Потенциал: задачи ЕГЭ - 3

Предлагаю вашему вниманию сложные задачи ЕГЭ, которые могут встретиться под номерами 30 и 31. Надеюсь, подробный разбор укрепит вашу уверенность в том, что и с этими задачами вы справитесь.

Задача 1.

Расстояние между точечными зарядами нКл и нКл равно м. Найдите напряженность поля в точке на прямой, проходящей через заряды, в которой потенциал равен нулю.

Так как заряды разных знаков, то искомая точка располагается, вероятно, между ними. Обозначим за расстояние от второго заряда до этой искомой точки, тогда от первого заряда до нее расстояние будет . Так как потенциал в этой точке равен нулю, запишем:

Откуда

Отрицательный знак второго заряда уже учтен в уравнении, поэтому подставляем его модуль:

Таким образом, искомая точка – в метре от первого и в 10 см от второго заряда. Найдем напряженность поля в ней.

Ответ: 990 В/м.

Задача 2.

В вершинах равностороннего треугольника со стороной см расположены точечные заряды мкКл. Какую работу нужно совершить, чтобы переместить точечный заряд нКл из середины одной из сторон треугольника в его центр?

Узнаем потенциалы точек: первой – на середине стороны, и второй – в центре. В первой точке () сложатся три потенциала: два из трех зарядов располагаются на расстоянии , а третий – на расстоянии :

Точка располагается от зарядов на равных расстояниях, равных - так как медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда:

Высота правильного треугольника (она же и медиана) вычисляется по формуле:

Тогда:

Работа по перемещению заряда тогда будет такой:

Ответ: .

 

Задача 3.

Металлический шар радиусом см, заряженный до потенциала В, соединили проволокой с шаром емкостью пФ, на котором находится заряд Кл. Каков будет заряд на первом шаре после перераспределения зарядов?

На шарах после соединения их проводником заряды будут разными, но потенциалы – одинаковые. Вычислим потенциал второго шара:

Таким образом, потенциал второго шара – (-20 000) В.

Вычислим радиус этого шара:

Вычислим заряд первого шара:

При соединении проводников заряды сложатся и оставшийся нескомпенсированным заряд разделится пропорционально радиусам шаров:

Поэтому

Ответ: Кл.

Задача 4.

Протон, обладающий импульсом кгм/с, влетает в плоский конденсатор длиной 1 см под углом к пластинам. Расстояние между пластинами равно см. Определите величину напряжения на пластинах конденсатора, если при выходе из конденсатора протон будет двигаться параллельно пластинам.

Протон теряет вертикальную составляющую скорости – она становится равной нулю. То есть его импульс изменяется на величину . Чтобы изменить импульс, нужно воздействовать на протон с некоторой силой в течение некоторого времени. Поле конденсатора будет действовать на протон с силой , а время пролета через конденсатор будет равно

Тогда

Откуда

Ответ: 50 В.

Задача 5.

Электрон со скоростью см/с влетает в пространство между пластинами плоского конденсатора через маленькое отверстие в нижней пластине под углом к ней. Напряжение между пластинами В, расстояние между ними см. На какое максимальное  расстояние электрон может удалиться от нижней пластины? Отношение заряда электрона к его массе равно Кл/кг.

На электрон будет воздействовать поле конденсатора, которое будет его тормозить. В итоге вертикальная составляющая скорости электрона должна стать равной 0. Сила, с которой поле воздействует на электрон, равна . Определим, с каким ускорением тормозит электрон.

Изменение скорости электрона - , время, за которое электрон снизил свою вертикальную составляющую скорости до нуля, равно . Здесь - горизонтальная составляющая скорости, а - расстояние, пройденное электроном по горизонтали.  Тогда

Определим длину пройденного по горизонтали электроном расстояния из формулы:

Подставим в уравнение для ускорения:

Тогда

Ответ: 0,5 см

Задача решается проще, если приравнять работу поля и убыль кинетической энергии электрона:

Задача 6.

  Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора с высоты см свободно падает незаряженный металлический шарик массой г. На какую высоту после абсолютно упругого удара о нижнюю пластину поднимется шарик, если в момент удара на него переходит заряд мк Кл? Разность потенциалов между пластинами конденсатора равна В, расстояние между ними см.

У шарика изначально есть запас потенциальной энергии . После отскока у него будет запас потенциальной энергии гравитационной, и запас потенциальной энергии взаимодействия с полем:

Откуда

Ответ: 1 см.

 

Задача 7.

 Две частицы с массами и , имеющие одноименные заряды и соответственно, удерживают на расстоянии друг от друга. Какую максимальную скорость может приобрести частица , если обе отпустить одновременно без начальной скорости?

Частицы приобретут скорости, а следовательно, кинетические энергии. Эти энергии будут равны:

Приобретут они эти энергии за счет потенциальной энергии взаимодействия:

По закону сохранения импульса можно записать:

Или

Подставим это выражение в (1):

Ответ:

Задача 8.

В однородном электрическом поле, силовые линии которого направлены вертикально вверх, вращается в вертикальной плоскости на нити шарик массой и отрицательным зарядом , подвешенный на нити длиной . Заряд шарика не влияет на напряженность поля. Во сколько раз кинетическая энергия шарика в нижней точке траектории больше, чем в верхней?

В верхней точке траектории скорость такова, что сила натяжения нити минимальна. То есть скорость должна быть такой, чтобы нормальное ускорение могло противостоять и скомпенсировать силу тяжести и силу Кулона:

Откуда

Или, если мы хотим узнать кинетическую энергию в верхней точке, то

Теперь рассмотрим нижнюю точку. В этой точке скорость шарика другая, обозначим ее . В этой точке у шарика больше гравитационная потенциальная энергия (на ), и больше потенциальная энергия взаимодействия с полем (на ), поэтому закон сохранения энергии запишется так:

Так как из (2)

То

Тогда отношение энергий равно 5.

Ответ: 5.