Применение теоремы Менелая для доказательства

Задача, как обычно, появилась из просторов интернета. Она меня заинтересовала: не так часто теорема Менелая применяется для доказательств. Обычно мы ее используем, чтобы вычислить длину какого-либо отрезка.

Задача. В треугольник вписана полуокружность, диаметр которой принадлежит стороне . Стороны и касаются полуокружности соответственно в точках и . Докажите, что прямые и пересекаются на высоте треугольника .

Эта задача решается с помощью теоремы Менелая. Пусть прямые и пересекаются в точке . Пока мы не знаем, лежит ли эта точка на прямой , но мы преположим, что это так. Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей :

Рисунок 1

Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей :

Рисунок 2

Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей :

Рисунок 3

Перемножим правые и левые части равенств:

Сокращая, получим:

Таким образом, получили теорему Менелая для треугольника и секущей , что и доказывает, что предположение верно и точка принадлежит прямой .

Рисунок 4