Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Потенциал

Потенциалы

В этой статье заряды перемещают из точки в точку, электроны и альфа-частицы разгоняются и тормозят, совершается работа. Мы научимся определять знак этой работы, знаак напряжения и знак разности потенциалов.

Задача 1. Какую работу совершает поле при перемещении заряда q=20 нКл из точки с потенциалом \varphi_1=700 В в точку с потенциалом \varphi_2=200 В?

Работа поля равна:

    \[A=q \Delta \varphi=q(\varphi_1-\varphi_2)=20\cdot10^{-9}\cdot(700-200)=10^{-5}\]

Ответ: A=10^{-5} Дж.

 

Задача 2. В однородном электрическом поле напряженностью E=1 кВ/м переместили заряд q=-25 нКл  в направлении силовой линии на расстояние r=2 см. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля и напряжение между начальной и конечной точками перемещения.

Так как заряд перемещают в направлении линии поля, следовательно, из точки с большим потенциалом в точку с меньшим. Если бы заряд был положительным, работа поля была бы положительной, но в случае отрицательного заряда при перемещении его по силовой линии (то есть как бы в сторону, где расположен отрицательный заряд) работа поля отрицательна.

    \[A=F r=E q r=1000\cdot (-25)\cdot10^{-9}\cdot 0,02=-5\cdot10^{-6}\]

    \[\Delta W=- A =5\cdot10^{-6}\]

Так как A= -q \Delta \varphi, то

    \[\Delta \varphi=-\frac{A}{q}=1000\cdot0,02=20\]

Так как заряд перемещают из точки с большим потенциалом в точку с меньшим, то разность потенциалов положительна (напряжение было бы отрицательным).

Ответ: A=-5\cdot10^{-6}, или -5 мкДж, \Delta W=5 мкДж, \Delta \varphi=20 В.

 

Задача 3. В однородном поле напряженностью E=60 кВ/м переместили заряд q=5 нКл. Перемещение r=20 см образует угол \alpha=60^{\circ} с направлением силовой линии. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии взаимодействия заряда и поля и напряжение между начальной и конечной точками перемещения, а также разность потенциалов между ними.

Работа поля равна

    \[A=FS\cos{\alpha}=Eq S\cos{\alpha}=60\cdot10^3\cdot5\cdot10^{-9}\cdot0,2\cdot\frac{1}{2}=30\cdot10^{-6}\]

    \[\Delta W=- A =-30\cdot10^{-6}\]

    \[A= q U\]

    \[U=\frac{A}{q}= E S\cos{\alpha}=60\cdot10^3\cdot0,2\cdot\frac{1}{2}=6000\]

    \[\Delta \varphi =-U=-6000\]

Ответ: A=30 мкДж, \Delta W=-30 мкДж, U=6000 В, \Delta \varphi=-6000 В.

Задача 4. Под действием электрического поля электрон переместился из точки с потенциалом \varphi_1=200 В в точку с потенциалом  \varphi_2=300 В. Найти кинетическую энергию электрона, изменение потенциальной энергии взаимодействия с полем и приобретенную скорость. Начальную скорость электрона считать равной нулю.

Кинетическая энергия электрона

    \[E_k=\frac{m \upsilon^2}{2}\]

Численно работа поля равна изменению кинетической энергии электрона. Работа поля отрицательна (перемещаем отрицательный заряд против линий поля):

    \[A=-q \Delta \varphi=-q (\varphi_1-\varphi_2) =-(-1,6\cdot10^{-19})\cdot(200-300)=-1,6\cdot10^{-17}\]

Тогда скорость электрона

    \[A=\frac{m \upsilon^2}{2}\]

    \[\upsilon^2=\frac{2A}{m}\]

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{2A}{m}}=\sqrt{\frac{3,2\cdot10^{-17}}{9,1\cdot10^{-31}}}=5,9\cdot10^6\]

    \[\Delta W=- A =1,6\cdot10^{-17}\]

Ответ: \upsilon=5,9\cdot10^6 м/с, или 5,9 Мм/c, \Delta W=1,6\cdot10^{-17} Дж, E_k=1,6\cdot10^{-17} Дж.

 

Задача 5. Электрон под действием электрического поля увеличил свою скорость с \upsilon_1=10^7 м/с до \upsilon_2=3\cdot10^7 м/с. Найти разность потенциалов между начальной и конечной точками перемещения.

Электрон увеличил скорость, следовательно, двигался против линий поля, а при движении отрицательного заряда против линий поля работа поля положительна. Зато изменение потенциальной энергии взаимодействия поля с зарядом – отрицательно. Заряд двигается из точки с меньшим потенциалом в точку с большим, поэтому разность потенциалов отрицательна.

Изменение кинетической энергии электрона равно:

    \[\Delta E_k=\frac{m}{2}\cdot(\upsilon_2^2-\upsilon_1^2)= \frac{9,1\cdot10^{-31}}{2}\cdot(9\cdot10^{14}-10^{14})=36,4\cdot10^{-17}\]

    \[\Delta E_k=-\Delta W\]

    \[-\Delta \varphi=\frac{\Delta W }{e}=\frac{-36,4\cdot10^{-17}}{-1,6\cdot10^{-19}}=2275\]

    \[\Delta \varphi=-2275\]

Ответ: \Delta \varphi=-2275 В.

 

Задача 6. Альфа-частица движется со скоростью \upsilon=2\cdot10^7 м/с и попадает в однородное электрическое поле, силовые линии которого направлены противоположно направлению движения частицы. Какую разность потенциалов должна пройти частица до остановки? Какой должна быть напряженность электрического поля, чтобы частица остановилась, пройдя расстояние s=2 м?

Альфа-частица заряжена положительно, при движении против линий поля она будет тормозить, а работа поля будет отрицательной. Следовательно, изменение потенциальной энергии взаимодействия поля с зарядом – положительно.  Когда частица остановится, это значит, что вся ее кинетическая энергия перейдет в потенциальную.

    \[E_k=E_p\]

    \[\frac{m_{\alpha} \upsilon^2}{2}=E q r\]

Откуда

    \[E=\frac{m_{\alpha} \upsilon^2}{2 q r }\]

Заряд альфа-частицы равен удвоенному заряду электрона (но положительный), а масса равна учетверенной а.е.м.

    \[E=\frac{4\cdot1,6\cdot10^{-27} \cdot4\cdot10^{14}}{4\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot 2 }=2,1\cdot10^6\]

    \[A=Uq\]

Следовательно,

    \[U=\frac{A}{q}=\frac{ m_{\alpha} \upsilon^2}{2 q}=-\frac{4\cdot1,6\cdot10^{-27} \cdot4\cdot10^{14}}{4\cdot1,6\cdot10^{-19}}=-4,2\cdot10^6\]

Поэтому \Delta \varphi=-U=4,2\cdot10^6

Ответ: E=2,1\cdot10^6 В/м, \Delta \varphi=4,2\cdot10^6 В.

Задача 7. Величина напряженности электрического поля изменяется в некотором направлении по закону E=Ar, где A=4 В/м^2. Позитрон начинает двигаться из положения, в котором r=0. Какую скорость он приобретет, пройдя путь s=1 м вдоль этого направления?

Так как позитрон – частица с положительным зарядом, то двигался он вдоль направления линий поля и работа поля в этом случае положительна. Работа поля будет преобразована в кинетическую энергию частицы.

    \[E_k=A\]

    \[\frac{m_p \upsilon^2}{2}=E q s\]

В качестве величины напряженности поля примем среднюю:

    \[E=\frac{Ar}{2}=\frac{As}{2}\]

Тогда

    \[\frac{m_p \upsilon^2}{2}=\frac{As}{2} q s\]

    \[\upsilon^2=\frac{2As^2q}{2m}\]

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{As^2q}{m}}\]

    \[\upsilon=s\sqrt{\frac{Aq}{m}}=\sqrt{\frac{4\cdot1,6\cdot10^{-19}}{9,1\cdot10^{-31}}}=8,4\cdot10^5\]

Ответ: \upsilon=8,4\cdot10^5 м/с.

 

Задача 8. В однородном электрическом поле выбраны точки A, B, C, D и N, расположенные вдоль одной прямой на одинаковых расстояниях друг от друга. Найти потенциалы точек B и D, принимая поочередно A, C и N за точки нулевого потенциала, если разность потенциалов \varphi_B-\varphi_D=50 В.

К задаче 8

Точки, как видно, расположены так, что от A к N потенциал убывает. Поэтому, так как точки расположены равномерно, на равных расстояниях, то сразу понятно, что между двумя соседними разность потенциалов 25 В (так как по условию между B и D – 50 В). Следовательно, если точка с нулевым потенциалом – точка A – то у точки B потенциал минус 25 В, а у D – минус 75. Если точка с нулевым потенциалом – точка C – то у точки B потенциал 25 В, а у D – минус 25. Если точка с нулевым потенциалом – точка N – то у точки B потенциал 75 В, а у D – 25.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *