Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Построение сечения шестиугольной пирамиды

Здравствуйте, друзья! В этой статье предложено рассмотреть два случая построения сечения шестиугольной пирамиды. Пирамида всегда “рассекается” сложнее, чем призма, а чем больше у нее углов в основании, тем труднее. В первой задаче я постаралась пользоваться методом следов, а во второй  – преимущественно использован метод внутреннего проецирования. Так как чертежи насыщены построениями, я использовала разные цвета, и не всегда соблюдала правило “невидимое – пунктиром”. Постараюсь сопроводить картинки подробным описанием.

Задача 1. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Задача 1. Дано

Шаг 1. Точки M и L лежат в плоскости основания пирамиды, что для нас очень удобно. Проведем прямую ML, она пересечется с лучом FA плоскости основания. За счет принадлежности обеим прямым – LM и FA точка O принадлежит как плоскости грани SAF, так и секущей плоскости.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Через точки O и N можем проводить прямую, она пересечет ребро SA в точке J.

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Так как прямая FE, также принадлежащая плоскости основания, не параллельна ML, то она пересечет эту прямую, и таким образом, можно было бы получить точку плоскости грани FES. Но пересечение этих прямых – за границами чертежа. Где невозможно применение метода следов, на помощь приходит метод внутреннего проецирования. Проведем прямую NL и ее проекцию в плоскости основания – FL.

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Проведем проекцию будущей прямой секущей плоскости – BE (просто соединим вершины). BE пересечет LF в точке I, ML – в точке P. Из точки I поднимемся вверх до секущей плоскости  – построим перпендикуляр к плоскости основания IR. R – точка прокола перпендикуляром секущей плоскости.

Задача 1. Шаг 4.

Шаг 5. Точка P принадлежит секущей плоскости, точка R – также. Проводим прямую PR. Прямая PR пересечет ребро SE в точке S (поздно было переделывать картинку, пусть уж будет вторая точка S). Она принадлежит обеим плоскостям – и SEF, и ESD.

Задача 1. Шаг 5.

Шаг 6. Вернемся к методу следов. Проводим прямую ED, и ищем ее пересечение с ML. Это точка K. Она лежит в плоскости грани ESD.

Задача 1. Шаг 6.

Шаг 7. Проводим SK, эта прямая пересечет ребро SD в точке Q.

Задача 1. Шаг 7.

Шаг 8. Соединим полученные точки отрезками.

Задача 1. Шаг 8.

Окончательный вид сечения с противоположной стороны.

Окончательный вид сечения.

 

Задача 2. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Задача 2. Дано

Задача 2. Шаг 1. Проводим диагонали основания пирамиды CF, BE, AD. Из точек L и N секущей плоскости опускаем перпендикуляры к основанию, определяем точки K и H, в которых эти перпендикуляры достигнут основания пирамиды.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямые LM и MN секущей плоскости и их проекции MK и MH. Проекцией прямой LN будет прямая KH. Определяем точку пересечения KH и DA, и из этой точки поднимаем перпендикуляр до пересечения с LN – получили точку I.

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Из точки Z, которая является пересечением диагонали CF и проекции KM, поднимаем перпендикуляр до пересечения с LM – получаем точку Y. Из точки J, которая является пересечением диагонали BE и проекции MH, поднимаем перпендикуляр до пересечения с MN – получаем точку P. Через точки L и P проведем прямую, которая пересечет ребро пирамиды SB в точке Q.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Через точки N и Y также проведем прямую. Определим место пересечения ею ребра SF – точку R. Осталось найти две точки – на ребре FA  и на ребре SD.

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем прямую CB – продолжение ребра основания. Также через точки N и Q проведем прямую, принадлежащую грани SCB. Найдем место пересечения прямых NQ и CB – точку P_1.

Задача 2. Шаг 5.

Шаг 6. Через точки P_1 и M секущей плоскости, лежащие в основании, проводим прямую, которая пересечет ребро FA в точке Q_1.

Задача 2. Шаг 6.

Шаг 7. Прямая  P_1M пересечет продолжение диагональ DA в точке R_1. Проведем прямую через точки R_1 и I, чтобы определить точку пересечения этой прямой с ребром SD – точку T_1.

 

Задача 2. Шаг 7.

Шаг 8. Соединяем все точки отрезками.

Задача 2. Шаг 8.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *