b_3+ b_1(b_2+b_3))- b_1b_2b_3\]

Сопоставим коэффициенты уравнения и полученные в разложении:

    \[\begin{Bmatrix}{ b_1+b_2+b_3=-3}\\{ b_2b_3+ b_1b_2+b_1b_3=-6}\\{ b_1b_2b_3=-a}\end{matrix}}\]

Так как известно, что корни образуют прогрессию, то

    \[b_2=qb_1\]

    \[b_3=q^2b_1\]

Тогда

    \[\begin{Bmatrix}{ b_1+qb_1+q^2b_1=-3}\\{ q^3b_1^2+ qb_1^2+q^2b_1^2=-6}\\{ q^3b_1^3=-a}\end{matrix}}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ b_1(1+q+q^2)=-3}\\{ qb_1^2(q^2+ 1+q)=-6}\\{ q^3b_1^3=-a}\end{matrix}}\]

Разделим второе уравнение на первое:

    \[qb_1=2=b_2\]

Выразим b_1=\frac{2}{q}.

Подставим  в первое уравнение:

    \[b_1(1+q+q^2)=-3\]

    \[\frac{2}{q}(1+q+q^2)=-3\]

    \[2+2q+2q^2=-3q\]

Получили квадратное уравнение:

    \[2q^2+5q+2=0\]

    \[D=5^5-4\cdot2\cdot2=9\]

Корни:

    \[q_{1,2}=\frac{-5 \pm 3}{4}\]

    \[q_1=-\frac{1}{2}\]

    \[q_2=-2\]

Теперь нужно выбрать подходящий знаменатель, для этого подставим и проверим:

    \[b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{2}{-\frac{1}{2}}=-4\]

    \[b_3=qb_2=-\frac{1}{2}\cdot2=-1\]

Тогда b_1+b_2+b_3=-3, но b_2b_3+ b_1b_2+b_1b_3\neq -6, следовательно, q_1=-\frac{1}{2} – не подходит.

Проверяем второй знаменатель:

    \[b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{2}{-2}=-1\]

    \[b_3=qb_2=-2\cdot2=-4\]

Тогда b_1+b_2+b_3=-3. И второе b_2b_3+ b_1b_2+b_1b_3= -6 – выполняется.

Следовательно, получили ответ:

    \[x^3+ 3x^2-6x-8=0\]

b_1=-1, b_2=2, b_3=-4.

 

Задача 7. Найти все значения x, при которых числа (\sqrt[3]{7})^{3\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}, \left(\frac{1}{7}\right)^{\sin \left(-3x+\frac{\pi}{4}\right)}, 7^{\sin \left(5x-\frac{3\pi}{4}\right)} в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

Если указанные числа образуют геометрическую прогрессию, то ее знаменатель

    \[q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}\]

    \[b_2^2=b_1b_3\]

    \[\left(\frac{1}{7}\right)^{2\sin \left(-3x+\frac{\pi}{4}\right)}= (\sqrt[3]{7})^{3\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\cdot 7^{\sin \left(5x-\frac{3\pi}{4}\right)}\]

Согласно свойствам степеней

    \[\sin \left(5x-\frac{3\pi}{4}\right)+ \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-2\sin \left(-3x+\frac{\pi}{4}\right)\]

Раскроем синусы сумм и разностей:

    \[\sin 5x \cos{\frac{3\pi}{4}}-\cos 5x \sin{\frac{3\pi}{4}}+\sin x \cos{\frac{\pi}{4}}+\cos x \sin{\frac{\pi}{4}}=-2\left(\sin{\frac{\pi}{4}}\cos 3x-\cos {\frac{\pi}{4}} \sin 3x\right)\]

Подставим известные величины:

    \[\sin 5x \cdot\frac{-\sqrt{2}}{2}-\cos 5x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin x \cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x \cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 3x-\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 3x\right)\]

Домножим на -\sqrt{2}:

    \[\sin 5x+\cos 5x-\sin x-\cos x=2\cos 3x-2\sin 3x\]

Осталось решить тригонометрическое уравнение:

Перепишем иначе:

    \[\sin 5x-\sin x +\cos 5x -\cos x=2(\cos 3x-\sin 3x)\]

Воспользуемся формулами «разность синусов», «разность косинусов»:

    \[2\sin\frac{5x-x}{2}\cos\frac{5x+x}{2}-2\sin\frac{5x-x}{2}\sin\frac{5x+x}{2}=2(\cos 3x-\sin 3x)\]

    \[2\sin 2x\cos 3x-2\sin 2x \sin 3x=2(\cos 3x-\sin 3x)\]

    \[2\sin 2x(\cos 3x- \sin 3x)-2(\cos 3x-\sin 3x)=0\]

    \[(2\sin 2x-2) (\cos 3x- \sin 3x)=0\]

Первое решение:

    \[2\sin 2x-2=0\]

    \[\sin 2x=1\]

    \[2x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z\]

    \[x=\frac{\pi}{4}+ \pi n, n \in Z\]

Второе решение:

    \[\cos 3x= \sin 3x\]

    \[\operatorname{tg} 3x=1\]

    \[3x=\frac{\pi}{4}+ \pi k, k \in Z\]

    \[x=\frac{\pi}{12}+ \frac{\pi k}{3}, k \in Z\]

Ответ: x=\frac{\pi}{4}+ \pi n, n \in Z или x=\frac{\pi}{12}+ \frac{\pi k}{3}, k \in Z

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *