Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон Ома, Работа и мощность тока, Сопротивление

Постоянный ток: КПД источника

Снова нас ждет определение внутреннего сопротивления источника, но задачки поинтереснее. Здесь обязательно будем применять либо выделившуюся в виде тепла энергию, либо мощность. Также определим КПД источника тока.

Задача 1. Аккумулятор с ЭДС E = 2,2 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом замкнут медной проволокой, масса которой m= 80,3 г. Сопротивление проволоки подобрано так, что во внешней цепи выделяется наибольшая мощность. На сколько градусов нагреется проволока в течение t= 5 мин? Потерями тепла пренебречь. 12.176.

Наибольшая мощность выделяется тогда, когда R=r, то есть сопротивление проволоки равно 1 Ом. Ток в цепи тогда будет равен

    \[I=\frac{E}{r+R}=\frac{E}{2r}\]

Следовательно¸ за пять минут выделится количество теплоты, равное

    \[Q=I^2Rt=\frac{E^2rt}{4r^2}=\frac{E^2t}{4r}\]

Так как Q=cm \Delta t^{\circ}, то

    \[cm \Delta t^{\circ}=\frac{E^2t}{4r}\]

Откуда

    \[\Delta t^{\circ}=\frac{E^2t}{4r c m}=\frac{2,2^2\cdot300}{4\cdot 1\cdot 400\cdot30,3\cdot10^{-3}}=29,9\]

Ответ: на 30 градусов.
Задача 2. При подключении лампочки к источнику тока с ЭДС E= 10 В напряжение на ней U = 8 В. Найти КПД источника тока.
Так как на лампочке падает 8 В, то на внутреннем сопротивлении  – 2. Таким образом, сопротивление лампы в четыре раза больше внутреннего сопротивления источника. Тогда можно записать:

    \[\eta=\frac{R}{R+r}=\frac{4r}{4r+r}=0,8\]

Ответ: 80%.
Задача 3. К источнику тока, внутреннее сопротивление которого r = 1 Ом, подключен резистор сопротивлением R = 9 Ом. Найти коэффициент полезного действия источника тока.

Задача аналогична предыдущей – ответ 90%.

Задача 4. При подключении к источнику тока резистора R_1 = 18 Ом, а затем последовательно с ним резистора R_2 = 63 Ом коэффициент полезного действия возрос в n= 2 раза. Определить сопротивление источника тока.

Запишем КПД при подключении первого резистора:

    \[\eta_1=\frac{R_1}{r+R_1}\]

А при подключении двух:

    \[\eta_2=\frac{R_2+R_1}{r+R_1+R_2}\]

По условию \eta_2=2\eta_1, поэтому

    \[\frac{2R_1}{r+R_1}=\frac{R_2+R_1}{r+R_1+R_2}\]

    \[2R_1(r+R_1+R_2)=(R_2+R_1)( r+R_1)\]

Подставим числа и решим:

    \[36(r+81)=81( r+18)\]

    \[81r-36r=-81\cdot18+81\cdot36\]

    \[45r=81\cdot18\]

    \[r=\frac{81\cdot2}{5}=32,4\]

Ответ: 32,4 Ом.

Задача 5. Лампочки, сопротивления которых R_1 = 3 Ом и R_2 = 12 Ом,
подключенные поочередно к некоторому источнику тока, потребляют одинаковую мощность. Найти внутреннее сопротивление источника тока и КПД цепи в каждом случае. 12.180.

Ток в первом случае:

    \[I_1=\frac{E}{r+R_1}\]

Во втором случае:

    \[I_2=\frac{E}{r+R_2}\]

Мощности в обоих случаях:

    \[P_1=I_1^2R_1=I_2^2R_2\]

    \[\frac{E^2R_1}{(r+R_1)^2}=\frac{E^2R_2}{(r+R_2)^2}\]

Удобно здесь сократить на E^2 и сразу извлечь корни:

    \[\frac{\sqrt{R_1}}{r+R_1}=\frac{\sqrt{R_2}}{r+R_2}\]

    \[\sqrt{R_1}( r+R_2)= \sqrt{R_2}( r+R_1)\]

    \[r=\frac{ R_2\sqrt{R_1}- R_1\sqrt{R_2}}{\sqrt{R_2}-\sqrt{R_1}}=\sqrt{R_1R_2}=\sqrt{3\cdot12}=6\]

КПД цепи в первом случае равен

    \[\eta_1=\frac{R_1}{r+R_1}=\frac{3}{6+3}=\frac{1}{3}\]

А во втором

    \[\eta_2=\frac{R_2}{r+R_2}=\frac{12}{6+12}=\frac{2}{3}\]

Ответ: r=6 Ом, \eta_1=33\%, \eta_2=66\%.

Задача 6. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление батареи, состоящей из трех источников тока, если E_1 = E_2 = E_3 и r_1 = r_2 = r_3.

К задаче 6

Внутренние сопротивления просто сложим (соединены последовательно):

    \[r=r_1+r_2+r_3\]

Чтобы найти ЭДС, обратим внимание, что источники включены «неправильно», поэтому ЭДС будет равна

    \[E=E_1+E_2-E_3\]

Ответ: r=r_1+r_2+r_3, E=E_1+E_2-E_3.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *