Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Выражения (5), Вычисления и преобразования

Преобразование тригонометрических выражений

Поучимся сегодня преобразовывать тригонометрические выражения. Эти задания относятся к заданиям 9 профильного ЕГЭ, а также заданиям 5 базового ЕГЭ.

Задача 1. Вычислите все  возможные значения выражения \sin(-22w), если величина w является решением уравнения:

    \[306\cos(-11w)-187\sin(-11w)=0\]

Нам необходимо определить синус двойного угла. Из уравнения можем найти тангенс, а там и до синуса двойного аргумента рукой подать. Разделим уравнение на косинус (при условии, что косинус не равен нулю:\cos(-11w) \neq 0):

    \[306-187\operatorname{tg}(-11w)=0\]

    \[\operatorname{tg}(-11w)=\frac{306}{187}\]

Теперь найдем синус двойного угла:

    \[\sin(-22w)=\frac{2\operatorname{tg}(-11w)}{1+\operatorname{tg}^2 (-11w)}=\frac{114444}{128605}\]

Ответ: \sin(-22w)= \frac{114444}{128605}

 

Задача 2. Вычислите все  возможные значения выражения \sin(-10k), если величина k является решением уравнения:

    \[64\cos(-5k)-64\sin(-5k)-\frac{832}{\sqrt{2329}}=0\]

Разделим на 64:

    \[\cos(-5k)-\sin(-5k)-\frac{13}{\sqrt{2329}}=0\]

Перепишем иначе:

    \[\cos(-5k)-\sin(-5k)=\frac{13}{\sqrt{2329}}\]

Возведем в квадрат:

    \[(\cos(-5k)-\sin(-5k))^2=\frac{169}{2329}\]

Раскрыв скобки, имеем:

    \[\cos^2(-5k)-2\sin(-5k) \cos(-5k)+\sin^2(-5k)=\frac{169}{2329}\]

    \[1-2\sin(-5k) \cos(-5k)=\frac{169}{2329}\]

Следовательно,

    \[2\sin(-5k) \cos(-5k)=1-\frac{169}{2329}=\frac{2160}{2329}\]

Ответ: \sin(-10k)= \frac{2160}{2329}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *