Практические задачи по геометрии. ГИА В13.

Всем привет! Сегодня разбираем задачи В13, которые очень часто вызывают трудности из-за того, что ребята не могут "увидеть" в задаче определенную теорему , не видят подобия, или не знают, как применить принципы подобия фигур. Нарисуй им треугольник - и все в порядке, "все работает", а как видят лестницу - так почему-то стопорятся в решении.

При решении задач этого типа часто самое основное - это рисунок. Правильно выполненный наглядный рисунок - это половина решения. так что задачи будем сопровождать рисунками. Поехали!

1. На одной прямой на  равном расстоянии друг от друга по одну сторону от дороги стоят три телеграфных столба. Крайние находятся от дороги на расстояниях 1,5 м и 7,5 м. Найдите расстояние, на котором находится от дороги третий столб. Ответ дайте в метрах.

В этой задаче нужно "увидеть" равные треугольники.

Так как речь идет о расстоянии - а это перпендикуляр к дороге, то треугольники будут прямоугольными. Так  как столбы стоят на одном расстоянии и на одной прямой, то у этих треугольников - равные гипотенузы, и один и тот же острый угол. Поэтому наши треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Найдем катеты треугольников, помеченные двумя штрихами:

 

 

 

 

 

 

 

Расстояние от дороги до первого столба  - 1,5 м - "лишнее", отбросим его, как бы придвинем дорогу к первому столбу: м, и это как раз два катета наших треугольников, тогда один катет - 3 м. Как показано на рисунке - искомое расстояние 3м+1,5 м=4,5 м.

Можно было бы также воспользоваться и формулой для отыскания среднего расстояния: самое маленькое расстояние - от дороги до первого столба, самое большое - от дороги до третьего, а расстояние до второго - среднее между первым и вторым:  м

Ответ: 4,5 метра. 

 

2. Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 17 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5 м. Найдите длину тени человека в метрах.

Задача на подобие. Увидеть подобные треугольники несложно: на рисунке выделены рыжим и красным. Подобие доказывается по двум углам, один из которых общий, другой - прямой. Поэтому можем воспользоваться коэффициентом подобия, через который связаны длины сторон подобных треугольников, и составить пропорцию:  - за х обозначили длину тени.

Ответ: 8 м.

 

3. Короткое плечо колодца с "журавлем" имеет длину 2 м. Когда конец короткого плеча поднялся на 0,4 м, конец длинного опустился на 0,9 м. Какова длина длинного плеча?

Эта задача - также на подобие. Подобные треугольники выделены зеленым.

Давайте докажем, что треугольники подобны. Оба они - прямоугольные, два угла у них равны, как вертикальные, поэтому треугольники подобны по двум углам. Тогда длины их сторон связаны между собой коэффициентом подобия, и для нахождение неизвестных достаточно составить пропорцию:

Ответ: 4,5 м

 

4. Колесо имеет 24 спицы. Найдите величину угла в градусах, который образуют две соседние спицы.

24 места крепления спиц на ободе колеса образуют 24 дуги, на которые оказывается разделен обод. Градусной мере такой дуги и будет соответствовать искомый угол.

Все колесо, как известно, это 360 , тогда искомый угол - 

Ответ: 15  .

5. Какой угол в градусах описывает часовая стрелка за 1 час  6 минут?

Один час и шесть минут - это 66 минут. Полный круг - 360 - часовая стрелка проходит за 12 часов, или 720 минут. Тогда она проходит 360 градусов за 720 минут, или полградуса в минуту. В таком случае за 66 минут она преодолеет 33 градуса.

Ответ: 33 .

 

6. На какой угол в градусах поворачивается минутная стрелка, пока часовая пройдет 5?

В предыдущей задаче выяснили, что за минуту часовая стрелка проходит полградуса. Чтобы пройти 5, часовой стрелке понадобится 10 минут, а минутная стрелка  за 10 минут пройдет 1/6 круга, или 60, так как полный круг - 360с- она проходит за 60 минут.

 

7. На расстоянии 21 м одна от другой растут две сосны, высота первой 39 м, а второй - 11 м. Найдите расстояние между их верхушками. Ответ дайте в метрах.

Расстояние между верхушками - это гипотенуза красного треугольника. Один его катет  - расстояние между соснами, оно равно 21 м. Второй катет - разность высот двух сосен: м. Тогда гипотенузу найдем по теореме Пифагора: м.

Ответ: 35 метров.

 

8. Два парохода вышли из порта и отправились в противоположные стороны. Скорость первого 13 км/ч, второго - 18 км/ч. Какое расстояние будет между пароходами через 4 часа?

Пароходы удаляются друг от друга, и расстояние между ними растет. Есть два способа решить эту задачу: найти расстояния, пройденные каждым из пароходов, и сложить их, либо найти скорость удаления, и, умножив ее на время - 4 часа, получить то же самое расстояние.

Делаем: 1 способ.

Первый пароход за 4 часа пройдет:  км, второй пройдет:  км. Сложим расстояния:  км.

2 способ:  км/ч - скорость удаления пароходов,  умножаем ее на время:  км.

Ответ: 124 км.

 

9. Лестница соединяет точки А и В. Высота каждой ступени равна 12 см, а длина - 35. Из скольких ступеней состоит лестница, если расстояние между точками А и В равно 7,4 м.

Переведем все расстояния в метры, тогда высота ступеньки - 0,12 м, а длина - 0,35 м. Сколько ступенек, мы пока не знаем, пусть их будет n штук. Воспользуемся теоремой Пифагора: . Имеем: .

Тогда:  ,

Еще вариант решения: определим "гипотенузу" 1 ступеньки (в см):   см. Переведем в метры: 0,37 м.

Делим теперь расстояние между точками А и В на эту величину:  .

Ответ: 20 ступенек.

 

10. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5 и 6 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 и 40 см. Сколько таких дощечек понадобится?

Определим площадь комнаты: , и площадь паркетной дощечки. Только сначала выразим ее длину и ширину в метрах: 0,1 м и 0,4 м. Тогда: .

Осталось поделить площадь комнаты на площадь пластинки: .

Кстати, можно заметить, что 1 делится на 0,04 - то есть можно посчитать количество дощечек, покрывающих 1 квадратный метр, и умножить на 30 - площадь комнаты: , 

Ответ: понадобится 750 дощечек.

 

11. Сколько коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размерами  см можно поместить в кузов машины размерами  м?

В этой задаче тоже есть два пути решения. Один - аналогичный предыдущей задаче, то есть решение "в лоб": считаем объем кузова, считаем объем коробки (не забывая выразить размеры в метрах), и потом делим первое на второе. Этот путь плох тем, что на этапах расчета можно допустить ошибку, поскольку вычислений немало, и предстоит как умножение в столбик, так и деление. Второй способ: прикинуть, сколько коробок уляжется в кузов вдоль, поперек и и высоту. Считаем. Выразим  длину, ширину и высоту коробки в метрах: 0,6 м, 0,7 м и 0,9 м. Заметим, что 2,7 - делится на 0,9, 3,5 - делится на 0,7, а 3 - на 0,6. Тогда вдоль первого измерения () - пусть это будет высота - "ляжет" 3 коробки, вдоль второго () - 5 коробок, и вдоль третьего -  - 5 коробок. Всего коробок:  штук.

 

12. Две трубы, диаметры которых равны 8 и 6 см, требуется заменить одной, площадь поперечного сечения которой будет равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в см.

Определим площади поперечных сечений имеющихся труб. Нам понадобится формула площади круга: . площадь сечения первой трубы:  , площадь сечения второй трубы:  . Тогда площадь сечения новой трубы будет:  . теперь определим, какого диаметра должна быть новая труба: 

Ответ: 10 см.

 

13. Скло­ны горы об­ра­зу­ют с го­ри­зон­том угол , ко­си­нус ко­то­ро­го равен 0,9. Рас­сто­я­ние по карте между точ­ка­ми  A  и  B  равно 24 км. Опре­де­ли­те длину пути между этими точ­ка­ми через вер­ши­ну горы.

 

Очень важно то, что ОБА склона горы имеют одинаковый наклон к горизонту, таким образом наша гора - равнобедренный треугольник, и поэтому как длина подъема, так и длина спуска - равны. Рассмотрим выделенный синим треугольник. Он прямоугольный, один его катет - высота горы, второй - половина расстояния по карте от пункта А до В (половина потому, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, еще и медиана).

По определению косинуса , отсюда  - но это только подъем, вместе со спуском длина пути из А в В через гору составит   км.

Ответ: 26,6 км

 

14. Глу­би­на кре­пост­но­го рва равна 10 м, ши­ри­на 7 м, а вы­со­та кре­пост­ной стены от ее ос­но­ва­ния 34 м. Длина лест­ни­цы, по ко­то­рой можно взо­брать­ся на стену, на 2 м боль­ше, чем рас­сто­я­ние от края рва до верх­ней точки стены (см. рис.). Най­ди­те длину лест­ни­цы.

Рассмотрим треугольник, выделенный зеленым цветом. Длина лестницы больше гипотенузы этого прямоугольного треугольника на 2 м. Найдем  гипотенузу по теореме Пифагора: тогда один катет - ширина рва, 7 м, а другой - разность между высотой стены и глубиной рва, то есть 34-10=24 м:

м

Тогда длина лестницы 25+2=27 метров.

Ответ: 27 м.

15. Опре­де­ли­те вы­со­ту дома, ши­ри­на фа­са­да ко­то­ро­го равна 12 м, вы­со­та стен равна 8 м, а длина ската крыши равна 10 м.

 

Высота дома складывается из высоты стен плюс высота центральной части крыши - конька. Высота стен нам дана, а высоту конька давайте определим, рассмотрев синий треугольник. Его гипотенуза - скат крыши - 10 м. Высота крыши - вертикальный катет, а горизонтальный - половина фасада дома, или 6 м. Тогда по теореме Пифагора:  м

Тогда высота дома - м

Ответ: 16 м.