Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Работа и мощность

Продолжаем готовиться к олимпиадам: работа и мощность, 8 класс.

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня закрепляем тему «работа и мощность». Задачи очень интересные, нетривиальные, заимствованы на «Фоксфорде» – спасибо составителям за удовольствие от решения.

Задача 1. Игрушечная машинка при движении вверх в горку с постоянным уклоном может развивать максимальную скорость  \upsilon_1=5 км/ч, при движении вниз с этой же горки она разгоняется до  \upsilon_2=10 км/ч. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости игрушки, найдите, с какой максимальной скоростью машинка сможет ехать в горку, если мощность двигателя возрастет в  n=2  раза? Ответ выразить в км/ч, округлив до десятых. Трения в осях нет.

Запишем зависимость силы сопротивления от скорости:

    \[F=k\upsilon\]

Машинка совершает работу против силы сопротивления, поскольку перемещается, плюс еще забирается в горку. Общую совершаемую работу при движении в гору можно записать:

    \[A_1=FS+mgh=F\upsilon_1 t+mgS\sin{\alpha}= k\upsilon_1^2 t+mg\upsilon_1 t \sin{\alpha}=C\upsilon_1^2+D\upsilon_1\]

Где C и D – коэффициенты, которые учитывают все параметры, кроме скорости.

Мощность тогда может быть записана

    \[N=\frac{A_1}{t}= C'\upsilon_1^2+D'\upsilon_1\]

Теперь пусть машинка едет вниз с горы. Некоторую часть работы (по подъему)  теперь выполняет сама сила тяжести, сняв эту нагрузку с двигателя, поэтому

    \[A_2=FS-mgh=F\upsilon_2 t-mgS\sin{\alpha}= k\upsilon_2^2 t-mg\upsilon_2 t \sin{\alpha}=C\upsilon_2^2-D\upsilon_2\]

Мощность тогда может быть записана

    \[N=\frac{A_2}{t}= C'\upsilon_2^2-D'\upsilon_2\]

Приравняв правые части выражений для мощности, получим отношение коэффициентов:

    \[C'\upsilon^2+D'\upsilon= C'\upsilon_2^2-D'\upsilon_2\]

    \[\frac{C'}{D'}=\frac{1}{\upsilon_2-\upsilon_1}=\frac{1}{5}\]

Теперь поднимаемся в горку с удвоенной мощностью мотора:

    \[2N=\frac{A_3}{t}= C'\upsilon_3^2+D'\upsilon_3\]

Или, приравнивая мощности

    \[2C'\upsilon_1^2+2D'\upsilon_1= C'\upsilon_3^2+D'\upsilon_3\]

    \[2C'\upsilon_1^2+10C'\upsilon_1= C'\upsilon_3^2+5C'\upsilon_3\]

    \[2\upsilon_1^2+10\upsilon_1= \upsilon_3^2+5\upsilon_3\]

    \[\upsilon_3^2+5\upsilon_3-100=0\]

    \[D=25+400=425\]

    \[\upsilon_3=\frac{-5\pm \sqrt{425}}{2}=7,8\]

Ответ: 7,8 км/ч

Задача 2. Машина при движении вверх в горку с постоянным уклоном может развивать максимальную скорость  \upsilon_1=100 км/ч, при движении вниз с этой же горки она разгоняется до  \upsilon_2=200 км/ч. Считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости автомобиля, найти, с какой максимальной скоростью машина сможет ехать по горизонтальному участку дороги? Ответ выразить в  км/ч, округлив до целых. Трения в осях нет. Мощность машины считать постоянной.

Запишем зависимость силы сопротивления от скорости:

    \[F=k\upsilon^2\]

Машинка совершает работу против силы сопротивления, поскольку перемещается, плюс еще забирается в горку. Общую совершаемую работу при движении в гору можно записать:

    \[A_1=FS+mgh=F\upsilon_1 t+mgS\sin{\alpha}= k\upsilon_1^3 t+mg\upsilon_1 t \sin{\alpha}=C\upsilon_1^3+D\upsilon_1\]

Где C и D – коэффициенты, которые учитывают все параметры, кроме скорости.

Мощность тогда может быть записана

    \[N=\frac{A_1}{t}= C'\upsilon_1^3+D'\upsilon_1\]

Теперь пусть машинка едет вниз с горы. Некоторую часть работы (по подъему)  теперь выполняет сама сила тяжести, сняв эту нагрузку с двигателя, поэтому

    \[A_2=FS-mgh=F\upsilon_2 t-mgS\sin{\alpha}= k\upsilon_2^3 t-mg\upsilon_2 t \sin{\alpha}=C\upsilon_2^3-D\upsilon_2\]

Мощность тогда может быть записана

    \[N=\frac{A_2}{t}= C'\upsilon_2^3-D'\upsilon_2\]

Приравняв правые части выражений для мощности, получим отношение коэффициентов:

    \[C'\upsilon^3+D'\upsilon= C'\upsilon_2^3-D'\upsilon_2\]

    \[\frac{C'}{D'}=\frac{\upsilon_2+\upsilon_1}{\upsilon_2^3-\upsilon_1^3}=\frac{300}{7\cdot10^6}=\frac{3}{7}\cdot10^{-4}\]

Теперь едем по ровному:

    \[N=\frac{A_3}{t}= C'\upsilon_3^3\]

Или, приравнивая мощности

    \[C'\upsilon_1^3+D'\upsilon_1= C'\upsilon_3^3\]

    \[\upsilon_1^3+\frac{7}{3}\cdot10^{4}\upsilon_1= \upsilon_3^3\]

    \[\upsilon_3=\sqrt[3]{ \upsilon_1^3+\frac{7}{3}\cdot10^{4}\upsilon_1}=\sqrt[3]{ 100^3+\frac{7}{3}\cdot10^{4}\cdot100}=100\sqrt[3]{\frac{10}{3}}=149\]

Ответ: 149 км/ч

Задача 3. При строительстве пирамид древние египтяне использовали рычаги и блоки. Определите, с какой силой приходилось древним египтянам тянуть за веревку для подъема камня массой m=1 т на  H=1 м вверх, если при этом они выбирали  L=20 м веревки? Считайте, что КПД египетского механизма \eta=50\%. Ответ дайте в кН, округлив до целых. Ускорение свободного падения  g=10 м/c^2.

Полезная работа по подъему груза

    \[A_p=mgh\]

По определению,

    \[\eta=\frac{A_p}{A_z}\]

Затраченная работа

    \[A_z=\frac{A_p}{\eta}=\frac{mgh}{\eta}=FL\]

Откуда

    \[F=\frac{mgh}{\eta\cdot L}=\frac{1000\cdot10\cdot 1}{0,5\cdot 20}=1000\]

Ответ: 1 кН.

 

Задача 4. В результате измерения КПД двигателя получился равным \eta_1=20\%. Впоследствии оказалось, что во время измерения 5% топлива вытекало через трещину в топливном шланге. Какой результат измерения КПД получится после устранения неисправности?

КПД = отношение полезной работы к количеству сожженного топлива. Во второй раз его сожгли полностью, а в первый – только 95%, и работу, следовательно, недовыполнили:

    \[\eta_1=\frac{0,95A}{m}\]

    \[\eta_2=\frac{A}{m}\]

Полезная работа в первом случае:

    \[A=\frac{m\eta_1}{0,95}\]

Подставим во второй:

    \[\eta_2=\frac{m\eta_1}{0,95m}=\frac{20}{0,95}=21,05\]

Ответ: 21%.

Задача 5. Чтобы вытащить гвоздь длиной  L=10 см из бревна, необходимо приложить начальную силу  F_0=2 кН. Гвоздь вытащили из бревна, действуя на него с силой, всё время сонаправленной перемещению. Какая при этом была совершена механическая работа? Ответ выразить в Дж, округлив до целых. Действием силы тяжести и кинетической энергией гвоздя пренебречь. Считать, что сила сопротивления прямо пропорциональна длине части гвоздя, которая в данный момент находится в бревне.

Нижнюю часть гвоздя будем тянуть с указанной силой на всю глубину, а вот верхнюю часть вообще не надо уже тянуть – она практически на поверхности. То есть в среднем гвоздь будем вытаскивать с половинной глубины.

    \[A=\frac{FS}{2}=2000\cdot0,5\cdot0,1=100\]

А можно решить задачу, построив график зависимости убывающей с расстоянием силы: ведь сила трения гвоздя все время уменьшается с уменьшением той его части, что забита в дерево, поэтому вначале сила равна 2000 Н, а к концу уже 0 Н. Найдя площадь под графиком, определим ту же работу.

Ответ: 100 Дж.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *