Задача, как обычно, появилась из просторов интернета. Она меня заинтересовала: не так часто теорема Менелая применяется для доказательств. Обычно мы ее используем, чтобы вычислить длину какого-либо отрезка.
Задача. В треугольник вписана полуокружность, диаметр которой принадлежит стороне
. Стороны
и
касаются полуокружности соответственно в точках
и
. Докажите, что прямые
и
пересекаются на высоте треугольника
.
Эта задача решается с помощью теоремы Менелая. Пусть прямые и
пересекаются в точке
. Пока мы не знаем, лежит ли эта точка на прямой
, но мы преположим, что это так. Запишем теорему Менелая для треугольника
и секущей
:

Рисунок 1
Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей
:

Рисунок 2
Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей
:

Рисунок 3
Перемножим правые и левые части равенств:
Сокращая, получим:
Таким образом, получили теорему Менелая для треугольника и секущей
, что и доказывает, что предположение верно и точка
принадлежит прямой
.

Рисунок 4
Анна, спасибо за хороший подбор задач по теме: Горизонтальный бросок, а самое...
Эта потеря есть для обоих лучей. Ведь каждый в итоге отразился от...
Доброго времени суток! Разве во второй задаче не надо учесть потерю половины...
...
[latexpage] $$\Delta l_1=\frac{(m_A+M)g}{k_1}$$ $$\Delta l_2=\frac{Mg}{k_2}$$ $$\Delta l_1+\Delta...