Постоянный ток: сопротивления, закон Ома-2

[latexpage]

Разберем в этой статье более сложные задачи. Все они связаны с применением закона Ома, а также применением формул пересчета последовательно и параллельно соединенных сопротивлений.

Задача 1. Амперметр А показывает силу  тока $I = 1,6$ А при напряжении $U = 120$ В. Сопротивление $R_1 = 100$ Ом. Определить сопротивление $R_2$ и показания амперметров $A1$ и $A2$.

К задаче 1

Амперметр показывает ток в неразветвленной части цепи: суммарный ток обеих ветвей. Вольтметр показывает напряжение на каждом из сопротивлений, поэтому

$$I_1=\frac{U}{R_1}=\frac{120}{100}=1,2$$

Следовательно, можем определить ток в сопротивлении 2:

$$I_2=I-I_1=1,6-1,2=0,4$$

Откуда

$$R_2=\frac{U}{I_2}=\frac{120}{0,4}=300$$

Ответ: $I_1=1,2$ A, $I_2=0,4$ A, $R_2=300$ Ом.
Задача 2. Медная и стальная проволоки одинаковой длины включены параллельно. Диаметр стальной проволоки вдвое больше диаметра медной. В медной проволоке сила тока $I_1 = 60$ мА. Какова сила тока в стальной проволоке?

Сопротивление медной проволоки

$$R_m=\frac{\rho_m l}{S}$$

Тогда напряжение равно

$$U=R_m\cdot I_1$$

Сопротивление стальной проволоки

$$R_{st}=\frac{\rho_{st} l}{4S}$$

В знаменателе появилась 4, так как площади относятся как квадрат коэффициента подобия, а коэффициент подобия задан отношением диаметров: 2.

Тогда ток в стальной проволоке будет равен

$$I_2=\frac{U}{R_{st}}=\frac{\frac{\rho_m lI_1}{S}}{\frac{\rho_{st} l}{4S}}=\frac{4\rho_m I_1}{\rho_{st}}=\frac{4\cdot1,7\cdot10^{-8}\cdot60\cdot10^{-3}}{12\cdot10^{-8}}=0,034$$

Ответ: $I_2=34$ мА.

Задача 3. Четыре лампы, рассчитанные на напряжение $U_0= 3$ В и силу тока $I = 0,3$ А каждая, надо включить параллельно и питать от источника напряжением $U= 5,4$ В. Резистор какого сопротивления надо включить последовательно с лампами?

На лампах будет падать 3 В, следовательно, на добавочном сопротивлении должно падать $U-U_0=2,4$ В. Так как лампы включены параллельно и через каждую протекает ток 0,3 А, то ток в неразветвленной части цепи равен 1,2 А. Таким образом,

$$R=\frac{ U-U_0}{4I}=\frac{2,4}{1,2}=2$$

Ответ: $R=2$ Ом.

Задача 4. В электрической цепи амперметр показывает силу тока $I_1= 2$ А, а сопротивления резисторов $R_1 = 2$ Ом, $R_2 = 10$ Ом, $R_3 = 15$ Ом, $R_4 = 4$ Ом. Определить силу тока и напряжение на каждом сопротивлении и общее напряжение цепи.

К задаче 4

Найдем напряжение между точками $a$ и $b$, для этого умножим ток на сопротивление:

$$U_{ab}=I_1R_3=2\cdot15=30$$

Тогда ток через $R_2$ равен:

$$I_2=\frac{ U_{ab}}{R_2}=\frac{30}{10}=3$$

Ток в неразветвленной части цепи равен

$$I=I_1+I_2=2+3=5$$

Тогда падение напряжения на сопротивлениях $R_3$ и $R_4$

$$U_{R1R4}=I(R_1+R_4)=5\cdot(2+4)=30$$

Общее напряжение цепи равно:

$$U_{AB}=U_{ab}+ U_{R1R4}=30+30=60$$

Ответ: $U_{ab}=30$ B, $U_{R1R4}=30$ B, $U_{AB}=60$ B, $I_2=3$ A, $I=5$ A.
Задача 5. В цепь подано напряжение $U= 100$ В. Сопротивления всех резисторов одинаковы и равны $R = 21$ Ом каждый. Найти общее сопротивление цепи $R$ ‚ а также распределение токов и напряжений (т. е. силу тока и напряжение на каждом сопротивлении).

К задаче 5

Сложим сопротивления $R_3, R_4, R_5$, соединенные последовательно:

$$R_{345}= R_3+ R_4+ R_5=63$$

Теперь пересчитаем параллельно соединенные сопротивления $R_3$ и $R_{345}$:

$$R_{ab}=\frac{ R_{345} R_3}{ R_{345}+ R_3}=\frac{63\cdot21}{84}=15,75$$

Общее сопротивление цепи

$$R=R_1+R_2+ R_{ab}=42+15,75=57,75$$

Определим ток в неразветвленной части цепи:

$$I=\frac{U}{R}=\frac{100}{57,75}=1,73$$

Такой ток создаст между точками $a$ и $b$ падение напряжения

$$U_{ab}=IR_{ab}=1,73\cdot15,75=27,3$$

Тогда ток через $R_3$ равен

$$I_1=\frac{ U_{ab}}{R_3}=\frac{27,3}{21}=1,3$$

Тогда через $R_{345}$ протекает ток

$$I_2=I-I_1=1,73-1,3=0,43$$

Напряжения на каждом из сопротивлений $R_3, R_4, R_5$ равны

$$U_3= U_4= U_5=R_3\cdotI_2=21\cdot0,43=9,03$$

Напряжения на $R_1$ и $R_2$ равны

$$U_{R_1}=U_{R_2}=IR_1=1,73\cdot21=36,33$$

Ответ: общее сопротивление цепи $R=57,75$ Ом, $I=1,73$ A, $U_{ab}=27,3$ В, $I_1=1,3$ А, $I_2=0,43$ А, $U_3= U_4= U_5=9,03$ В, $U_{R_1}=U_{R_2}=36,33$ В.

Задача 6. К сети напряжением $U = 120$ В присоединяют два резистора. При их последовательном соединении сила тока $I_1 = 3$ А, а при их параллельном соединении сила суммарного тока $I_2 = 16$ А. Чему равны сопротивления этих резисторов?

$$\begin{Bmatrix}{R_1+R_2=\frac{U}{I_1}}\\{ \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}=\frac{U}{I_2}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{R_1+R_2=40}\\{ \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}=7,5}\end{matrix}$$

Тогда, подставляя, получаем

$$\frac{R_1R_2}{ 40}=7,5$$

$$ R_1R_2=300$$

Теперь подставим из первого уравнения

$$R_2=40-R_1$$

$$ R_1(40-R_1)=300$$

$$R_1^2-40R_1+300=0$$

По Виету подбираем корни: $R_1=30$, $R_2=10$.

Ответ: $R_1=30$, $R_2=10$.

Задача 7. Какой ток проходит через каждое из сопротивлений, если $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 1$ Ом, $R_5$ = 3 Ом, напряжение $U= 12$ В?

К задаче 7

Так как $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 1$, то падения напряжения на них одинаковы. Вследствие такой симметрии у точек $a$ и $b$ одинаковые потенциалы и через сопротивление $R_5$ ток протекать не будет: падение напряжения на нем равно 0.

Получаем две параллельные ветви, сопротивление каждой равно 2 Омам. Тогда токи равны

$$I=\frac{U}{R_1+R_2}=\frac{12}{2}=6$$

Ответ: $I_1=I_2=6$ A, $I_{R5}=0$.