Построение сечения шестиугольной пирамиды

Здравствуйте, друзья! В этой статье предложено рассмотреть два случая построения сечения шестиугольной пирамиды. Пирамида всегда “рассекается” сложнее, чем призма, а чем больше у нее углов в основании, тем труднее. В первой задаче я постаралась пользоваться методом следов, а во второй  – преимущественно использован метод внутреннего проецирования. Так как чертежи насыщены построениями, я использовала разные цвета, и не всегда соблюдала правило “невидимое – пунктиром”. Постараюсь сопроводить картинки подробным описанием.

Задача 1. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Задача 1. Дано

Шаг 1. Точки и лежат в плоскости основания пирамиды, что для нас очень удобно. Проведем прямую , она пересечется с лучом плоскости основания. За счет принадлежности обеим прямым – и точка принадлежит как плоскости грани , так и секущей плоскости.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Через точки и можем проводить прямую, она пересечет ребро в точке .

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Так как прямая , также принадлежащая плоскости основания, не параллельна , то она пересечет эту прямую, и таким образом, можно было бы получить точку плоскости грани . Но пересечение этих прямых – за границами чертежа. Где невозможно применение метода следов, на помощь приходит метод внутреннего проецирования. Проведем прямую и ее проекцию в плоскости основания – .

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Проведем проекцию будущей прямой секущей плоскости – (просто соединим вершины). пересечет в точке , – в точке . Из точки поднимемся вверх до секущей плоскости  – построим перпендикуляр к плоскости основания . – точка прокола перпендикуляром секущей плоскости.

Задача 1. Шаг 4.

Шаг 5. Точка принадлежит секущей плоскости, точка – также. Проводим прямую . Прямая пересечет ребро в точке (поздно было переделывать картинку, пусть уж будет вторая точка ). Она принадлежит обеим плоскостям – и , и .

Задача 1. Шаг 5.

Шаг 6. Вернемся к методу следов. Проводим прямую , и ищем ее пересечение с . Это точка . Она лежит в плоскости грани .

Задача 1. Шаг 6.

Шаг 7. Проводим , эта прямая пересечет ребро в точке .

Задача 1. Шаг 7.

Шаг 8. Соединим полученные точки отрезками.

Задача 1. Шаг 8.

Окончательный вид сечения с противоположной стороны.

Окончательный вид сечения.

Задача 2. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Задача 2. Дано

Задача 2. Шаг 1. Проводим диагонали основания пирамиды , , . Из точек и секущей плоскости опускаем перпендикуляры к основанию, определяем точки и , в которых эти перпендикуляры достигнут основания пирамиды.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямые и секущей плоскости и их проекции и . Проекцией прямой будет прямая . Определяем точку пересечения и , и из этой точки поднимаем перпендикуляр до пересечения с – получили точку .

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Из точки , которая является пересечением диагонали и проекции , поднимаем перпендикуляр до пересечения с – получаем точку . Из точки , которая является пересечением диагонали и проекции , поднимаем перпендикуляр до пересечения с – получаем точку . Через точки и проведем прямую, которая пересечет ребро пирамиды в точке .

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Через точки и также проведем прямую. Определим место пересечения ею ребра – точку . Осталось найти две точки – на ребре  и на ребре .

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем прямую – продолжение ребра основания. Также через точки и проведем прямую, принадлежащую грани . Найдем место пересечения прямых и – точку .

Задача 2. Шаг 5.

Шаг 6. Через точки и секущей плоскости, лежащие в основании, проводим прямую, которая пересечет ребро в точке .

Задача 2. Шаг 6.

Шаг 7. Прямая   пересечет продолжение диагональ  в точке . Проведем прямую через точки и , чтобы определить точку пересечения этой прямой с ребром – точку .

Задача 2. Шаг 7.

Шаг 8. Соединяем все точки отрезками.

Задача 2. Шаг 8.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид