Продолжаем готовиться к олимпиадам: работа и мощность, 8 класс.

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «работа и мощность». Задачи очень интересные, нетривиальные, заимствованы на «Фоксфорде» – спасибо составителям за удовольствие от решения.

Задача 1. Игрушечная машинка при движении вверх в горку с постоянным уклоном может развивать максимальную скорость   км/ч, при движении вниз с этой же горки она разгоняется до   км/ч. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости игрушки, найдите, с какой максимальной скоростью машинка сможет ехать в горку, если мощность двигателя возрастет в    раза? Ответ выразить в км/ч, округлив до десятых. Трения в осях нет.

Запишем зависимость силы сопротивления от скорости:

Машинка совершает работу против силы сопротивления, поскольку перемещается, плюс еще забирается в горку. Общую совершаемую работу при движении в гору можно записать:

Где и – коэффициенты, которые учитывают все параметры, кроме скорости.

Мощность тогда может быть записана

Теперь пусть машинка едет вниз с горы. Некоторую часть работы (по подъему)  теперь выполняет сама сила тяжести, сняв эту нагрузку с двигателя, поэтому

Мощность тогда может быть записана

Приравняв правые части выражений для мощности, получим отношение коэффициентов:

Теперь поднимаемся в горку с удвоенной мощностью мотора:

Или, приравнивая мощности

Ответ: 7,8 км/ч

Задача 2. Машина при движении вверх в горку с постоянным уклоном может развивать максимальную скорость   км/ч, при движении вниз с этой же горки она разгоняется до   км/ч. Считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости автомобиля, найти, с какой максимальной скоростью машина сможет ехать по горизонтальному участку дороги? Ответ выразить в  км/ч, округлив до целых. Трения в осях нет. Мощность машины считать постоянной.

Запишем зависимость силы сопротивления от скорости:

Машинка совершает работу против силы сопротивления, поскольку перемещается, плюс еще забирается в горку. Общую совершаемую работу при движении в гору можно записать:

Где и – коэффициенты, которые учитывают все параметры, кроме скорости.

Мощность тогда может быть записана

Теперь пусть машинка едет вниз с горы. Некоторую часть работы (по подъему)  теперь выполняет сама сила тяжести, сняв эту нагрузку с двигателя, поэтому

Мощность тогда может быть записана

Приравняв правые части выражений для мощности, получим отношение коэффициентов:

Теперь едем по ровному:

Или, приравнивая мощности

Ответ: 149 км/ч

Задача 3. При строительстве пирамид древние египтяне использовали рычаги и блоки. Определите, с какой силой приходилось древним египтянам тянуть за веревку для подъема камня массой  т на   м вверх, если при этом они выбирали   м веревки? Считайте, что КПД египетского механизма . Ответ дайте в кН, округлив до целых. Ускорение свободного падения   м/c.

Полезная работа по подъему груза

По определению,

Затраченная работа

Откуда

Ответ: 1 кН.

Задача 4. В результате измерения КПД двигателя получился равным . Впоследствии оказалось, что во время измерения 5% топлива вытекало через трещину в топливном шланге. Какой результат измерения КПД получится после устранения неисправности?

КПД = отношение полезной работы к количеству сожженного топлива. Во второй раз его сожгли полностью, а в первый – только 95%, и работу, следовательно, недовыполнили:

Полезная работа в первом случае:

Подставим во второй:

Ответ: 21%.

Задача 5. Чтобы вытащить гвоздь длиной   см из бревна, необходимо приложить начальную силу   кН. Гвоздь вытащили из бревна, действуя на него с силой, всё время сонаправленной перемещению. Какая при этом была совершена механическая работа? Ответ выразить в Дж, округлив до целых. Действием силы тяжести и кинетической энергией гвоздя пренебречь. Считать, что сила сопротивления прямо пропорциональна длине части гвоздя, которая в данный момент находится в бревне.

Нижнюю часть гвоздя будем тянуть с указанной силой на всю глубину, а вот верхнюю часть вообще не надо уже тянуть – она практически на поверхности. То есть в среднем гвоздь будем вытаскивать с половинной глубины.

А можно решить задачу, построив график зависимости убывающей с расстоянием силы: ведь сила трения гвоздя все время уменьшается с уменьшением той его части, что забита в дерево, поэтому вначале сила равна 2000 Н, а к концу уже 0 Н. Найдя площадь под графиком, определим ту же работу.

Ответ: 100 Дж.