Постоянный ток: законы Кирхгофа

[latexpage]

При решении задач на законы Кирхгофа лучше придерживаться определенного алгоритма: 1. определить число неизвестных токов – столько уравнений должно быть в системе ; 2. определить количество узлов – уравнений по первому закону тогда нужно составить на одно меньше; 3. проложить контуры и записать для них уравнения по второму закону. Кто хочет разобраться досконально – есть видео.

Задача 1. Два элемента с $E_1 = 2$ В и $E_2 = 1$ В соединены по схеме, показанной на рисунке . Сопротивление $R= 0,5$ Ом. Внутреннее сопротивление элементов одинаково $r_1 =r_2 = 1$ Ом. Определить силу тока, идущего через сопротивление $R$.

К задаче 1

Обозначим токи в ветвях произвольно. По первому закону Кирхгофа сумма токов, сходящихся в узле, равна 0:

$$I_1+I_2-I_R=0$$

Будем обходить верхний контур против часовой стрелки. По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС:

$$U_R+U_{r1}=E_1$$

$$I_RR+I_1r_1=E_1$$

Будем обходить второй контур по часовой стрелке:

$$U_R+U_{r2}=E_2$$

$$I_RR+I_2r_2=E_2$$

Неизвестных токов – три, мы составили три уравнения. Этого достаточно, чтобы найти токи:

$$\begin{Bmatrix}{ I_1+I_2-I_R=0}\\{ I_RR+I_1r_1=E_1}\\{ I_RR+I_2r_2=E_2}\end{matrix}$$

Выразим $I_1$ из второго уравнения, а $I_2$ – из третьего:

$$I_1=\frac{ E_1- I_RR }{ r_1}$$

$$I_2=\frac{ E_2- I_RR }{ r_2}$$

Подставим эти выражения в первое уравнение:

$$\frac{ E_1- I_RR }{ r_1}+\frac{ E_2- I_RR }{ r_2}-I_R=0$$

$$\frac{ E_1}{r_1}-\frac{ I_RR }{ r_1}+\frac{ E_2}{r_2}-\frac{ I_RR }{ r_2}-I_R=0$$

$$\frac{ E_1}{r_1}+\frac{ E_2}{r_2} = \frac{ I_RR }{ r_1}+\frac{ I_RR }{ r_2}+I_R $$

$$I_R=\frac{\frac{ E_1}{r_1}+\frac{ E_2}{r_2}}{\frac{ R }{ r_1}+\frac{ R }{ r_2}+1 }$$

$$I_R=\frac{\frac{ 2}{1}+\frac{ 1}{1}}{\frac{ 0,5 }{ 1}+\frac{ 0,5 }{ 1}+1 }=1,5$$

Тогда токи $I_1$ и $I_2$

$$I_1=\frac{ E_1- I_RR }{ r_1}=\frac{ 2- 1,5\cdot0,5 }{1}=1,25$$

$$I_2=\frac{ E_2- I_RR }{ r_2}=\frac{ 1- 1,5\cdot0,5 }{ 1}=0,25$$

Ответ: $I_R=1,5$ A, $I_1=1,25$ A, $I_2=0,25$ A.
Задача 2. Найти силу тока на всех участках цепи‚ если $E_1=2$ В, $E_2=4$ В‚ $E_3=6$В, $R_1=4$ Ом‚ $R_2=6$ Ом‚ $R_3=8$ Ом‚ $r_1=0‚5$ Ом‚ $r_2 = 1$ Ом, $R_3 = 1,5$ Ом.

К задаче 2

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас два узла, поэтому уравнение будет одно.

Затем, обходя контуры, составим два уравнения по второму закону: их нужно составить два, так как неизвестных токов в цепи три.

$$\begin{Bmatrix}{ I_1+I_2+I_3=0}\\{ I_1(R_1+r_1)-I_2(R_2+r_2)=E_1-E_2}\\{ I_2(R_2+r_2)-I_3(R_3+r_3)=E_2-E_3}\end{matrix}$$

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  $I_1=-0,33$, $I_2=0,07$, $I_3=0,263$.

Ответ: $I_1=-0,33$, $I_2=0,07$, $I_3=0,263$.

Задача 3. В схеме, показанной на рисунке, найти силу тока через гальванометр, если $E_1 = 1,5$ В, $R_1 = 3$ кОм; $E_2 = 3$ В, $R_2 = 6$ кОм.  Сопротивлением гальванометра пренебречь.

К задаче 3

Нам неизвестно сопротивление гальванометра, запишем для напряжения на нем два уравнения:

$$U=E_1-I_1R_1$$

$$U=E_2-I_2R_2$$

Приравнивая, получим

$$ E_1-I_1R_1= E_2-I_2R_2$$

Заметим, что, если  $I_1=I_2$, то равенство будет выполнено. Таким образом, ток через гальванометр не течет.

Ответ: $I=0$.

Задача 4. В цепи  $E_1=65$ В‚ $E_2= 39$В, $R_1=20$ Ом, $R_2= R_З= R_4=R_5=10$  Ом. Найти распределение токов в цепи. Внутреннее сопротивление источников тока не учитывать.

К задаче 4

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас три узла, поэтому уравнений будет два.  Затем, обходя контуры, составим три уравнения по второму закону: их нужно составить именно три, так как неизвестных токов в цепи шесть.

$$\begin{Bmatrix}{ I_1+I_6+I_5=0}\\{ -I_3-I_1+I_2=0}\\{- I_2-I_4-I_5=0}\\{ I_1R_1-I_3R_3=-E_1}\\{ I_2R_2+I_3R_3-I_4R_4=0}\\{ I_4R_4-I_5R_5=E_1-E_2}\end{matrix}$$

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  $I_1=-2,3$, $I_2=-0,4$, $I_3=1,9$, $I_4=1,5$, $I_5=-1,1$, $I_6=3,4$.

Ответ: $I_1=-2,3$, $I_2=-0,4$, $I_3=1,9$, $I_4=1,5$, $I_5=-1,1$, $I_6=3,4$.
Задача 5. Какую силу тока покажет амперметр в схеме, изображенной на рисунке? Сопротивлением амперметра пренебречь.

К задаче 5

Обозначим токи в цепи произвольно. Обозначим направления обхода контуров. Запишем систему уравнений: составим три уравнения по первому закону (на одно меньше, чем количество узлов) и три уравнения по второму закону, так как неизвестных токов шесть и система должна состоять из шести уравнений.

$$\begin{Bmatrix}{ -I_4+I_5+I_6=0}\\{ I_2-I_3-I_5=0}\\{ I_1-I_2-I_6=0}\\{ I_2\cdot6r+I_5\cdot6r =0}\\{ I_4\cdot6r +I_5\cdot6r -I_3\cdot6r =0}\\{ I_2\cdot6r +I_3\cdot6r +I_1\cdot2r =-E}\end{matrix}$$

Чтобы воспользоваться калькулятором, я задала $r=1$ Ом и $E=1$ В.  В итоге получилось: $I_1=-\frac{5E}{28r}$, $I_2=-\frac{E}{28r}$, $I_3=-\frac{E}{14r}$, $I_4=-\frac{3E}{28r}$, $I_5=\frac{E}{28r}$, $I_6=-\frac{E}{7r}$.

Минусы свидетельствуют о противоположном направлении тока в этой ветви тому, что мы нарисовали.