Прогрессии: контрольная подготовительных курсов МГУ

[latexpage]

Задачи на прогрессии, которые были включены в контрольную работу на курсах подготовки к ЕГЭ МГУ. Очень интересные задачи, решала с удовольствием, чего и вам желаю!

Задача 1. Сумма второго, третьего и четвертого членов убывающей арифметической прогрессии в три раза больше квадрата разности этой прогрессии. Сумма третьего и шестого ее членов равна двум. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Запишем условие:

$$(a_2+a_3+a_4)=3d^2$$

$$a_3+a_6=2$$

Также известно, что $a_2>a_3>a_4$.

Из второго условия имеем:

$$a_1+2d+a_1+5d=2$$

$$2a_1+7d=2$$

$$a_1=1-3,5d$$

Первое условие запишем так:

$$a_1+d+a_1+2d+a_1+3d=3d^2$$

$$3a_1+6d=3d^2$$

Или

$$a_1+2d=d^2$$

Заменим $a_1$ на $1-3,5d$.

$$1-3,5d+2d-d^2=0$$

$$d^2+1,5d-1=0$$

$$D=1,5^2+4\cdot1=6,25$$

$$d_{1,2}=\frac{-1,5 \pm \sqrt{6,25}}{2}=-2$$

Выбрали отрицательный корень, так как известно, что прогрессия убывающая. Теперь можно определить первый член и сумму прогрессии:

$$a_1=1-3,5d=1+7=8$$

$$S_6=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\frac{16-2(6-1)}{2}\cdot6=18$$

Ответ: $S_6=18$

 

Задача 2. Определить три положительных числа, которые образуют геометрическую прогрессию, если их сумма равна $\frac{91}{9}$, а сумма обратных величин равна $\frac{13}{7}$.

Запишем условие:

$$b_1+b_2+b_3=\frac{91}{9}$$

$$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}=\frac{13}{7}$$

Представим теперь $b_2=qb_1$, а $b_3=q^2b_1$.

Тогда:

$$b_1+qb_1+q^2b_1=\frac{91}{9}$$

$$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{qb_1}+\frac{1}{q^2b_1}=\frac{13}{7}$$

Вынесем $b_1$ за скобку:

$$b_1(1+q+q^2)=\frac{91}{9}$$

$$\frac{1}{b_1}\left(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}\right)=\frac{13}{7}$$

Или

$$1+q+q^2=\frac{91}{9b_1}$$

$$\frac{1}{b_1}\frac{q^2+q+1}{q^2}=\frac{13}{7}$$

Подставим  $1+q+q^2$:

$$\frac{1}{b_1}\frac{91}{9b_1q^2}=\frac{13}{7}$$

Или:

$$b_1^2q^2=\frac{49}{9}$$

$$b_1q=\frac{7}{3}$$

Но $b_1q=b_2=\frac{7}{3}$.

Тогда получаем обычную систему уравнений:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_3}=\frac{10}{7}}\\{ b_1+b_3=\frac{70}{9}}\end{matrix}}$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{ b_1+ b_3}{b_1 b_3}=\frac{10}{7}}\\{ b_1+b_3=\frac{70}{9}}\end{matrix}}$$

Сумму из второго уравнения подставим в первое:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{ 70}{9b_1 b_3}=\frac{10}{7}}\\{ b_1+b_3=\frac{70}{9}}\end{matrix}}$$

$$b_1 b_3=\frac{49}{9}$$

$$b_1=\frac{49}{9 b_3}$$

Подставим во второе уравнение системы:

$$b_3+\frac{49}{9 b_3}=\frac{70}{9}$$

$$b_3^2-\frac{70b_3}{9}+\frac{49}{9}=0$$

$$9b_3^2-70b_3+49=0$$

$$D=4900-4\cdot49\cdot9=3136=56^2$$

$$b_3=\frac{70 \pm 56}{18}$$

Корни $b_3=7$ или $b_3=\frac{7}{9}$.

Тогда $b_1=\frac{7}{9}$ или $b_1=7$.

 

Задача 3. Сумма первого, удвоенного второго и утроенного четвертого членов геометрической прогрессии равна 2, ее первый член, знаменатель и второй член образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии.

Запишем условие:

$$b_1+2b_2+3b_4=2$$

Представим теперь $b_2=qb_1$, а $b_4=q^3b_1$.

Получим

$$b_1+2qb_1+3q^3b_1=2$$

$$b_1(1+2q+3q^3)=2$$

Если первый член, знаменатель и второй член образуют арифметическую прогрессию, то по свойству арифметической прогрессии

$$\frac{b_1+b_2}{2}=q$$

Тогда

$$b_1+qb_1=2q$$

Или

$$b_1=\frac{2q}{1+q}$$

Подставим в условие задачи:

$$\frac{2q}{1+q}(1+2q+3q^3)=2$$

$$q+2q^2+3q^4=1+q$$

Получаем биквадратное уравнение:

$$3q^4+2q^2-1=0$$

Решим это биквадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot(-1)\cdot3=16$$

$$q^2_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6}$$

Тогда либо $q^2=\frac{1}{3}$, либо $q^2=-1$ – этот корень посторонний.

Следовательно, $q=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Определим первый член прогрессии при положительном знаменателе:

$$b_1=\frac{2q}{1+q}=\frac{2}{\sqrt{3}(1+\frac{1}{\sqrt{3}})}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$$b_1=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)( \sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1$$

Определим первый член прогрессии при отрицательном знаменателе:

$$b_1=\frac{2q}{1+q}=\frac{-2}{\sqrt{3}(1-\frac{1}{\sqrt{3}})}=\frac{-2}{\sqrt{3}-1}$$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$$b_1=\frac{-2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)( \sqrt{3}-1)}=\frac{-2(\sqrt{3}+1)}{2}=-\sqrt{3}-1$$

Ответ: $q=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, $b_1=\sqrt{3}-1$, $b_1=-\sqrt{3}-1$.

Задача 4. Числа $a_1, a_2, a_3$ образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел – геометрическую прогрессию. Найти $a_1, a_2, a_3$, если $a_1+ a_2+ a_3=21$.

Так как квадраты образуют геометрическую прогрессию, то можно записать, что знаменатель этой прогрессии

$$q=\frac{a_2^2}{a_1^2}=\frac{a_3^2}{a_2^2}$$

Отсюда можно получить, что:

$$a_2^2=a_1a_3$$

Также можно записать следующее:

$$a_1+a_1+d+a_1+2d=21$$

$$3a_1+3d=21$$

$$a_1+d=7=a_2$$

Но тогда $a_1a_3=49$, а так как сумма $a_1+a_3=14$, то $a_1=a_3=7$

Ответ: $a_1=a_2=a_3=7$.

 

Задача 5. Найти 4 положительных числа, из которых первые три составляют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую. Сумма первых трех чисел равна 12, а сумма последних трех равна 19.

$$a_1+a_2+a_3=12$$

$$a_2+a_3+a_4=19$$

Тогда, если вычесть из одного уравнения другое,  $a_4-a_1=7$.

Первое уравнение запишем иначе:

$$a_1+a_1+d+a_1+3d=12$$

Или

$$3a_1+3d=12$$

$$a_1+d=4$$

Но $a_1+d=a_2$, следовательно, $a_2=4$

Можно теперь угадать ответ: $a_1=2, a_2=4, a_3=6, a_4=9$.

 

Задача 6. Решить уравнение $x^3+ 3x^2-6x+a=0$, зная, что есть три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Если есть корни $b_1, b_2, b_3$, то многочлен можно представить в виде:

$$(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)=(x-b_1)(x^2-b_2x-b_3x+b_2b_3)= (x-b_1)(x^2-x(b_2+b_3)+b_2b_3)=$$

$$=x^3-x^2(b_2+b_3)+xb_2b_3-x^2b_1+xb_1(b_2+b_3)-b_1b_2b_3= x^3-x^2(b_1+b_2+b_3)+x(b_2b_3+ b_1(b_2+b_3))- b_1b_2b_3$$

Сопоставим коэффициенты уравнения и полученные в разложении:

$$\begin{Bmatrix}{ b_1+b_2+b_3=-3}\\{ b_2b_3+ b_1b_2+b_1b_3=-6}\\{ b_1b_2b_3=-a}\end{matrix}}$$

Так как известно, что корни образуют прогрессию, то

$$b_2=qb_1$$

$$b_3=q^2b_1$$

Тогда

$$\begin{Bmatrix}{ b_1+qb_1+q^2b_1=-3}\\{ q^3b_1^2+ qb_1^2+q^2b_1^2=-6}\\{ q^3b_1^3=-a}\end{matrix}}$$

$$\begin{Bmatrix}{ b_1(1+q+q^2)=-3}\\{ qb_1^2(q^2+ 1+q)=-6}\\{ q^3b_1^3=-a}\end{matrix}}$$

Разделим второе уравнение на первое:

$$qb_1=2=b_2$$

Выразим $b_1=\frac{2}{q}$.

Подставим  в первое уравнение:

$$ b_1(1+q+q^2)=-3$$

$$\frac{2}{q}(1+q+q^2)=-3$$

$$2+2q+2q^2=-3q$$

Получили квадратное уравнение:

$$2q^2+5q+2=0$$

$$D=5^5-4\cdot2\cdot2=9$$

Корни:

$$q_{1,2}=\frac{-5 \pm 3}{4}$$

$$q_1=-\frac{1}{2}$$

$$q_2=-2$$

Теперь нужно выбрать подходящий знаменатель, для этого подставим и проверим:

$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{2}{-\frac{1}{2}}=-4$$

$$b_3=qb_2=-\frac{1}{2}\cdot2=-1$$

Тогда $b_1+b_2+b_3=-3$, но $ b_2b_3+ b_1b_2+b_1b_3\neq -6$, следовательно, $q_1=-\frac{1}{2}$ – не подходит.

Проверяем второй знаменатель:

$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{2}{-2}=-1$$

$$b_3=qb_2=-2\cdot2=-4$$

Тогда $b_1+b_2+b_3=-3$. И второе $ b_2b_3+ b_1b_2+b_1b_3= -6$ – выполняется.

Следовательно, получили ответ:

$$ x^3+ 3x^2-6x-8=0$$

$b_1=-1$, $b_2=2$, $b_3=-4$.

 

Задача 7. Найти все значения $x$, при которых числа $(\sqrt[3]{7})^{3\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}$, $\left(\frac{1}{7}\right)^{\sin \left(-3x+\frac{\pi}{4}\right)}$, $7^{\sin \left(5x-\frac{3\pi}{4}\right)}$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

Если указанные числа образуют геометрическую прогрессию, то ее знаменатель

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}$$

$$b_2^2=b_1b_3$$

$$\left(\frac{1}{7}\right)^{2\sin \left(-3x+\frac{\pi}{4}\right)}= (\sqrt[3]{7})^{3\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\cdot 7^{\sin \left(5x-\frac{3\pi}{4}\right)}$$

Согласно свойствам степеней

$$\sin \left(5x-\frac{3\pi}{4}\right)+ \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-2\sin \left(-3x+\frac{\pi}{4}\right)$$

Раскроем синусы сумм и разностей:

$$\sin 5x \cos{\frac{3\pi}{4}}-\cos 5x \sin{\frac{3\pi}{4}}+\sin x \cos{\frac{\pi}{4}}+\cos x \sin{\frac{\pi}{4}}=-2\left(\sin{\frac{\pi}{4}}\cos 3x-\cos {\frac{\pi}{4}} \sin 3x\right)$$

Подставим известные величины:

$$\sin 5x \cdot\frac{-\sqrt{2}}{2}-\cos 5x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin x \cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x \cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 3x-\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 3x\right)$$

Домножим на $-\sqrt{2}$:

$$\sin 5x+\cos 5x-\sin x-\cos x=2\cos 3x-2\sin 3x$$

Осталось решить тригонометрическое уравнение:

Перепишем иначе:

$$\sin 5x-\sin x +\cos 5x -\cos x=2(\cos 3x-\sin 3x)$$

Воспользуемся формулами «разность синусов», «разность косинусов»:

$$2\sin\frac{5x-x}{2}\cos\frac{5x+x}{2}-2\sin\frac{5x-x}{2}\sin\frac{5x+x}{2}=2(\cos 3x-\sin 3x)$$

$$2\sin 2x\cos 3x-2\sin 2x \sin 3x=2(\cos 3x-\sin 3x)$$

$$2\sin 2x(\cos 3x- \sin 3x)-2(\cos 3x-\sin 3x)=0$$

$$(2\sin 2x-2) (\cos 3x- \sin 3x)=0$$

Первое решение:

$$2\sin 2x-2=0$$

$$\sin 2x=1$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n, n \in Z$$

$$x=\frac{\pi}{4}+ \pi n, n \in Z$$

Второе решение:

$$\cos 3x= \sin 3x$$

$$\operatorname{tg} 3x=1$$

$$3x=\frac{\pi}{4}+ \pi k, k \in Z$$

$$x=\frac{\pi}{12}+ \frac{\pi k}{3}, k \in Z$$

Ответ: $x=\frac{\pi}{4}+ \pi n, n \in Z$ или $x=\frac{\pi}{12}+ \frac{\pi k}{3}, k \in Z$