Здравствуйте, друзья! В этой статье предложено рассмотреть два случая построения сечения шестиугольной пирамиды. Пирамида всегда “рассекается” сложнее, чем призма, а чем больше у нее углов в основании, тем труднее. В первой задаче я постаралась пользоваться методом следов, а во второй – преимущественно использован метод внутреннего проецирования. Так как чертежи насыщены построениями, я использовала разные цвета, и не всегда соблюдала правило “невидимое – пунктиром”. Постараюсь сопроводить картинки подробным описанием.
Задача 1. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Задача 1. Дано
Шаг 1. Точки и
лежат в плоскости основания пирамиды, что для нас очень удобно. Проведем прямую
, она пересечется с лучом
плоскости основания. За счет принадлежности обеим прямым –
и
точка
принадлежит как плоскости грани
, так и секущей плоскости.

Задача 1. Шаг 1.
Шаг 2. Через точки и
можем проводить прямую, она пересечет ребро
в точке
.

Задача 1. Шаг 2.
Шаг 3. Так как прямая , также принадлежащая плоскости основания, не параллельна
, то она пересечет эту прямую, и таким образом, можно было бы получить точку плоскости грани
. Но пересечение этих прямых – за границами чертежа. Где невозможно применение метода следов, на помощь приходит метод внутреннего проецирования. Проведем прямую
и ее проекцию в плоскости основания –
.

Задача 1. Шаг 3.
Шаг 4. Проведем проекцию будущей прямой секущей плоскости – (просто соединим вершины).
пересечет
в точке
,
– в точке
. Из точки
поднимемся вверх до секущей плоскости – построим перпендикуляр к плоскости основания
.
– точка прокола перпендикуляром секущей плоскости.

Задача 1. Шаг 4.
Шаг 5. Точка принадлежит секущей плоскости, точка
– также. Проводим прямую
. Прямая
пересечет ребро
в точке
(поздно было переделывать картинку, пусть уж будет вторая точка
). Она принадлежит обеим плоскостям – и
, и
.

Задача 1. Шаг 5.
Шаг 6. Вернемся к методу следов. Проводим прямую , и ищем ее пересечение с
. Это точка
. Она лежит в плоскости грани
.

Задача 1. Шаг 6.
Шаг 7. Проводим , эта прямая пересечет ребро
в точке
.

Задача 1. Шаг 7.
Шаг 8. Соединим полученные точки отрезками.

Задача 1. Шаг 8.
Окончательный вид сечения с противоположной стороны.

Окончательный вид сечения.
Задача 2. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Задача 2. Дано
Задача 2. Шаг 1. Проводим диагонали основания пирамиды ,
,
. Из точек
и
секущей плоскости опускаем перпендикуляры к основанию, определяем точки
и
, в которых эти перпендикуляры достигнут основания пирамиды.

Задача 2. Шаг 1.
Шаг 2. Проводим прямые и
секущей плоскости и их проекции
и
. Проекцией прямой
будет прямая
. Определяем точку пересечения
и
, и из этой точки поднимаем перпендикуляр до пересечения с
– получили точку
.

Задача 2. Шаг 2.
Шаг 3. Из точки , которая является пересечением диагонали
и проекции
, поднимаем перпендикуляр до пересечения с
– получаем точку
. Из точки
, которая является пересечением диагонали
и проекции
, поднимаем перпендикуляр до пересечения с
– получаем точку
. Через точки
и
проведем прямую, которая пересечет ребро пирамиды
в точке
.

Задача 2. Шаг 3.
Шаг 4. Через точки и
также проведем прямую. Определим место пересечения ею ребра
– точку
. Осталось найти две точки – на ребре
и на ребре
.

Задача 2. Шаг 4.
Шаг 5. Проведем прямую – продолжение ребра основания. Также через точки
и
проведем прямую, принадлежащую грани
. Найдем место пересечения прямых
и
– точку
.

Задача 2. Шаг 5.
Шаг 6. Через точки и
секущей плоскости, лежащие в основании, проводим прямую, которая пересечет ребро
в точке
.

Задача 2. Шаг 6.
Шаг 7. Прямая пересечет продолжение диагональ
в точке
. Проведем прямую через точки
и
, чтобы определить точку пересечения этой прямой с ребром
– точку
.

Задача 2. Шаг 7.
Шаг 8. Соединяем все точки отрезками.

Задача 2. Шаг 8.
Окончательный вид сечения:

Окончательный вид
Понял. Спасибо большое за ответ и разбор этого...
[latexpage] Это же килограммы. Граммов будет $70\cdot10^{-3}$, или 70...
Добрый день! В задании 10 получилось такое же число, но не понимаю почему в ответе...
По-моему, там все...
Ошибочка в расчетах в 5 задаче. Ответ должен быть...