Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, Функции

Предел функции


Функция y=f(x) имеет предел А при x{right}a, если с приближением значения аргумента x  к числу a значение функции y=f(x) приближается как угодно близко к числу А.

A=lim{x{right}a}{f(x)}

Функция при значении x=a может иметь как конечный, так и бесконечный предел (пишут: A=lim{x{right}a}{f(x)}{right}{infty}) и может быть не определена.

При вычислении пределов говорят о стремлении аргумента к нулю слева или справа, это означает, что мы приближаемся к оси ординат со стороны отрицательных чисел (двигаемся вправо по числовой оси по направлению к оси ординат),  или наоборот, со стороны положительных чисел (двигаемся влево по числовой оси к оси ординат).

При вычислении предела функции сначала необходимо попробовать подставить в функцию то число, к которому стремится аргумент.

Примеры:

1. Вычислить предел функции:

lim{x{right}2}{2x^2-4x+7}=2*2^2-4*2+7=7

2. Вычислить предел функции:

lim{x{right}4}{sqrt{x+5}/x}=sqrt{9}/4=0,75

3. Вычислить предел функции:

lim{x{right}3}{ 2x / sqrt{x+6} }=6/sqrt{9}=2

Правило: Если получена неопределенность типа  {0}/{0}, а в числителе и знаменателе многочлены, то необходимо разложить их  на множители и сократить дробь,  а затем уже произвести подстановку.

4. Вычислить предел функции:

lim{x{right}{-6}}{{x^2-36}/{x+6}}=0/0

lim{x{right}{-6}}{{(x-6)(x+6)}/{x+6}}= lim{x{right}{-6}}{x-6}=-6-6=-12

5. Вычислить предел функции:

lim{x{right}{5}}{{x^2-5x}/{x^2-6x+5}}= 0/0

lim{x{right}{5}}{{x(x-5)}/{(x-1)(x-5)}}= lim{x{right}{5}}{{x}/{x-1}}=5/4=1,25

6. Вычислить предел функции:

lim{x{right}{-3}}{{x^2-2x-15}/{x^3+27}}= 0/0

lim{x{right}{-3}}{{(x+3)(x-5)}/{(x+3)(x^2-3x+9)}}= lim{x{right}{-3}}{{x-5}/{x^2-3x+9}}={-3-5}/27=-8/27

Правило: Если получена неопределенность типа {infty}/{infty}, а в числителе и знаменателе многочлены, то необходимо разделить их  на x в старшей степени,  а затем уже произвести подстановку.

7. Вычислить предел функции:

lim{x{right}{infty}}{{4x+11}/{5+2x}}= {infty}/{infty}

lim{x{right}{infty}}{{4+11/x}/{5/x+2}}= 4/2=2

8. Вычислить предел функции:

lim{x{right}{infty}}{{15x^2-12x+2}/{12x^2+7x-8}}= {infty}/{infty}

lim{x{right}{infty}}{{15-12/x+2/x^2}/{12+7/x-8/x^2}}= 15/12=1,25

9. Вычислить предел функции:

lim{x{right}{+infty}}{{6x^3+5x}/{3x-2x^2}}= {infty}/{infty}

lim{x{right}{+infty}}{{6+5/x^2}/{3/x^2-2/x}}= 6/0={infty}

10. Вычислить предел функции:

lim{x{right}{0}}{{sin 9x}/{tg 3x}}= {0}/{0}

lim{x{right}{0}}{{3sin 3x-4(sin x)^3}/{{sin 3x}/{cos 3x}}}= lim{x{right}{0}}{(3-4(sin x)^2)cos 3x}=3

11. Вычислить предел функции:

lim{x{right}{0}}{{sin 15x}/{30x}}= {0}/{0}

lim{x{right}{0}}{{15x}/{30x}}= 1/2

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *