Прогрессии: контрольная подготовительных курсов МГУ

Задачи на прогрессии, которые были включены в контрольную работу на курсах подготовки к ЕГЭ МГУ. Очень интересные задачи, решала с удовольствием, чего и вам желаю!

Задача 1. Сумма второго, третьего и четвертого членов убывающей арифметической прогрессии в три раза больше квадрата разности этой прогрессии. Сумма третьего и шестого ее членов равна двум. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Запишем условие:

   

   

Также известно, что .

Из второго условия имеем:

   

   

   

Первое условие запишем так:

   

   

Или

   

Заменим на .

   

   

   

   

Выбрали отрицательный корень, так как известно, что прогрессия убывающая. Теперь можно определить первый член и сумму прогрессии:

   

   

Ответ:

 

Задача 2. Определить три положительных числа, которые образуют геометрическую прогрессию, если их сумма равна , а сумма обратных величин равна .

Запишем условие:

   

   

Представим теперь , а .

Тогда:

   

   

Вынесем за скобку:

   

   

Или

   

   

Подставим  :

   

Или:

   

   

Но .

Тогда получаем обычную систему уравнений:

   

   

Сумму из второго уравнения подставим в первое:

   

   

   

Подставим во второе уравнение системы:

   

   

   

   

   

Корни или .

Тогда или .

 

Задача 3. Сумма первого, удвоенного второго и утроенного четвертого членов геометрической прогрессии равна 2, ее первый член, знаменатель и второй член образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии.

Запишем условие:

   

Представим теперь , а .

Получим

   

   

Если первый член, знаменатель и второй член образуют арифметическую прогрессию, то по свойству арифметической прогрессии

   

Тогда

   

Или

   

Подставим в условие задачи:

   

   

Получаем биквадратное уравнение:

   

Решим это биквадратное уравнение:

   

   

Тогда либо , либо – этот корень посторонний.

Следовательно, .

Определим первый член прогрессии при положительном знаменателе:

   

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

   

Определим первый член прогрессии при отрицательном знаменателе:

   

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

   

Ответ: , , .

Задача 4. Числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел – геометрическую прогрессию. Найти , если .

Так как квадраты образуют геометрическую прогрессию, то можно записать, что знаменатель этой прогрессии

   

Отсюда можно получить, что:

   

Также можно записать следующее:

   

   

   

Но тогда , а так как сумма , то

Ответ: .

 

Задача 5. Найти 4 положительных числа, из которых первые три составляют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую. Сумма первых трех чисел равна 12, а сумма последних трех равна 19.

   

   

Тогда, если вычесть из одного уравнения другое,  .

Первое уравнение запишем иначе:

   

Или

   

   

Но , следовательно,

Можно теперь угадать ответ: .

 

Задача 6. Решить уравнение , зная, что есть три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Если есть корни , то многочлен можно представить в виде:

   

   

Сопоставим коэффициенты уравнения и полученные в разложении:

   

Так как известно, что корни образуют прогрессию, то

   

   

Тогда

   

   

Разделим второе уравнение на первое:

   

Выразим .

Подставим  в первое уравнение:

   

   

   

Получили квадратное уравнение:

   

   

Корни:

   

   

   

Теперь нужно выбрать подходящий знаменатель, для этого подставим и проверим:

   

   

Тогда , но , следовательно, – не подходит.

Проверяем второй знаменатель:

   

   

Тогда . И второе – выполняется.

Следовательно, получили ответ:

   

, , .

 

Задача 7. Найти все значения , при которых числа , , в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

Если указанные числа образуют геометрическую прогрессию, то ее знаменатель

   

   

   

Согласно свойствам степеней

   

Раскроем синусы сумм и разностей:

   

Подставим известные величины:

   

Домножим на :

   

Осталось решить тригонометрическое уравнение:

Перепишем иначе:

   

Воспользуемся формулами «разность синусов», «разность косинусов»:

   

   

   

   

Первое решение:

   

   

   

   

Второе решение:

   

   

   

   

Ответ: или