Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Первое начало термодинамики

Превращения внутренней энергии

В этой статье внутренняя энергия газа будет превращаться в кинетическую энергию поршней и наоборот: кинетическая энергия будет переходить во внутреннюю и разогревать газ.

К задаче 1

Задача 1. В длинной гладкой пустой (нет внешнего давления) теплоизолированной трубе находятся два поршня массами m_1 и m_2 , между которыми в объеме V_0 при давлении p_0 находится одноатомный газ. Поршни отпускают. Определить их максимальные скорости, если масса газа много меньше массы поршней.

Внутренняя энергия определяется выражением:

    \[U=\frac{3}{2}\nu R T\]

Или, так как p_0V_0= \nu R T,

    \[U=\frac{3}{2} p_0V_0\]

Вся энергия передастся поршням, и перейдет в кинетическую:

    \[\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=\frac{3}{2} p_0V_0\]

Или

    \[m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2=3p_0V_0\]

По закону сохранения импульса

    \[m_1\vec{\upsilon_1}+ m_2\vec{\upsilon_2}=\vec{0}(m_1+m_2)\]

    \[m_1\upsilon_1- m_2\upsilon_2=0\]

    \[m_1\upsilon_1=m_2\upsilon_2\]

    \[\frac{ m_1}{ m_2}=\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}\]

Тогда

    \[\upsilon_2=\frac{ m_1\upsilon_1}{ m_2}\]

Возведем в квадрат:

    \[\upsilon_2^2=\frac{ m_1^2\upsilon_1^2}{ m_2^2}\]

Подставим:

    \[m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2=3p_0V_0\]

    \[m_1\upsilon_1^2+ m_2\frac{ m_1^2\upsilon_1^2}{ m_2^2}=3p_0V_0\]

    \[m_1\upsilon_1^2+ \frac{ m_1^2\upsilon_1^2}{ m_2}=3p_0V_0\]

    \[\left(m_1+ \frac{ m_1^2}{ m_2}\right)\upsilon_1^2=3p_0V_0\]

    \[\frac {m_1m_2+  m_1^2}{ m_2}\upsilon_1^2=3p_0V_0\]

    \[\frac {m_1(m_2+  m_1)}{ m_2}\upsilon_1^2=3p_0V_0\]

    \[\upsilon_1^2=\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+  m_1)}\]

    \[\upsilon_1=\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+  m_1)}}\]

Определим скорость второго поршня:

    \[\upsilon_2=\frac{ m_1}{ m_2}\upsilon_1=\frac{ m_1}{ m_2}\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+  m_1)}}= \sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2m_1^2}{ m_1m_2^2(m_2+  m_1)}}= \sqrt{\frac {3p_0V_0 m_1}{ m_2(m_2+  m_1)}}\]

Ответ: \upsilon_1=\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+  m_1)}}, \upsilon_2=\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_1}{ m_2(m_2+  m_1)}}.

Задача 2. Сосуд с гелием движется по прямой со скоростью u = 100 м/с. На сколько возрастет температура газа, если сосуд остановить? Объем сосуда V. Сосуд с газом теплоизолирован. Темлоемкостью сосуда пренебречь.

Кинетическая энергия сосуда перейдет в тепло. Тогда

    \[\frac{m_1 \upsilon^2}{2}=\frac{3}{2}\nu R\DeltaT=\frac{3}{2}\frac{m_2}{M} R \Delta T\]

Масса сосуда m_1, а газа – m_2. Так как теплоемкостью сосуда пренебрегаем, то можно приравнять m_1=m_2.

    \[\frac{\upsilon^2}{2}=\frac{3}{2}\frac{ R \Delta T }{M}\]

    \[\Delta T=\frac{M\upsilon^2}{3R}=\frac{4\cdot10^{-3}\cdot10^4}{3\cdot8,31}=1,6\]

Ответ: \Delta T=1,6 K.

 

Задача 3. В закрытом сосуде находится гелий, взятый в количестве \nu = 3 моля при температуре t = 27^{\circ} С. На сколько процентов увеличится давление в сосуде, если газу сообщить количество теплоты Q = 3 кДж?

Передаваемое газу тепло идет на увеличение его внутренней энергии и совершаемую работу. Но сосуд закрыт, поэтому изменения объема нет, а значит, нет и работы. Следовательно, все тепло пойдет на увеличение внутренней энергии:

    \[Q=A+\Delta U\]

    \[A=0\]

    \[Q=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R (T_2-T_1)\]

    \[Q=\frac{3}{2}\nu R T_2-\frac{3}{2}\nu R T_1\]

    \[\frac{3}{2}\nu R T_2=Q+\frac{3}{2}\nu R T_1\]

    \[T_2=\frac{2 Q }{3\nu R } +T_1\]

Для изохорного процесса справедливо:

    \[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\]

    \[p_2=\frac{p_1T_2}{T_1}\]

Подставим T_2:

    \[p_2=\frac{p_1\left(\frac{2 Q }{3\nu R } +T_1\right)}{T_1}\]

    \[p_2=p_1+p_1\frac{2 Q }{3\nu RT_1 }\]

    \[p_2-p_1=p_1\frac{2 Q }{3\nu RT_1 }\]

    \[\Delta p= p_1\frac{2 Q }{3\nu RT_1 }\]

    \[\frac{\Delta p }{ p_1}=\frac{2 Q }{3\nu RT_1 }\]

Осталось выразить в процентах:

    \[\frac{100\Delta p }{ p_1}=\frac{200 Q }{3\nu RT_1 }=\frac{6\cdot10^5}{3\cdot3\cdot8,31\cdot300}=26,7\]

Ответ: 26,7%

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *