Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Применение теоремы Менелая для доказательства

Задача, как обычно, появилась из просторов интернета. Она меня заинтересовала: не так часто теорема Менелая применяется для доказательств. Обычно мы ее используем, чтобы вычислить длину какого-либо отрезка.

Задача. В треугольник ABC вписана полуокружность, диаметр которой принадлежит стороне BC. Стороны AB и AC касаются полуокружности соответственно в точках C_1 и B_1. Докажите, что прямые BB_1 и CC_1 пересекаются на высоте треугольника ABC.

Эта задача решается с помощью теоремы Менелая. Пусть прямые BB_1 и CC_1 пересекаются в точке L. Пока мы не знаем, лежит ли эта точка на прямой AA_1, но мы преположим, что это так. Запишем теорему Менелая для треугольника ABA_1 и секущей CC_1:

Рисунок 1

    \[\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BC}{CA_1}\cdot \frac{A_1L}{LA}=1\]

Запишем теорему Менелая для треугольника AC_1C и секущей BB_1:

Рисунок 2

    \[\frac{AB}{ B C_1 }\cdot\frac{C_1L}{LC}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}=1\]

Запишем теорему Менелая для треугольника AA_1C и секущей BB_1:

Рисунок 3

    \[\frac{AB_1}{ B_1 C }\cdot\frac{CB}{BA_1}\cdot \frac{A_1L}{LA}=1\]

Перемножим правые и левые части равенств:

    \[\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BC}{CA_1}\cdot \frac{A_1L}{LA}\cdot\frac{AB}{ B C_1 }\cdot\frac{C_1L}{LC}\cdot \frac{CB_1}{B_1A}\cdot\frac{AB_1}{ B_1 C }\cdot\frac{CB}{BA_1}\cdot \frac{A_1L}{LA}=1\]

Сокращая, получим:

    \[\frac{CL}{ LC_1}\cdot\frac{C_1A}{AB}\cdot \frac{BA_1}{A_1C}=1\]

Таким образом, получили теорему Менелая для треугольника BC_1C и секущей AA_1, что и доказывает, что предположение верно и точка L принадлежит прямой AA_1.

Рисунок 4

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *