Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Законы Кирхгофа

Постоянный ток: законы Кирхгофа

При решении задач на законы Кирхгофа лучше придерживаться определенного алгоритма: 1. определить число неизвестных токов – столько уравнений должно быть в системе ; 2. определить количество узлов – уравнений по первому закону тогда нужно составить на одно меньше; 3. проложить контуры и записать для них уравнения по второму закону. Кто хочет разобраться досконально – есть видео.

Задача 1. Два элемента с E_1 = 2 В и E_2 = 1 В соединены по схеме, показанной на рисунке . Сопротивление R= 0,5 Ом. Внутреннее сопротивление элементов одинаково r_1 =r_2 = 1 Ом. Определить силу тока, идущего через сопротивление R.

К задаче 1

Обозначим токи в ветвях произвольно. По первому закону Кирхгофа сумма токов, сходящихся в узле, равна 0:

    \[I_1+I_2-I_R=0\]

Будем обходить верхний контур против часовой стрелки. По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС:

    \[U_R+U_{r1}=E_1\]

    \[I_RR+I_1r_1=E_1\]

Будем обходить второй контур по часовой стрелке:

    \[U_R+U_{r2}=E_2\]

    \[I_RR+I_2r_2=E_2\]

Неизвестных токов – три, мы составили три уравнения. Этого достаточно, чтобы найти токи:

    \[\begin{Bmatrix}{ I_1+I_2-I_R=0}\\{ I_RR+I_1r_1=E_1}\\{ I_RR+I_2r_2=E_2}\end{matrix}\]

Выразим I_1 из второго уравнения, а I_2 – из третьего:

    \[I_1=\frac{ E_1- I_RR }{ r_1}\]

    \[I_2=\frac{ E_2- I_RR }{ r_2}\]

Подставим эти выражения в первое уравнение:

    \[\frac{ E_1- I_RR }{ r_1}+\frac{ E_2- I_RR }{ r_2}-I_R=0\]

    \[\frac{ E_1}{r_1}-\frac{ I_RR }{ r_1}+\frac{ E_2}{r_2}-\frac{ I_RR }{ r_2}-I_R=0\]

    \[\frac{ E_1}{r_1}+\frac{ E_2}{r_2} = \frac{ I_RR }{ r_1}+\frac{ I_RR }{ r_2}+I_R\]

    \[I_R=\frac{\frac{ E_1}{r_1}+\frac{ E_2}{r_2}}{\frac{ R }{ r_1}+\frac{ R }{ r_2}+1 }\]

    \[I_R=\frac{\frac{ 2}{1}+\frac{ 1}{1}}{\frac{ 0,5 }{ 1}+\frac{ 0,5 }{ 1}+1 }=1,5\]

Тогда токи I_1 и I_2

    \[I_1=\frac{ E_1- I_RR }{ r_1}=\frac{ 2- 1,5\cdot0,5 }{1}=1,25\]

    \[I_2=\frac{ E_2- I_RR }{ r_2}=\frac{ 1- 1,5\cdot0,5 }{ 1}=0,25\]

Ответ: I_R=1,5 A, I_1=1,25 A, I_2=0,25 A.
Задача 2. Найти силу тока на всех участках цепи‚ если E_1=2 В, E_2=4 В‚ E_3=6В, R_1=4 Ом‚ R_2=6 Ом‚ R_3=8 Ом‚ r_1=0‚5 Ом‚ r_2 = 1 Ом, R_3 = 1,5 Ом.

К задаче 2

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас два узла, поэтому уравнение будет одно.  Затем, обходя контуры, составим два уравнения по второму закону: их нужно составить два, так как неизвестных токов в цепи три.

    \[\begin{Bmatrix I_1+I_2+I_3=0}\\{ I_1(R_1+r_1)-I_2(R_2+r_2)=E_1-E_2}\\{ I_2(R_2+r_2)-I_3(R_3+r_3)=E_2-E_3}\end{matrix}\]

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  I_1=-0,33, I_2=0,07, I_3=0,263.

Ответ: I_1=-0,33, I_2=0,07, I_3=0,263.

 

Задача 3. В схеме, показанной на рисунке, найти силу тока через гальванометр, если E_1 = 1,5 В, R_1 = 3 кОм; E_2 = 3 В, R_2 = 6 кОм.  Сопротивлением гальванометра пренебречь.

К задаче 3

Нам неизвестно сопротивление гальванометра, запишем для напряжения на нем два уравнения:

    \[U=E_1-I_1R_1\]

    \[U=E_2-I_2R_2\]

Приравнивая, получим

    \[E_1-I_1R_1= E_2-I_2R_2\]

Заметим, что, если  I_1=I_2, то равенство будет выполнено. Таким образом, ток через гальванометр не течет.

Ответ: I=0.

Задача 4. В цепи  E_1=65 В‚ E_2= 39В, R_1=20 Ом, R_2= R_З= R_4=R_5=10  Ом. Найти распределение токов в цепи. Внутреннее сопротивление источников тока не учитывать.

К задаче 4

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас три узла, поэтому уравнений будет два.  Затем, обходя контуры, составим три уравнения по второму закону: их нужно составить именно три, так как неизвестных токов в цепи шесть.

    \[\begin{Bmatrix}{ I_1+I_6+I_5=0}\\{ -I_3-I_1+I_2=0}\\{- I_2-I_4-I_5=0}\\{ I_1R_1-I_3R_3=-E_1}\\{ I_2R_2+I_3R_3-I_4R_4=0}\\{ I_4R_4-I_5R_5=E_1-E_2}\end{matrix}\]

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  I_1=-2,3, I_2=-0,4, I_3=1,9, I_4=1,5, I_5=-1,1, I_6=3,4.

Ответ: I_1=-2,3, I_2=-0,4, I_3=1,9, I_4=1,5, I_5=-1,1, I_6=3,4.
Задача 5. Какую силу тока покажет амперметр в схеме, изображенной на рисунке? Сопротивлением амперметра пренебречь.

К задаче 5

Обозначим токи в цепи произвольно. Обозначим направления обхода контуров. Запишем систему уравнений: составим три уравнения по первому закону (на одно меньше, чем количество узлов) и три уравнения по второму закону, так как неизвестных токов шесть и система должна состоять из шести уравнений.

    \[\begin{Bmatrix}{ -I_4+I_5+I_6=0}\\{ I_2-I_3-I_5=0}\\{ I_1-I_2-I_6=0}\\{ I_2\cdot6r+I_5\cdot6r =0}\\{ I_4\cdot6r +I_5\cdot6r -I_3\cdot6r =0}\\{ I_2\cdot6r +I_3\cdot6r +I_1\cdot2r =-E}\end{matrix}\]

Чтобы воспользоваться калькулятором, я задала r=1 Ом и E=1 В.  В итоге получилось: I_1=-\frac{5E}{28r}, I_2=-\frac{E}{28r}, I_3=-\frac{E}{14r}, I_4=-\frac{3E}{28r}, I_5=\frac{E}{28r}, I_6=-\frac{E}{7r}.

Минусы свидетельствуют о противоположном направлении тока в этой ветви тому, что мы нарисовали.

Комментариев - 2

  • Бонифаций
    |

    В решении второй задачи спряталась половина формулы!

    Ответить
    • Анна
      |

      Благодарю. Исправила.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *