Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Потенциал

Потенциал: задачи ЕГЭ – 3

[latexpage]

Предлагаю вашему вниманию сложные задачи ЕГЭ, которые могут встретиться под номерами 30 и 31. Надеюсь, подробный разбор укрепит вашу уверенность в том, что и с этими задачами вы справитесь.

Задача 1. Расстояние между точечными зарядами $q_1=10$ нКл и $q_2=-1$ нКл равно $r=1,1$ м. Найдите напряженность поля в точке на прямой, проходящей через заряды, в которой потенциал равен нулю.

Так как заряды разных знаков, то искомая точка располагается, вероятно, между ними. Обозначим за $x$ расстояние от второго заряда до этой искомой точки, тогда от первого заряда до нее расстояние будет $r-x$. Так как потенциал в этой точке равен нулю, запишем:

$$\varphi_1-\varphi_2=0$$

$$\varphi_1=\varphi_2$$

$$\frac{kq_1}{r-x}=\frac{kq_2}{x}$$

Откуда

$$q_1 x=q_2 r-q_2 x$$

Отрицательный знак второго заряда уже учтен в уравнении, поэтому подставляем его модуль:

$$x=\frac{q_2 r}{q_1+q_2}=\frac{1\cdot10^{-9}\cdot1,1}{11\cdot10^{-9}}=0,1$$

Таким образом, искомая точка – в метре от первого и в 10 см от второго заряда. Найдем напряженность поля в ней.

$$E_x=E_1+E_2$$

$$E_x=k \left(\frac{q_1}{(r-x)^2}+\frac{q_2}{x^2}\right)= 9\cdot10^9 \left(\frac{10^{-8}}{1^2}+\frac{10^{-9}}{0,1^2}\right)=9\cdot(10+100)=990$$

Ответ: 990 В/м.

Задача 2. В вершинах равностороннего треугольника со стороной $a=2$ см расположены точечные заряды $Q=2$ мкКл. Какую работу нужно совершить, чтобы переместить точечный заряд $q=5$ нКл из середины одной из сторон треугольника в его центр?

Узнаем потенциалы точек: первой – на середине стороны, и второй – в центре. В первой точке ($x$) сложатся три потенциала: два из трех зарядов располагаются на расстоянии $\frac{a}{2}$, а третий – на расстоянии $h$:

$$\varphi_x=kQ\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{h}\right)$$

Точка $y$ располагается от зарядов на равных расстояниях, равных $\frac{2h}{3}$ – так как медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда:

$$\varphi_y=\frac {3kQ}{\frac{2h}{3}}$$

Высота правильного треугольника (она же и медиана) вычисляется по формуле:

$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$

Тогда:

$$\frac{2h}{3}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$

$$\varphi_x=kQ\left(\frac{4}{a}+\frac{2}{a\sqrt{3}}\right)$$

$$\varphi_y=\frac {3\sqrt{3}kQ}{a}$$

Работа по перемещению заряда тогда будет такой:

$$A=qU=q(\varphi_x-\varphi_y)=k q Q\left(\frac{4}{a}+\frac{2}{a\sqrt{3}}-\frac {3\sqrt{3}}{a}\right)=9\cdot10^9\cdot2 \cdot 10^{-6}\cdot5\cdot10^{-9} \left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac {3\sqrt{3}}{2}\right)=$$

$$1,9\cdot10^{-4}$$

Ответ: $A=1,9\cdot10^{-4}$.

 

Задача 3. Металлический шар радиусом $r_1=2$ см, заряженный до потенциала $\varphi_1=30$ В, соединили проволокой с шаром емкостью $C_2=3$ пФ, на котором находится заряд $q_2=-6\cdot10^{-8}$ Кл. Каков будет заряд на первом шаре после перераспределения зарядов?

На шарах после соединения их проводником заряды будут разными, но потенциалы – одинаковые. Вычислим потенциал второго шара:

$$\varphi_2=\frac{q_2}{C_2}=\frac{-6\cdot10^{-8}}{3\cdot10^{-12}}=-20000$$

Таким образом, потенциал второго шара – (-20 000) В.

Вычислим радиус этого шара:

$$C_2=\frac{R_2}{k}$$

$$R_2=kC_2=9\cdot10^9\cdot3\cdot10^{-12}=27\cdot10^{-3}$$

Вычислим заряд первого шара:

$$q_1=C_1\varphi_1=\frac{r_1}{k}\varphi_1=\frac{2\cdot10^{-2}}{9\cdot10^9}\cdot 30=\frac{20}{3}\cdot10^{-11}$$

При соединении проводников заряды сложатся и оставшийся нескомпенсированным заряд разделится пропорционально радиусам шаров:

$$Q=q_1-q_2=10^{-11}(\frac{20}{3}-6000)=-5993\frac{1}{3}\cdot10^{-11}$$

$$\frac{q_1’}{r_1}=\frac{q_2’}{R_2}$$

$$q_1’+q_2’=Q$$

Поэтому

$$\frac{q_1’}{r_1}=\frac{Q-q_1’}{R_2}$$

$$q_1’(R_2+r_1)=r_1Q$$

$$q_1’=\frac{ r_1Q }{ R_2+r_1}=\frac{2\cdot10^{-2}\cdot 5993\frac{1}{3}\cdot10^{-11}}{47\cdot10^{-3}}=2,55\cdot10^{-8}$$

Ответ: $q_1’=-2,55\cdot10^{-8}$ Кл.

Задача 4. Протон, обладающий импульсом $p=3,27\cdot10^{-22}$ кг$\cdot$м/с, влетает в плоский конденсатор длиной 1 см под углом $15^{\circ}$ к пластинам. Расстояние между пластинами равно $d=0,5$ см. Определите величину напряжения $U$ на пластинах конденсатора, если при выходе из конденсатора протон будет двигаться параллельно пластинам.

Протон теряет вертикальную составляющую скорости – она становится равной нулю. То есть его импульс изменяется на величину $\Delta p=m\upsilon \sin{\alpha}$. Чтобы изменить импульс, нужно воздействовать на протон с некоторой силой в течение некоторого времени. Поле конденсатора будет действовать на протон с силой $F=qE=eE$, а время пролета через конденсатор будет равно

$$t=\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}$$

Тогда

$$\Delta p=m\upsilon \sin{\alpha}=eEt=\frac{eEl}{\upsilon \cos{\alpha}}$$

Откуда

$$E=\frac{ m\upsilon^2 \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{el}$$

$$U=Ed=\frac{ d m\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{2el}=\frac{ d p^2 \sin{2\alpha}}{ 2 m el}=\frac{ 0,5\cdot10^{-2}\cdot(3,27\cdot10^{-22})^2 \cdot0,5}{ 2\cdot1,67\cdot10^{-27}\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot10^{-2}}=\frac{25\cdot3,27^2}{2\cdot1,6\cdot1,67}=50$$

Ответ: 50 В.

Задача 5. Электрон со скоростью $\upsilon=10^9$ см/с влетает в пространство между пластинами плоского конденсатора через маленькое отверстие в нижней пластине под углом $60^{\circ}$ к ней. Напряжение между пластинами $U=425$ В, расстояние между ними $d=1$ см. На какое максимальное  расстояние $H$ электрон может удалиться от нижней пластины? Отношение заряда электрона к его массе равно $\frac{q}{m}=1,76\cdot10^{11}$ Кл/кг.

На электрон будет воздействовать поле конденсатора, которое будет его тормозить. В итоге вертикальная составляющая скорости электрона должна стать равной 0. Сила, с которой поле воздействует на электрон, равна $F=qE=ma$. Определим, с каким ускорением тормозит электрон.

$$a=\frac{\Delta \upsilon}{t}$$

Изменение скорости электрона – $\Delta \upsilon =\upsilon \sin{\alpha}$, время, за которое электрон снизил свою вертикальную составляющую скорости до нуля, равно $t=\frac{l}{ \upsilon \cos{\alpha}}$. Здесь $\upsilon \cos{\alpha}$ – горизонтальная составляющая скорости, а $l$ – расстояние, пройденное электроном по горизонтали.  Тогда

$$a=\frac{\Delta \upsilon}{t}=\frac{\upsilon \sin{\alpha} \upsilon \cos{\alpha}}{l}=\frac{\upsilon^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{l}$$

Определим длину пройденного по горизонтали электроном расстояния из формулы:

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{2H}{l}$$

$$l=\frac{2H}{\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{2H\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$$

Подставим в уравнение для ускорения:

$$a=\frac{\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{2H}$$

Тогда

$$qE=\frac{m\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{2H}$$

$$H=\frac{m\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{qE}=\frac{m\cdot d\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{2qU}=\frac{10^{-2}\cdot10^{14}\cdot3}{8\cdot1,76\cdot10^{11}\cdot425}=5\cdot10^{-3}$$

Ответ: 0,5 см

Задача решается проще, если приравнять работу поля и убыль кинетической энергии электрона:

$$qEH=\Delta E_k=\frac{ m\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{2}$$

$$H=\frac{m\cdot d\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{2qU}$$

Задача 6.  Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора с высоты $H=0,5$ см свободно падает незаряженный металлический шарик массой $m=1$ г. На какую высоту $h$ после абсолютно упругого удара о нижнюю пластину поднимется шарик, если в момент удара на него переходит заряд $q=1$ мк Кл? Разность потенциалов между пластинами конденсатора равна $U=100$ В, расстояние между ними $d=2$ см.

У шарика изначально есть запас потенциальной энергии $m g h$. После отскока у него будет запас потенциальной энергии гравитационной, и запас потенциальной энергии взаимодействия с полем:

$$mgh=mgh’+Eqh’$$

Откуда

$$h’=\frac{mgh}{mg-Eq}=\frac{mgh}{mg-\frac{U}{d}q}=\frac{mghd}{mgd-Uq}=\frac{10^{-3}\cdot10\cdot0,5\cdot10^{-2}\cdot2\cdot10^{-2}}{10^{-3}\cdot10\cdot2\cdot10^{-2}-100\cdot10^{-6}}=10^{-2}$$

Ответ: 1 см.

 

Задача 7.  Две частицы с массами $m$ и $M$, имеющие одноименные заряды $q$ и $Q$ соответственно, удерживают на расстоянии $L$ друг от друга. Какую максимальную скорость может приобрести частица $m$, если обе отпустить одновременно без начальной скорости?

Частицы приобретут скорости, а следовательно, кинетические энергии. Эти энергии будут равны:

$$E_m=\frac{m \upsilon_m^2}{2}$$

$$E_M=\frac{M \upsilon_M^2}{2}$$

Приобретут они эти энергии за счет потенциальной энергии взаимодействия:

$$E_m+E_M=W=\frac{kqQ}{L}$$

$$\frac{m \upsilon_m^2}{2}+\frac{M \upsilon_M^2}{2}=\frac{kqQ}{L}~~~~~~~(1)$$

По закону сохранения импульса можно записать:

$$ m \upsilon_m= M \upsilon_M$$

Или

$$\upsilon_M=\frac{ m \upsilon_m }{M}$$

Подставим это выражение в (1):

$$\frac{m \upsilon_m^2}{2}+\frac{m^2M \upsilon_m^2}{2M^2}=\frac{kqQ}{L}$$

$$\upsilon_m^2\left(1+\frac{m}{M}\right)=\frac{2kqQ}{mL}$$

$$\upsilon_m^2=\frac{2kqQM}{mL(m+M)}$$

$$\upsilon_m=\sqrt{\frac{2kqQM}{mL(m+M)}}$$

Ответ: $\upsilon_m=\sqrt{\frac{2kqQM}{mL(m+M)}}$

Задача 8. В однородном электрическом поле, силовые линии которого направлены вертикально вверх, вращается в вертикальной плоскости на нити шарик массой $m$ и отрицательным зарядом $q$, подвешенный на нити длиной $L$. Заряд шарика не влияет на напряженность поля. Во сколько раз кинетическая энергия шарика в нижней точке траектории больше, чем в верхней?

В верхней точке траектории скорость такова, что сила натяжения нити минимальна. То есть скорость должна быть такой, чтобы нормальное ускорение могло противостоять и скомпенсировать силу тяжести и силу Кулона:

$$ma=mg+Eq$$

$$a=\frac{\upsilon_1^2}{L}=g+\frac{Eq}{m}$$

Откуда

$$\upsilon_1^2=gL+\frac{EqL}{m}~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Или, если мы хотим узнать кинетическую энергию в верхней точке, то

$$E_{k1}=\frac{m\upsilon_1^2}{2}=\frac{1 }{2}( mgL +EqL) $$

Теперь рассмотрим нижнюю точку. В этой точке скорость шарика другая, обозначим ее $\upsilon_2$. В этой точке у шарика больше гравитационная потенциальная энергия (на $2mgL$), и больше потенциальная энергия взаимодействия с полем (на $2EqL$), поэтому закон сохранения энергии запишется так:

$$ E_{k1}+2mgL+2EqL =E_{k2}$$

Так как из (2)

$$mgl=m\upsilon_1^2-EqL$$

То

$$ E_{k2}= E_{k1}+2(m\upsilon_1^2-EqL )+2EqL= E_{k1}+2m\upsilon_1^2=5E_{k1}$$

Тогда отношение энергий равно 5.

Ответ: 5.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *