Продолжаем готовиться к олимпиадам: работа и мощность, 8 класс.

[latexpage]

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «работа и мощность». Задачи очень интересные, нетривиальные, заимствованы на «Фоксфорде» – спасибо составителям за удовольствие от решения.

Задача 1. Игрушечная машинка при движении вверх в горку с постоянным уклоном может развивать максимальную скорость  $\upsilon_1=5$ км/ч, при движении вниз с этой же горки она разгоняется до  $\upsilon_2=10$ км/ч. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости игрушки, найдите, с какой максимальной скоростью машинка сможет ехать в горку, если мощность двигателя возрастет в  $n=2$  раза? Ответ выразить в км/ч, округлив до десятых. Трения в осях нет.

Запишем зависимость силы сопротивления от скорости:

$$F=k\upsilon$$

Машинка совершает работу против силы сопротивления, поскольку перемещается, плюс еще забирается в горку. Общую совершаемую работу при движении в гору можно записать:

$$A_1=FS+mgh=F\upsilon_1 t+mgS\sin{\alpha}= k\upsilon_1^2 t+mg\upsilon_1 t \sin{\alpha}=C\upsilon_1^2+D\upsilon_1$$

Где $C$ и $D$ – коэффициенты, которые учитывают все параметры, кроме скорости.

Мощность тогда может быть записана

$$N=\frac{A_1}{t}= C’\upsilon_1^2+D’\upsilon_1$$

Теперь пусть машинка едет вниз с горы. Некоторую часть работы (по подъему)  теперь выполняет сама сила тяжести, сняв эту нагрузку с двигателя, поэтому

$$A_2=FS-mgh=F\upsilon_2 t-mgS\sin{\alpha}= k\upsilon_2^2 t-mg\upsilon_2 t \sin{\alpha}=C\upsilon_2^2-D\upsilon_2$$

Мощность тогда может быть записана

$$N=\frac{A_2}{t}= C’\upsilon_2^2-D’\upsilon_2$$

Приравняв правые части выражений для мощности, получим отношение коэффициентов:

$$C’\upsilon^2+D’\upsilon= C’\upsilon_2^2-D’\upsilon_2$$

$$\frac{C’}{D’}=\frac{1}{\upsilon_2-\upsilon_1}=\frac{1}{5}$$

Теперь поднимаемся в горку с удвоенной мощностью мотора:

$$2N=\frac{A_3}{t}= C’\upsilon_3^2+D’\upsilon_3$$

Или, приравнивая мощности

$$ 2C’\upsilon_1^2+2D’\upsilon_1= C’\upsilon_3^2+D’\upsilon_3$$

$$ 2C’\upsilon_1^2+10C’\upsilon_1= C’\upsilon_3^2+5C’\upsilon_3$$

$$ 2\upsilon_1^2+10\upsilon_1= \upsilon_3^2+5\upsilon_3$$

$$\upsilon_3^2+5\upsilon_3-100=0$$

$$D=25+400=425$$

$$\upsilon_3=\frac{-5\pm \sqrt{425}}{2}=7,8$$

Ответ: 7,8 км/ч

Задача 2. Машина при движении вверх в горку с постоянным уклоном может развивать максимальную скорость  $\upsilon_1=100$ км/ч, при движении вниз с этой же горки она разгоняется до  $\upsilon_2=200$ км/ч. Считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости автомобиля, найти, с какой максимальной скоростью машина сможет ехать по горизонтальному участку дороги? Ответ выразить в  км/ч, округлив до целых. Трения в осях нет. Мощность машины считать постоянной.

Запишем зависимость силы сопротивления от скорости:

$$F=k\upsilon^2$$

Машинка совершает работу против силы сопротивления, поскольку перемещается, плюс еще забирается в горку. Общую совершаемую работу при движении в гору можно записать:

$$A_1=FS+mgh=F\upsilon_1 t+mgS\sin{\alpha}= k\upsilon_1^3 t+mg\upsilon_1 t \sin{\alpha}=C\upsilon_1^3+D\upsilon_1$$

Где $C$ и $D$ – коэффициенты, которые учитывают все параметры, кроме скорости.

Мощность тогда может быть записана

$$N=\frac{A_1}{t}= C’\upsilon_1^3+D’\upsilon_1$$

Теперь пусть машинка едет вниз с горы. Некоторую часть работы (по подъему)  теперь выполняет сама сила тяжести, сняв эту нагрузку с двигателя, поэтому

$$A_2=FS-mgh=F\upsilon_2 t-mgS\sin{\alpha}= k\upsilon_2^3 t-mg\upsilon_2 t \sin{\alpha}=C\upsilon_2^3-D\upsilon_2$$

Мощность тогда может быть записана

$$N=\frac{A_2}{t}= C’\upsilon_2^3-D’\upsilon_2$$

Приравняв правые части выражений для мощности, получим отношение коэффициентов:

$$C’\upsilon^3+D’\upsilon= C’\upsilon_2^3-D’\upsilon_2$$

$$\frac{C’}{D’}=\frac{\upsilon_2+\upsilon_1}{\upsilon_2^3-\upsilon_1^3}=\frac{300}{7\cdot10^6}=\frac{3}{7}\cdot10^{-4}$$

Теперь едем по ровному:

$$N=\frac{A_3}{t}= C’\upsilon_3^3$$

Или, приравнивая мощности

$$ C’\upsilon_1^3+D’\upsilon_1= C’\upsilon_3^3$$

$$ \upsilon_1^3+\frac{7}{3}\cdot10^{4}\upsilon_1= \upsilon_3^3$$

$$\upsilon_3=\sqrt[3]{ \upsilon_1^3+\frac{7}{3}\cdot10^{4}\upsilon_1}=\sqrt[3]{ 100^3+\frac{7}{3}\cdot10^{4}\cdot100}=100\sqrt[3]{\frac{10}{3}}=149$$

Ответ: 149 км/ч

Задача 3. При строительстве пирамид древние египтяне использовали рычаги и блоки. Определите, с какой силой приходилось древним египтянам тянуть за веревку для подъема камня массой $m=1$ т на  $H=1$ м вверх, если при этом они выбирали  $L=20$ м веревки? Считайте, что КПД египетского механизма $\eta=50\%$. Ответ дайте в кН, округлив до целых. Ускорение свободного падения  $g=10$ м/c$^2$.

Полезная работа по подъему груза

$$A_p=mgh$$

По определению,

$$\eta=\frac{A_p}{A_z}$$

Затраченная работа

$$A_z=\frac{A_p}{\eta}=\frac{mgh}{\eta}=FL$$

Откуда

$$F=\frac{mgh}{\eta\cdot L}=\frac{1000\cdot10\cdot 1}{0,5\cdot 20}=1000$$

Ответ: 1 кН.

Задача 4. В результате измерения КПД двигателя получился равным $\eta_1=20\%$. Впоследствии оказалось, что во время измерения 5% топлива вытекало через трещину в топливном шланге. Какой результат измерения КПД получится после устранения неисправности?

КПД = отношение полезной работы к количеству сожженного топлива. Во второй раз его сожгли полностью, а в первый – только 95%, и работу, следовательно, недовыполнили:

$$\eta_1=\frac{0,95A}{m}$$

$$\eta_2=\frac{A}{m}$$

Полезная работа в первом случае:

$$A=\frac{m\eta_1}{0,95}$$

Подставим во второй:

$$\eta_2=\frac{m\eta_1}{0,95m}=\frac{20}{0,95}=21,05$$

Ответ: 21%.

Задача 5. Чтобы вытащить гвоздь длиной  $L=10$ см из бревна, необходимо приложить начальную силу  $F_0=2$ кН. Гвоздь вытащили из бревна, действуя на него с силой, всё время сонаправленной перемещению. Какая при этом была совершена механическая работа? Ответ выразить в Дж, округлив до целых. Действием силы тяжести и кинетической энергией гвоздя пренебречь. Считать, что сила сопротивления прямо пропорциональна длине части гвоздя, которая в данный момент находится в бревне.

Нижнюю часть гвоздя будем тянуть с указанной силой на всю глубину, а вот верхнюю часть вообще не надо уже тянуть – она практически на поверхности. То есть в среднем гвоздь будем вытаскивать с половинной глубины.

$$A=\frac{FS}{2}=2000\cdot0,5\cdot0,1=100$$

А можно решить задачу, построив график зависимости убывающей с расстоянием силы: ведь сила трения гвоздя все время уменьшается с уменьшением той его части, что забита в дерево, поэтому вначале сила равна 2000 Н, а к концу уже 0 Н. Найдя площадь под графиком, определим ту же работу.

Ответ: 100 Дж.