Превращения внутренней энергии

В этой статье внутренняя энергия газа будет превращаться в кинетическую энергию поршней и наоборот: кинетическая энергия будет переходить во внутреннюю и разогревать газ.

К задаче 1

Задача 1. В длинной гладкой пустой (нет внешнего давления) теплоизолированной трубе находятся два поршня массами $m_1$ и $m_2$ , между которыми в объеме $V_0$ при давлении $p_0$ находится одноатомный газ. Поршни отпускают. Определить их максимальные скорости, если масса газа много меньше массы поршней.

Внутренняя энергия определяется выражением:

$U=\frac{3}{2}\nu R T$

Или, так как $p_0V_0= \nu R T$ ,

$U=\frac{3}{2} p_0V_0$

Вся энергия передастся поршням, и перейдет в кинетическую:

$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=\frac{3}{2} p_0V_0$

Или

$m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2=3p_0V_0$

По закону сохранения импульса

$m_1\vec{\upsilon_1}+ m_2\vec{\upsilon_2}=\vec{0}(m_1+m_2)$

$m_1\upsilon_1- m_2\upsilon_2=0$

$m_1\upsilon_1=m_2\upsilon_2$

$\frac{ m_1}{ m_2}=\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}$

Тогда

$\upsilon_2=\frac{ m_1\upsilon_1}{ m_2}$

Возведем в квадрат:

$\upsilon_2^2=\frac{ m_1^2\upsilon_1^2}{ m_2^2}$

Подставим:

$m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2=3p_0V_0$

$m_1\upsilon_1^2+ m_2\frac{ m_1^2\upsilon_1^2}{ m_2^2}=3p_0V_0$

$m_1\upsilon_1^2+ \frac{ m_1^2\upsilon_1^2}{ m_2}=3p_0V_0$

$\left(m_1+ \frac{ m_1^2}{ m_2}\right)\upsilon_1^2=3p_0V_0$

$\frac {m_1m_2+ m_1^2}{ m_2}\upsilon_1^2=3p_0V_0$

$\frac {m_1(m_2+ m_1)}{ m_2}\upsilon_1^2=3p_0V_0$

$\upsilon_1^2=\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+ m_1)}$

$\upsilon_1=\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+ m_1)}}$

Определим скорость второго поршня:

$\upsilon_2=\frac{ m_1}{ m_2}\upsilon_1=\frac{ m_1}{ m_2}\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+ m_1)}}= \sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2m_1^2}{ m_1m_2^2(m_2+ m_1)}}= \sqrt{\frac {3p_0V_0 m_1}{ m_2(m_2+ m_1)}}$

Ответ: $\upsilon_1=\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+ m_1)}}$ , $\upsilon_2=\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_1}{ m_2(m_2+ m_1)}}$ .

Задача 2. Сосуд с гелием движется по прямой со скоростью $u = 100$ м/с. На сколько возрастет температура газа, если сосуд остановить? Объем сосуда $V$ . Сосуд с газом теплоизолирован. Темлоемкостью сосуда пренебречь.

Кинетическая энергия сосуда перейдет в тепло. Тогда

$\frac{m_1 \upsilon^2}{2}=\frac{3}{2}\nu R\DeltaT=\frac{3}{2}\frac{m_2}{M} R \Delta T$

Масса сосуда $m_1$ , а газа – $m_2$ . Так как теплоемкостью сосуда пренебрегаем, то можно приравнять $m_1=m_2$ .

$\frac{\upsilon^2}{2}=\frac{3}{2}\frac{ R \Delta T }{M}$

$\Delta T=\frac{M\upsilon^2}{3R}=\frac{4\cdot10^{-3}\cdot10^4}{3\cdot8,31}=1,6$

Ответ: $\Delta T=1,6$ K.

Задача 3. В закрытом сосуде находится гелий, взятый в количестве $\nu = 3$ моля при температуре $t = 27^{\circ}$ С. На сколько процентов увеличится давление в сосуде, если газу сообщить количество теплоты $Q = 3$ кДж?

Передаваемое газу тепло идет на увеличение его внутренней энергии и совершаемую работу. Но сосуд закрыт, поэтому изменения объема нет, а значит, нет и работы. Следовательно, все тепло пойдет на увеличение внутренней энергии:

$Q=A+\Delta U$