Применение теоремы Менелая для доказательства

[latexpage]

Задача, как обычно, появилась из просторов интернета. Она меня заинтересовала: не так часто теорема Менелая применяется для доказательств. Обычно мы ее используем, чтобы вычислить длину какого-либо отрезка.

Задача. В треугольник $ABC$ вписана полуокружность, диаметр которой принадлежит стороне $BC$. Стороны $AB$ и $AC$ касаются полуокружности соответственно в точках $C_1$ и $B_1$. Докажите, что прямые $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются на высоте треугольника $ABC$.

Эта задача решается с помощью теоремы Менелая. Пусть прямые $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $L$. Пока мы не знаем, лежит ли эта точка на прямой $AA_1$, но мы преположим, что это так. Запишем теорему Менелая для треугольника $ABA_1$ и секущей $CC_1$:

Рисунок 1

$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BC}{CA_1}\cdot \frac{A_1L}{LA}=1$$

Запишем теорему Менелая для треугольника $AC_1C$ и секущей $BB_1$:

Рисунок 2

$$\frac{AB}{ B C_1 }\cdot\frac{C_1L}{LC}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1$$

Запишем теорему Менелая для треугольника $AA_1C$ и секущей $BB_1$:

Рисунок 3

$$\frac{AB_1}{ B_1 C }\cdot\frac{CB}{BA_1}\cdot \frac{A_1L}{LA}=1$$

Перемножим правые и левые части равенств:

$$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BC}{CA_1}\cdot \frac{A_1L}{LA}\cdot\frac{AB}{ B C_1 }\cdot\frac{C_1L}{LC}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}\cdot\frac{AB_1}{ B_1 C }\cdot\frac{CB}{BA_1}\cdot \frac{A_1L}{LA}=1$$

Сокращая, получим:

$$\frac{CL}{ LC_1}\cdot\frac{C_1A}{AB}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}=1$$

Таким образом, получили теорему Менелая для треугольника $BC_1C$ и секущей $AA_1$, что и доказывает, что предположение верно и точка $L$ принадлежит прямой $AA_1$.

Рисунок 4