Прогрессии: контрольная подготовительных курсов МГУ

Задачи на прогрессии, которые были включены в контрольную работу на курсах подготовки к ЕГЭ МГУ. Очень интересные задачи, решала с удовольствием, чего и вам желаю!

Задача 1. Сумма второго, третьего и четвертого членов убывающей арифметической прогрессии в три раза больше квадрата разности этой прогрессии. Сумма третьего и шестого ее членов равна двум. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Запишем условие:

$(a_2+a_3+a_4)=3d^2$

$a_3+a_6=2$

Также известно, что $a_2>a_3>a_4$ .

Из второго условия имеем:

$a_1+2d+a_1+5d=2$

$2a_1+7d=2$

$a_1=1-3,5d$

Первое условие запишем так:

$a_1+d+a_1+2d+a_1+3d=3d^2$

$3a_1+6d=3d^2$

Или

$a_1+2d=d^2$

Заменим $a_1$ на $1-3,5d$ .

$1-3,5d+2d-d^2=0$

$d^2+1,5d-1=0$

$D=1,5^2+4\cdot1=6,25$

$d_{1,2}=\frac{-1,5 \pm \sqrt{6,25}}{2}=-2$

Выбрали отрицательный корень, так как известно, что прогрессия убывающая. Теперь можно определить первый член и сумму прогрессии:

$a_1=1-3,5d=1+7=8$

$S_6=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=\frac{16-2(6-1)}{2}\cdot6=18$

Ответ: $S_6=18$

Задача 2. Определить три положительных числа, которые образуют геометрическую прогрессию, если их сумма равна $\frac{91}{9}$ , а сумма обратных величин равна $\frac{13}{7}$ .

Запишем условие:

$b_1+b_2+b_3=\frac{91}{9}$

$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}=\frac{13}{7}$

Представим теперь $b_2=qb_1$ , а $b_3=q^2b_1$ .

Тогда:

$b_1+qb_1+q^2b_1=\frac{91}{9}$

$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{qb_1}+\frac{1}{q^2b_1}=\frac{13}{7}$

Вынесем $b_1$ за скобку:

$b_1(1+q+q^2)=\frac{91}{9}$

$\frac{1}{b_1}\left(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}\right)=\frac{13}{7}$

Или

$1+q+q^2=\frac{91}{9b_1}$

$\frac{1}{b_1}\frac{q^2+q+1}{q^2}=\frac{13}{7}$

Подставим $1+q+q^2$ :

$\frac{1}{b_1}\frac{91}{9b_1q^2}=\frac{13}{7}$

Или:

$b_1^2q^2=\frac{49}{9}$

$b_1q=\frac{7}{3}$

Но $b_1q=b_2=\frac{7}{3}$ .

Тогда получаем обычную систему уравнений:

$\begin{Bmatrix}{\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_3}=\frac{10}{7}}\\{ b_1+b_3=\frac{70}{9}}\end{matrix}}$

$\begin{Bmatrix}{\frac{ b_1+ b_3}{b_1 b_3}=\frac{10}{7}}\\{ b_1+b_3=\frac{70}{9}}\end{matrix}}$

Сумму из второго уравнения подставим в первое:

$\begin{Bmatrix}{\frac{ 70}{9b_1 b_3}=\frac{10}{7}}\\{ b_1+b_3=\frac{70}{9}}\end{matrix}}$

$b_1 b_3=\frac{49}{9}$

$b_1=\frac{49}{9 b_3}$

Подставим во второе уравнение системы:

$b_3+\frac{49}{9 b_3}=\frac{70}{9}$

$b_3^2-\frac{70b_3}{9}+\frac{49}{9}=0$

$9b_3^2-70b_3+49=0$

$D=4900-4\cdot49\cdot9=3136=56^2$

$b_3=\frac{70 \pm 56}{18}$

Корни $b_3=7$ или $b_3=\frac{7}{9}$ .

Тогда $b_1=\frac{7}{9}$ или $b_1=7$ .

Задача 3. Сумма первого, удвоенного второго и утроенного четвертого членов геометрической прогрессии равна 2, ее первый член, знаменатель и второй член образуют арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель и первый член геометрической прогрессии.

Запишем условие:

$b_1+2b_2+3b_4=2$

Представим теперь $b_2=qb_1$ , а $b_4=q^3b_1$ .

Получим

$b_1+2qb_1+3q^3b_1=2$

$b_1(1+2q+3q^3)=2$

Если первый член, знаменатель и второй член образуют арифметическую прогрессию, то по свойству арифметической прогрессии

$\frac{b_1+b_2}{2}=q$

Тогда

$b_1+qb_1=2q$

Или

$b_1=\frac{2q}{1+q}$

Подставим в условие задачи:

$\frac{2q}{1+q}(1+2q+3q^3)=2$

$q+2q^2+3q^4=1+q$

Получаем биквадратное уравнение:

$3q^4+2q^2-1=0$

Решим это биквадратное уравнение:

$D=2^2-4\cdot(-1)\cdot3=16$

$q^2_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6}$

Тогда либо $q^2=\frac{1}{3}$ , либо $q^2=-1$ – этот корень посторонний.

Следовательно, $q=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Определим первый член прогрессии при положительном знаменателе:

$b_1=\frac{2q}{1+q}=\frac{2}{\sqrt{3}(1+\frac{1}{\sqrt{3}})}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$b_1=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)( \sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}-1$

Определим первый член прогрессии при отрицательном знаменателе:

$b_1=\frac{2q}{1+q}=\frac{-2}{\sqrt{3}(1-\frac{1}{\sqrt{3}})}=\frac{-2}{\sqrt{3}-1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$b_1=\frac{-2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)( \sqrt{3}-1)}=\frac{-2(\sqrt{3}+1)}{2}=-\sqrt{3}-1$

Ответ: $q=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ , $b_1=\sqrt{3}-1$ , $b_1=-\sqrt{3}-1$ .

Задача 4. Числа $a_1, a_2, a_3$ образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел – геометрическую прогрессию. Найти $a_1, a_2, a_3$ , если $a_1+ a_2+ a_3=21$ .

Так как квадраты образуют геометрическую прогрессию, то можно записать, что знаменатель этой прогрессии

$q=\frac{a_2^2}{a_1^2}=\frac{a_3^2}{a_2^2}$

Отсюда можно получить, что:

$a_2^2=a_1a_3$

Также можно записать следующее:

$a_1+a_1+d+a_1+2d=21$

$3a_1+3d=21$

$a_1+d=7=a_2$

Но тогда $a_1a_3=49$ , а так как сумма $a_1+a_3=14$ , то $a_1=a_3=7$

Ответ: $a_1=a_2=a_3=7$ .

Задача 5. Найти 4 положительных числа, из которых первые три составляют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую. Сумма первых трех чисел равна 12, а сумма последних трех равна 19.

$a_1+a_2+a_3=12$

$a_2+a_3+a_4=19$

Тогда, если вычесть из одного уравнения другое, $a_4-a_1=7$ .

Первое уравнение запишем иначе:

$a_1+a_1+d+a_1+3d=12$

Или

$3a_1+3d=12$

$a_1+d=4$

Но $a_1+d=a_2$ , следовательно, $a_2=4$

Можно теперь угадать ответ: $a_1=2, a_2=4, a_3=6, a_4=9$ .

Задача 6. Решить уравнение $x^3+ 3x^2-6x+a=0$ , зная, что есть три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Если есть корни $b_1, b_2, b_3$ , то многочлен можно представить в виде:

$(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)=(x-b_1)(x^2-b_2x-b_3x+b_2b_3)= (x-b_1)(x^2-x(b_2+b_3)+b_2b_3)=$

$=x^3-x^2(b_2+b_3)+xb_2b_3-x^2b_1+xb_1(b_2+b_3)-b_1b_2b_3= x^3-x^2(b_1+b_2+b_3)+x(b_2b_3+ b_1(b_2+b_3))- b_1b_2b_3$

Сопоставим коэффициенты уравнения и полученные в разложении:

$\begin{Bmatrix}{ b_1+b_2+b_3=-3}\\{ b_2b_3+ b_1b_2+b_1b_3=-6}\\{ b_1b_2b_3=-a}\end{matrix}}$

Так как известно, что корни образуют прогрессию, то

$b_2=qb_1$

$b_3=q^2b_1$

Тогда

$\begin{Bmatrix}{ b_1+qb_1+q^2b_1=-3}\\{ q^3b_1^2+ qb_1^2+q^2b_1^2=-6}\\{ q^3b_1^3=-a}\end{matrix}}$

$\begin{Bmatrix}{ b_1(1+q+q^2)=-3}\\{ qb_1^2(q^2+ 1+q)=-6}\\{ q^3b_1^3=-a}\end{matrix}}$

Разделим второе уравнение на первое:

$qb_1=2=b_2$

Выразим $b_1=\frac{2}{q}$ .

Подставим в первое уравнение:

$b_1(1+q+q^2)=-3$

$\frac{2}{q}(1+q+q^2)=-3$

$2+2q+2q^2=-3q$

Получили квадратное уравнение:

$2q^2+5q+2=0$

$D=5^5-4\cdot2\cdot2=9$

Корни:

$q_{1,2}=\frac{-5 \pm 3}{4}$

$q_1=-\frac{1}{2}$

$q_2=-2$

Теперь нужно выбрать подходящий знаменатель, для этого подставим и проверим:

$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{2}{-\frac{1}{2}}=-4$

$b_3=qb_2=-\frac{1}{2}\cdot2=-1$

Тогда $b_1+b_2+b_3=-3$ , но $b_2b_3+ b_1b_2+b_1b_3\neq -6$ , следовательно, $q_1=-\frac{1}{2}$ – не подходит.

Проверяем второй знаменатель:

$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{2}{-2}=-1$

$b_3=qb_2=-2\cdot2=-4$

Тогда $b_1+b_2+b_3=-3$ . И второе $b_2b_3+ b_1b_2+b_1b_3= -6$ – выполняется.

Следовательно, получили ответ:

$x^3+ 3x^2-6x-8=0$

$b_1=-1$ , $b_2=2$ , $b_3=-4$ .

Задача 7. Найти все значения $x$ , при которых числа $(\sqrt[3]{7})^{3\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}$ , $\left(\frac{1}{7}\right)^{\sin \left(-3x+\frac{\pi}{4}\right)}$ , $7^{\sin \left(5x-\frac{3\pi}{4}\right)}$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию.

Если указанные числа образуют геометрическую прогрессию, то ее знаменатель

$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}$

$b_2^2=b_1b_3$

$\left(\frac{1}{7}\right)^{2\sin \left(-3x+\frac{\pi}{4}\right)}= (\sqrt[3]{7})^{3\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\cdot 7^{\sin \left(5x-\frac{3\pi}{4}\right)}$

Согласно свойствам степеней

$\sin \left(5x-\frac{3\pi}{4}\right)+ \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-2\sin \left(-3x+\frac{\pi}{4}\right)$

Раскроем синусы сумм и разностей:

$\sin 5x \cos{\frac{3\pi}{4}}-\cos 5x \sin{\frac{3\pi}{4}}+\sin x \cos{\frac{\pi}{4}}+\cos x \sin{\frac{\pi}{4}}=-2\left(\sin{\frac{\pi}{4}}\cos 3x-\cos {\frac{\pi}{4}} \sin 3x\right)$

Подставим известные величины:

$\sin 5x \cdot\frac{-\sqrt{2}}{2}-\cos 5x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\sin x \cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x \cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 3x-\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 3x\right)$