Построение области значений уравнения

В этой записи мы постараемся найти область значений уравнения:

Для этого нам потребуется вспомнить, как раскрывается модуль. Сначала разберемся с первым модулем:

Этот модуль “разобьет” координатную плоскость на две полуплоскости: справа и слева от оси у. Второй модуль:

Этот модуль разбивает координатную плоскость на две, лежащие сверху и снизу от оси х. И, наконец, третий: 

Третий модуль задает прямую, которая пройдет через начало координат и также разобьет плоскость на две полуплоскости, одна из которых лежит выше прямой у=1.5х, а другая – ниже.  Таким образом, координатная плоскость оказывается разбитой на 6 областей, которые показаны цветом на рисунке:

В каждой из этих областей необходимо раскрыть модули и записать получившиеся функции. Давайте это сделаем:

В первой области положительны и х, и у, и мы находимся выше прямой у=1.5х, поэтому модули раскроются так:

Во второй области  х и у положительны, но мы перешли в область под прямой  у=1.5х, поэтому при раскрытии третьего модуля  здесь надо поставить знак минус перед подмодульным выражением:

В третьей области координаты х положительны, а перед вторым и третьим подмодульными выражениями ставим знак минус при раскрытии модуля:

Далее поступаем точно так же, и раскрываем модули во всех шести областях:

Итак, получены 6 выражений, и каждое соответствует своей цветной области. Значит, в каждой области мы построим прямую по “своему” уравнению. Полученные прямые также выделены цветом. Они существуют каждая в своей области:

Итак, получился шестиугольник, все точки сторон которого удовлетворяют исходному уравнению – решения лежат на цветных линиях. Если записать неравенство:

то область значений данного неравенства будет лежать не только на границах, но и внутри полученной фигуры: