Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон Ома, Сопротивление

Постоянный ток: сопротивления и закон Ома

[latexpage]

Рассмотрим сегодня самые простые задачи на тему “постоянный ток”. Нам понадобится формула сопротивления в зависимости от материала, длины и сечения и закон Ома. Удельные сопротивления материалов можно посмотреть в таблице.

Задача 1. Участок цепи состоит из стальной проволоки длиной $l_1 = 2$ м с площадью поперечного сечения $S_1 = 0,48$ мм$^2$, соединенной последовательно с никелиновой проволокой длиной $l_2 = 1$ м и площадью поперечного сечения $S_2 = 0,21$ мм$^2$. Какое напряжение надо подвести к участку, чтобы получить силу тока $I = 0,6$ А?

Определим сопротивления обеих проволок (Ом).

$$R_{st}=\frac{\rho_{st} l_1}{S_1}=\frac{0,12\cdot10^{-6}\cdot2}{0,48\cdot10^{-6}}=0,5$$

$$R_{nik}=\frac{\rho_{nik} l_2}{S_2}=\frac{0,42\cdot10^{-6}\cdot1}{0,21\cdot10^{-6}}=2$$

Так как проволоки соединены последовательно, их сопротивления складываются:

$$ R_{st}+ R_{nik}=0,5+2=2,5$$

Теперь рассчитаем напряжение (В):

$$U=I(R_{st}+ R_{nik})=0,6\cdot2,5=1,5$$

Ответ: $U=1,5$ В.

Задача 2. Кабель состоит из двух стальных жил, площадью поперечного сечения $S_1 = 0,6$ мм$^2$ каждая, и из четырех медных жил, площадью поперечного сечения $S_2 = 0,85$ мм$^2$ каждая. Каково падение напряжения на каждом километре кабеля при силе тока $I = 0,1$ А?

Обозначим сопротивление стальной жилы $R_1$, а медной – $R_2$. Так как жилы соединены последовательно, определим полное сопротивление кабеля. Сопротивление двух параллельно соединенных стальных жил равно

$$R_{st}=\frac{R_1^2}{2R_1}=\frac{R_1}{2}$$

Аналогично, сопротивление двух медных жил, соединенных параллельно, равно $\frac{R_2}{2}$, ну а четырех тогда – $R_m=\frac{R_2}{4}$. Теперь найдем сопротивление всего кабеля:

$$R=\frac{ R_{st} R_m }{ R_{st}+ R_m }=\frac{0,5 R_1\cdot0,25 R_2 }{ 0,5R_1+ 0,25R_2 }$$

Распишем это через удельные сопротивления и геометрические параметры:

$$R=\frac{0,125 \rho_{st} \rho_ml^2 }{S_{st}S_m( \frac{0,5 \rho_{st}l}{ S_{st}} + \frac{0,25 \rho_ml}{ S_m})}=\frac{0,125 \rho_{st} \rho_ml }{0,5S_m \rho_{st}+  0,25S_{st}\rho_m}$$

Падение напряжения вычисляется как $U=RI$, а на единицу длины – $\frac{U}{l}=\frac{RI}{l}$, тогда

$$\frac{U}{l}=\frac{RI}{l}=\frac{0,125 \rho_{st} \rho_m I }{0,5S_m \rho_{st}+  0,25S_{st}\rho_m}=\frac{0,125\cdot 0,12\cdot10^{-6}\cdot0,017\cdot10^{-6}\cdot0,1 }{0,5\cdot0,85\cdot10^{-6}\cdot0,12\cdot10^{-6}+  0,25\cdot0,6\cdot10^{-6}\cdot0,017\cdot10^{-6}}=47,6\cdot10^{-5}$$

Мы получили падение напряжения на метр кабеля, на километр это будет в 1000 раз больше – 0,476 В, или, округляя, получим 0,48 В.

Ответ: $\frac{U}{l}=0,48$ В/км.

Задача 3. Два резистора сопротивлением $R_1 = 8$ кОм  и $R_2= 1$ кОм соединены последовательно. Определить показания вольтметра, подключенного к точкам А и С, если сила тока в цепи $I= 3$ мА. Что будет показывать вольтметр, подключенный к точкам  $A$ ит $B$, $B$ и $C$?

К задаче 3

Сопротивления резисторов, включенных последовательно, складываются. Поэтому общее сопротивление цепи равно $R=R_1+R_2=9$ кОм. Вольтметр, подключенный к точкам $A$ и $C$, покажет общее падение напряжения на обоих резисторах, то есть

$$U_{AC}=RI=9000\cdot0,003=27$$

Если вольтметр подключить к точкам $A$ и $B$, он покажет

$$ U_{AB}=U_1=R_1I=8000\cdot0,003=24$$

К точкам $B$ и $C$:

$$ U_{BC}=U_2=R_2I=1000\cdot0,003=3$$

Ответ: $U_{AC}=27$ В, $U_{AB}=24$ В, $U_{BC}=3$ В.

Задача 4. Вольтметр $V_1$ показывает 12 В. Каково показание амперметра и вольтметра $V_2$?

К задаче 4

Зная показания вольтметра, легко определить ток в цепи:

$$I=\frac{U_1}{R_1}=\frac{12}{6}=2$$

Теперь определим показание второго вольтметра:

$$U_2=R_2I=2\cdot 2=4$$

Ответ: амперметр показывает 2 А, второй вольтметр – 4 В.

Задача 5. На участке цепи напряжение $U_{AB} = 24$ В, сопротивления $R_1 = 4$ Ом, $R_2 = 46$ Ом, сопротивление вольтметра $R_v = 110$ Ом. Определить показания вольтметра.

К задаче 5

Общее сопротивление этой цепи – сумма сопротивлений всех элементов, так как они соединены последовательно:

$$R=R_1+R_2+R_v=4+46+110=160$$

Определим теперь ток в цепи:

$$I=\frac{U}{R}=\frac{24}{160}=0,15$$

Тогда вольтметр, включенный последовательно, будет измерять падение напряжения на своем внутреннем сопротивлении и покажет

$$U_v=IR_v=0,15\cdot 110=16,5$$

Ответ: вольтметр покажет 16,5 В.
Задача 6. На рисунке приведен график падения напряжения на трех последовательно соединенных проводниках одинаковой длины. Каково отношение сопротивлений этих проводников?

К задаче 6

Так как проводники соединены последовательно, то через них протекает один и тот же ток. Следовательно, падение напряжения на каждом из них зависит только от  сопротивления. Так как на участках равной длины на первом падает 1 В, на втором – 2 В, а на третьем – 3В, то очевидно, что сопротивления относятся как $R_1:R_2:R_3=1:2:3$.

Ответ: $R_1:R_2:R_3=1:2:3$.

Задача 7. Сколько ламп с одинаковым сопротивлением нужно соединить последовательно для изготовления елочной гирлянды, если каждая лампа рассчитана на напряжение 6 В и все они будут включены в сеть с напряжением 127 В?

Разделим напряжение сети на падение напряжения на каждой лампе:

$$n=\frac{U}{U_l}=\frac{127}{6}=21,17$$

То есть, если взять 21 лампу, то падать на каждой будет чуть-чуть больше 6 В, а это значит, что лампы будут перегружены и перегорят. Тогда возьмем 22 лампы. Проверим, не превысит ли в этом случае падение напряжения на них номинального:

$$U_1=\frac{U}{n_1}=\frac{127}{22}=5,77$$

Лучше взять на одну лампу больше, и пусть горят они чуть-чуть менее ярко, но зато не будет перегруза и перегораний ламп.

Ответ: 22 штуки.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *