Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Потенциал

Потенциал: задачи ЕГЭ – 3

Предлагаю вашему вниманию сложные задачи ЕГЭ, которые могут встретиться под номерами 30 и 31. Надеюсь, подробный разбор укрепит вашу уверенность в том, что и с этими задачами вы справитесь.

Задача 1. Расстояние между точечными зарядами q_1=10 нКл и q_2=-1 нКл равно r=1,1 м. Найдите напряженность поля в точке на прямой, проходящей через заряды, в которой потенциал равен нулю.

Так как заряды разных знаков, то искомая точка располагается, вероятно, между ними. Обозначим за x расстояние от второго заряда до этой искомой точки, тогда от первого заряда до нее расстояние будет r-x. Так как потенциал в этой точке равен нулю, запишем:

    \[\varphi_1-\varphi_2=0\]

    \[\varphi_1=\varphi_2\]

    \[\frac{kq_1}{r-x}=\frac{kq_2}{x}\]

Откуда

    \[q_1 x=q_2 r-q_2 x\]

Отрицательный знак второго заряда уже учтен в уравнении, поэтому подставляем его модуль:

    \[x=\frac{q_2 r}{q_1+q_2}=\frac{1\cdot10^{-9}\cdot1,1}{11\cdot10^{-9}}=0,1\]

Таким образом, искомая точка – в метре от первого и в 10 см от второго заряда. Найдем напряженность поля в ней.

    \[E_x=E_1+E_2\]

    \[E_x=k \left(\frac{q_1}{(r-x)^2}+\frac{q_2}{x^2}\right)= 9\cdot10^9 \left(\frac{10^{-8}}{1^2}+\frac{10^{-9}}{0,1^2}\right)=9\cdot(10+100)=990\]

Ответ: 990 В/м.

Задача 2. В вершинах равностороннего треугольника со стороной a=2 см расположены точечные заряды Q=2 мкКл. Какую работу нужно совершить, чтобы переместить точечный заряд q=5 нКл из середины одной из сторон треугольника в его центр?

Узнаем потенциалы точек: первой – на середине стороны, и второй – в центре. В первой точке (x) сложатся три потенциала: два из трех зарядов располагаются на расстоянии \frac{a}{2}, а третий – на расстоянии h:

    \[\varphi_x=kQ\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{h}\right)\]

Точка y располагается от зарядов на равных расстояниях, равных \frac{2h}{3} – так как медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда:

    \[\varphi_y=\frac {3kQ}{\frac{2h}{3}}\]

Высота правильного треугольника (она же и медиана) вычисляется по формуле:

    \[h=\frac{\sqrt{3}}{2}a\]

Тогда:

    \[\frac{2h}{3}=\frac{a}{\sqrt{3}}\]

    \[\varphi_x=kQ\left(\frac{4}{a}+\frac{2}{a\sqrt{3}}\right)\]

    \[\varphi_y=\frac {3\sqrt{3}kQ}{a}\]

Работа по перемещению заряда тогда будет такой:

    \[A=qU=q(\varphi_x-\varphi_y)=k q Q\left(\frac{4}{a}+\frac{2}{a\sqrt{3}}-\frac {3\sqrt{3}}{a}\right)=9\cdot10^9\cdot2 \cdot 10^{-6}\cdot5\cdot10^{-9} \left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac {3\sqrt{3}}{2}\right)=\]

    \[1,9\cdot10^{-4}\]

Ответ: A=1,9\cdot10^{-4}.

 

Задача 3. Металлический шар радиусом r_1=2 см, заряженный до потенциала \varphi_1=30 В, соединили проволокой с шаром емкостью C_2=3 пФ, на котором находится заряд q_2=-6\cdot10^{-8} Кл. Каков будет заряд на первом шаре после перераспределения зарядов?

На шарах после соединения их проводником заряды будут разными, но потенциалы – одинаковые. Вычислим потенциал второго шара:

    \[\varphi_2=\frac{q_2}{C_2}=\frac{-6\cdot10^{-8}}{3\cdot10^{-12}}=-20000\]

Таким образом, потенциал второго шара – (-20 000) В.

Вычислим радиус этого шара:

    \[C_2=\frac{R_2}{k}\]

    \[R_2=kC_2=9\cdot10^9\cdot3\cdot10^{-12}=27\cdot10^{-3}\]

Вычислим заряд первого шара:

    \[q_1=C_1\varphi_1=\frac{r_1}{k}\varphi_1=\frac{2\cdot10^{-2}}{9\cdot10^9}\cdot 30=\frac{20}{3}\cdot10^{-11}\]

При соединении проводников заряды сложатся и оставшийся нескомпенсированным заряд разделится пропорционально радиусам шаров:

    \[Q=q_1-q_2=10^{-11}(\frac{20}{3}-6000)=-5993\frac{1}{3}\cdot10^{-11}\]

    \[\frac{q_1'}{r_1}=\frac{q_2'}{R_2}\]

    \[q_1'+q_2'=Q\]

Поэтому

    \[\frac{q_1'}{r_1}=\frac{Q-q_1'}{R_2}\]

    \[q_1'(R_2+r_1)=r_1Q\]

    \[q_1'=\frac{ r_1Q }{ R_2+r_1}=\frac{2\cdot10^{-2}\cdot 5993\frac{1}{3}\cdot10^{-11}}{47\cdot10^{-3}}=2,55\cdot10^{-8}\]

Ответ: q_1'=-2,55\cdot10^{-8} Кл.

Задача 4. Протон, обладающий импульсом p=3,27\cdot10^{-22} кг\cdotм/с, влетает в плоский конденсатор длиной 1 см под углом 15^{\circ} к пластинам. Расстояние между пластинами равно d=0,5 см. Определите величину напряжения U на пластинах конденсатора, если при выходе из конденсатора протон будет двигаться параллельно пластинам.

Протон теряет вертикальную составляющую скорости – она становится равной нулю. То есть его импульс изменяется на величину \Delta p=m\upsilon \sin{\alpha}. Чтобы изменить импульс, нужно воздействовать на протон с некоторой силой в течение некоторого времени. Поле конденсатора будет действовать на протон с силой F=qE=eE, а время пролета через конденсатор будет равно

    \[t=\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}\]

Тогда

    \[\Delta p=m\upsilon \sin{\alpha}=eEt=\frac{eEl}{\upsilon \cos{\alpha}}\]

Откуда

    \[E=\frac{ m\upsilon^2 \sin{\alpha}\cos{\alpha}}{el}\]

    \[U=Ed=\frac{ d m\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{2el}=\frac{ d p^2 \sin{2\alpha}}{ 2 m el}=\frac{ 0,5\cdot10^{-2}\cdot(3,27\cdot10^{-22})^2 \cdot0,5}{ 2\cdot1,67\cdot10^{-27}\cdot1,6\cdot10^{-19}\cdot10^{-2}}=\frac{25\cdot3,27^2}{2\cdot1,6\cdot1,67}=50\]

Ответ: 50 В.

Задача 5. Электрон со скоростью \upsilon=10^9 см/с влетает в пространство между пластинами плоского конденсатора через маленькое отверстие в нижней пластине под углом 60^{\circ} к ней. Напряжение между пластинами U=425 В, расстояние между ними d=1 см. На какое максимальное  расстояние H электрон может удалиться от нижней пластины? Отношение заряда электрона к его массе равно \frac{q}{m}=1,76\cdot10^{11} Кл/кг.

На электрон будет воздействовать поле конденсатора, которое будет его тормозить. В итоге вертикальная составляющая скорости электрона должна стать равной 0. Сила, с которой поле воздействует на электрон, равна F=qE=ma. Определим, с каким ускорением тормозит электрон.

    \[a=\frac{\Delta \upsilon}{t}\]

Изменение скорости электрона – \Delta \upsilon =\upsilon \sin{\alpha}, время, за которое электрон снизил свою вертикальную составляющую скорости до нуля, равно t=\frac{l}{ \upsilon \cos{\alpha}}. Здесь \upsilon \cos{\alpha} – горизонтальная составляющая скорости, а l – расстояние, пройденное электроном по горизонтали.  Тогда

    \[a=\frac{\Delta \upsilon}{t}=\frac{\upsilon \sin{\alpha} \upsilon \cos{\alpha}}{l}=\frac{\upsilon^2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}}{l}\]

Определим длину пройденного по горизонтали электроном расстояния из формулы:

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{2H}{l}\]

    \[l=\frac{2H}{\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{2H\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\]

Подставим в уравнение для ускорения:

    \[a=\frac{\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{2H}\]

Тогда

    \[qE=\frac{m\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{2H}\]

    \[H=\frac{m\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{qE}=\frac{m\cdot d\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{2qU}=\frac{10^{-2}\cdot10^{14}\cdot3}{8\cdot1,76\cdot10^{11}\cdot425}=5\cdot10^{-3}\]

Ответ: 0,5 см

Задача решается проще, если приравнять работу поля и убыль кинетической энергии электрона:

    \[qEH=\Delta E_k=\frac{ m\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{2}\]

    \[H=\frac{m\cdot d\upsilon^2 \sin^2{\alpha}}{2qU}\]

Задача 6.  Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора с высоты H=0,5 см свободно падает незаряженный металлический шарик массой m=1 г. На какую высоту h после абсолютно упругого удара о нижнюю пластину поднимется шарик, если в момент удара на него переходит заряд q=1 мк Кл? Разность потенциалов между пластинами конденсатора равна U=100 В, расстояние между ними d=2 см.

У шарика изначально есть запас потенциальной энергии m g h. После отскока у него будет запас потенциальной энергии гравитационной, и запас потенциальной энергии взаимодействия с полем:

    \[mgh=mgh'+Eqh'\]

Откуда

    \[h'=\frac{mgh}{mg-Eq}=\frac{mgh}{mg-\frac{U}{d}q}=\frac{mghd}{mgd-Uq}=\frac{10^{-3}\cdot10\cdot0,5\cdot10^{-2}\cdot2\cdot10^{-2}}{10^{-3}\cdot10\cdot2\cdot10^{-2}-100\cdot10^{-6}}=10^{-2}\]

Ответ: 1 см.

 

Задача 7.  Две частицы с массами m и M, имеющие одноименные заряды q и Q соответственно, удерживают на расстоянии L друг от друга. Какую максимальную скорость может приобрести частица m, если обе отпустить одновременно без начальной скорости?

Частицы приобретут скорости, а следовательно, кинетические энергии. Эти энергии будут равны:

    \[E_m=\frac{m \upsilon_m^2}{2}\]

    \[E_M=\frac{M \upsilon_M^2}{2}\]

Приобретут они эти энергии за счет потенциальной энергии взаимодействия:

    \[E_m+E_M=W=\frac{kqQ}{L}\]

    \[\frac{m \upsilon_m^2}{2}+\frac{M \upsilon_M^2}{2}=\frac{kqQ}{L}~~~~~~~(1)\]

По закону сохранения импульса можно записать:

    \[m \upsilon_m= M \upsilon_M\]

Или

    \[\upsilon_M=\frac{ m \upsilon_m }{M}\]

Подставим это выражение в (1):

    \[\frac{m \upsilon_m^2}{2}+\frac{m^2M \upsilon_m^2}{2M^2}=\frac{kqQ}{L}\]

    \[\upsilon_m^2\left(1+\frac{m}{M}\right)=\frac{2kqQ}{mL}\]

    \[\upsilon_m^2=\frac{2kqQM}{mL(m+M)}\]

    \[\upsilon_m=\sqrt{\frac{2kqQM}{mL(m+M)}}\]

Ответ: \upsilon_m=\sqrt{\frac{2kqQM}{mL(m+M)}}

Задача 8. В однородном электрическом поле, силовые линии которого направлены вертикально вверх, вращается в вертикальной плоскости на нити шарик массой m и отрицательным зарядом q, подвешенный на нити длиной L. Заряд шарика не влияет на напряженность поля. Во сколько раз кинетическая энергия шарика в нижней точке траектории больше, чем в верхней?

В верхней точке траектории скорость такова, что сила натяжения нити минимальна. То есть скорость должна быть такой, чтобы нормальное ускорение могло противостоять и скомпенсировать силу тяжести и силу Кулона:

    \[ma=mg+Eq\]

    \[a=\frac{\upsilon_1^2}{L}=g+\frac{Eq}{m}\]

Откуда

    \[\upsilon_1^2=gL+\frac{EqL}{m}~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Или, если мы хотим узнать кинетическую энергию в верхней точке, то

    \[E_{k1}=\frac{m\upsilon_1^2}{2}=\frac{1 }{2}( mgL +EqL)\]

Теперь рассмотрим нижнюю точку. В этой точке скорость шарика другая, обозначим ее \upsilon_2. В этой точке у шарика больше гравитационная потенциальная энергия (на 2mgL), и больше потенциальная энергия взаимодействия с полем (на 2EqL), поэтому закон сохранения энергии запишется так:

    \[E_{k1}+2mgL+2EqL =E_{k2}\]

Так как из (2)

    \[mgl=m\upsilon_1^2-EqL\]

То

    \[E_{k2}= E_{k1}+2(m\upsilon_1^2-EqL )+2EqL= E_{k1}+2m\upsilon_1^2=5E_{k1}\]

Тогда отношение энергий равно 5.

Ответ: 5.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *