Поверхностное натяжение. Капиллярные явления.

Для начала вспомним все, что мы знаем о поверхностном натяжении. Это явление наблюдается на поверхностях жидкостей и связано с тем, что молекулы на поверхности слабо взаимодействуют с паром жидкости, в то время как молекулы внутри объема испытывают равные силы притяжения со стороны всех своих соседей. Таким образом, эти силы компенсируют друг друга, и их равнодействующая равна нулю. Молекула же, находящаяся на поверхности, испытывает меньшее притяжение со стороны молекул пара и большее – снизу, со стороны объема жидкости. В итоге равнодействующая не равна нулю и направлена вниз.

Поверхностной энергией называется избыточная потенциальная энергия, которой обладают молекулы в поверхностном слое по сравнению с их потенциальной энергией внутри остального объема жидкости.

Чтобы сократить свою потенциальную энергию (всякая система стремится к минимальной потенциальной энергии) жидкость стремится сократить количество молекул на поверхности – то есть сократить свою поверхность насколько возможно, сжаться.

Коэффициент поверхностного натяжения численно равен силе, действующей на единицу длины периметра смачивания и направленной перпендикулярно этому периметру: [pmath]sigma={F_p/l}[/pmath] (Н/м).

Также коэффициент поверхностного натяжения может быть определен через работу, которую надо совершить, чтобы увеличить поверхность жидкости:[pmath]sigma=A/{{Delta}S}[/pmath] (Н/м).

Эта работа идет на увеличение свободной поверхности жидкости, и коэффициент поверхностного натяжения жидкости численно равен потенциальной энергии единицы поверхности пленки жидкости: [pmath]sigma={{Delta}W_p}/{{Delta}S}[/pmath] (Н/м).

Смачиванием называется явление искривления свободной поверхности жидкости у поверхности твердого тела вследствие взаимодействия молекул. Чтобы как-то количественно определить смачивание, вводится краевой угол. Это угол, образованный касательными к поверхностям твердого тела и жидкости в месте их контакта. Жидкость при этом должна оказаться внутри угла. Если краевой угол острый – то жидкость называется смачивающей твердое тело, а если тупой – то несмачивающей. Если краевой угол равен нулю, то смачивание идеальное, угол, равный [pmath]pi[/pmath], соответствует идеальному несмачиванию.

Различие углов связано с межмолекулярным взаимодействием молекул жидкости и твердого тела: если силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами жидкости друг к другу, то жидкость будет смачивающей. Если молекулы жидкости притягиваются друг к другу сильнее, чем притягиваются молекулы жидкости к молекулам твердого тела – то жидкость будет несмачивающей.

Краевой угол

Из-за смачивания и несмачивания поверхность жидкости искривляется вблизи стенок сосуда, в котором находится жидкость. Если сам сосуд мал (его стенки близко друг к другу), то искривляется вся поверхность жидкости, принимая выпуклую (несмачивание)  или вогнутую (смачивание) форму.

Смачивающая и несмачивающая жидкости

Такие поверхности называются менисками, а узкие трубки – капиллярами. То, что поверхность искривляется, приводит к изменению давления, причем давление больше с вогнутой стороны мениска (той, где находится центр кривизны). Именно этим и объясняется подъем столбика смачивающей жидкости в капилляре и опускание столбика несмачивающей жидкости:

Величину этого избыточного давления можно определить по формуле Лапласа:

[pmath]{Delta}P=sigma(1/R_1+1/R_2)[/pmath], где  [pmath]R_1[/pmath] и  [pmath]R_2[/pmath] – радиусы двух взаимно перпендикулярных  дуг, проведенных в данной точке поверхности.

Для сферической капли [pmath]R_1=R_2[/pmath] и  [pmath]{Delta}P={2sigma}/R[/pmath]

Для капилляров [pmath]{Delta}P={2sigma*cos{Theta}}/R[/pmath], где R – радиус капилляра, [pmath]R/{cos{Theta}}[/pmath] – радиус кривизны мениска.

Для некоторых задач может пригодиться формула Юнга, которая определяет соотношение для коэффициентов поверхностного натяжения для поверхностей раздела фаз (lg – жидкость-газ, tl – твердое тело-жидкость, tg – твердое тело-газ): [pmath]sigma_tg=sigma_tl+{sigma_lg}*cos{Theta}[/pmath].

Попробуем решить пару задач?

1. Одно колено U – образной трубки имеет радиус r₁ = 0,5 мм, а другое — r₂ = 1 мм. Найти разность уровней воды в коленах. Коэффициент поверхностного натяжения воды σ = 0,073 Н/м. Смачивание полное.

Сила поверхностного натяжения должна уравновешивать вес столба жидкости в капилляре. Тогда вес жидкости [pmath]{rho}gV={rho}g*{pi}r^2h[/pmath], а сила поверхностного натяжения равна произведению периметра линии контакта (в нашем случае – окружность) на коэффициент поверхностного натяжения: [pmath]{sigma}*2{pi}r[/pmath]. Здесь отсутствует косинус краевого угла, так как смачивание полное и угол этот равен нулю, а косинус нуля – 1. Получаем:

[pmath]{rho}g*{pi}r^2h={sigma}*2{pi}r[/pmath], выражаем высоту столба: [pmath]h={2sigma}/{{rho}gr}[/pmath]. Вычисленная по этой формуле высота столба в капилляре радиусом 0,5 мм – 0, 0292 м, или 29,2 мм, а в капилляре 1 мм высота столба 0,0146 м, или 14,6 мм. Разница между высотой первого и второго составляет 14,6 мм.

Ответ: 14,6.

2. Трубка с внутренним диаметром d = 1 мм опущена в ртуть на глубину h = 5 мм. Найти краевой угол θ. Плотность и коэффициент поверхностного натяжения ртути равны: ρ_рт = 13,6 г/см³ и σ_рт = 0,47 Н/м.

Воспользуемся формулой из предыдущей задачи, единственное, что в ней изменим – добавим косинус краевого угла, так как смачивание здесь не полное. Вес ртути: [pmath]{rho}gV={rho}g*{pi}r^2h[/pmath],а сила поверхностного натяжения равна произведению периметра линии контакта (окружность) на коэффициент поверхностного натяжения: [pmath]{{sigma}*2{pi}r}*cos(Theta)[/pmath]. Отсюда:

[pmath]{rho}g*{pi}r^2h={{sigma}*2{pi}r}*cos(Theta)[/pmath], а косинус краевого угла [pmath]cos(Theta)={rho}g*{pi}r^2h/{{sigma}*2{pi}r}={rho}g*rh/{2sigma}[/pmath], [pmath]Theta=arccos({rho}g*rh/{2sigma})[/pmath], не забудем, что в формуле радиус, а нам дан диаметр.

[pmath]Theta=arccos({13,6*10^3*10*5*10^{-3}*0,5*10^{-3}}/{2*0,47})=arccos(0,36)=68,8{circ}[/pmath].

Ответ: [pmath]Theta=68,8{circ}[/pmath].

3.  Восемь шаровых капель ртути диаметром d = 1 мм каждая сливаются в одну каплю. Сколько при этом выделится тепла?

Найдем объем одной маленькой капли: [pmath]V_1={4/3}{pi}r^3={4/3}{pi}*(0,5)^3*10^{-9}={1/6}{pi}*10^{-9}[/pmath] куб. метров

Найдем площадь поверхности маленькой капли:  [pmath]S_1=4{pi}r^2={pi}*10^{-6}[/pmath] кв. метров

У восьми капель площадь поверхности [pmath]8S_1=8{pi}*10^{-6}[/pmath] кв. метров

Теперь определим объем большой капли, он в восемь раз больше: [pmath]V_2={4/3}{pi}*10^{-9}[/pmath] куб. метров

Радиус большой капли:  [pmath]{4/3}{pi}R^3={4/3}{pi}*10^{-9}[/pmath]

Тогда радиус большой капли:  [pmath]R=10^{-3}[/pmath] м

А ее поверхность:  [pmath]S_2=4{pi}R^2=4{pi}*10^{-6}[/pmath] кв. метров.

Таким образом, площадь изменилась на [pmath]{Delta}S=4{pi}*10^{-6}[/pmath] кв. метров.

Чтобы изменить площадь поверхности жидкости (увеличить), надо произвести работу. Когда же площадь уменьшается, то выделяется энергия: [pmath]{{Delta}W_p}=sigma*{{Delta}S}=0,47*4{pi}*10^{-6}=5,89*10^{-6)[/pmath] Дж.

Ответ: [pmath]{{Delta}W_p}=5,89*10^{-6)[/pmath] Дж.

4. Найти радиус нижнего мениска в трубке с внутренним диаметром d = 0,59 мм, если высота h столбика воды в нём равна: а) 2,5 см; б) 5 см; в) 10 см. Смачивание полное.

Рассмотрим рисунок. Верхний мениск всегда будет вогнутым, давление, как мы знаем, в этом случае направлено вверх. Так как смачивание полное, то косинус краевого угла равен 1, а сам угол – нулю:

[pmath]p_1={2sigma}/R_1={{2sigma}cos{Theta}}/r={2sigma}/r={0,073*2}/{0,295*10^{-3}}=494,9[/pmath]

Давление столба жидкости направлено вниз и равно: [pmath]{rho}gh[/pmath].

В первом случае: [pmath]p_21={rho}gh_1=10^3*10*2,5*10^{-2)=250[/pmath].

Во втором случае: [pmath]p_22={rho}gh_2=10^3*10*5*10^{-2)=500[/pmath].

В третьем случае: [pmath]p_23={rho}gh_3=10^3*10*10*10^{-2)=1000[/pmath].

Таким образом, в первом случае, когда [pmath]p_1>p_21[/pmath][pmath][/pmath], суммарное давление направлено вниз, и давление нижнего мениска, компенсируя его, должно быть направлено вверх, то есть он будет вогнутым. Во втором случае оба давления приблизительно равны: [pmath]p_1=p_22[/pmath], так что нижний мениск будет плоским. В третьем случае [pmath]p_1<p_21[/pmath][pmath][/pmath], и суммарное давление направлено вниз, тогда мениск, компенсируя эту разницу, будет выпуклым.

Найдем разницу давлений в первом и третьем случаях (во втором она близка к нулю):

[pmath]p_31=p_1-p_21=250-495=-244[/pmath].

[pmath]p_33=p_1-p_21=1000-495=505[/pmath].

Определим теперь радиусы менисков:  [pmath]p_3={2sigma}/R_2[/pmath],  [pmath]R_2={2sigma}/p_3[/pmath]

В первом случае радиус [pmath]R_2={2*0,073}/(-244)=-5,9*10^{-4}[/pmath], или 5,9 мм, вогнутый.

В третьем случае радиус [pmath]R_2={2*0,073}/505=2,9*10^{-4}[/pmath], или 2,9 мм, выпуклый.