Постоянный ток: КПД источника

[latexpage]

Снова нас ждет определение внутреннего сопротивления источника, но задачки поинтереснее. Здесь обязательно будем применять либо выделившуюся в виде тепла энергию, либо мощность. Также определим КПД источника тока.

Задача 1. Аккумулятор с ЭДС $E = 2,2$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом замкнут медной проволокой, масса которой $m= 80,3$ г. Сопротивление проволоки подобрано так, что во внешней цепи выделяется наибольшая мощность. На сколько градусов нагреется проволока в течение $t= 5$ мин? Потерями тепла пренебречь. 12.176.

Наибольшая мощность выделяется тогда, когда $R=r$, то есть сопротивление проволоки равно 1 Ом. Ток в цепи тогда будет равен

$$I=\frac{E}{r+R}=\frac{E}{2r}$$

Следовательно¸ за пять минут выделится количество теплоты, равное

$$Q=I^2Rt=\frac{E^2rt}{4r^2}=\frac{E^2t}{4r}$$

Так как $Q=cm \Delta t^{\circ}$, то

$$ cm \Delta t^{\circ}=\frac{E^2t}{4r}$$

Откуда

$$\Delta t^{\circ}=\frac{E^2t}{4r c m}=\frac{2,2^2\cdot300}{4\cdot 1\cdot 400\cdot30,3\cdot10^{-3}}=29,9$$
Ответ: на 30 градусов.
Задача 2. При подключении лампочки к источнику тока с ЭДС $E= 10$ В напряжение на ней $U = 8$ В. Найти КПД источника тока.
Так как на лампочке падает 8 В, то на внутреннем сопротивлении  – 2. Таким образом, сопротивление лампы в четыре раза больше внутреннего сопротивления источника. Тогда можно записать:

$$\eta=\frac{R}{R+r}=\frac{4r}{4r+r}=0,8$$

Ответ: 80%.
Задача 3. К источнику тока, внутреннее сопротивление которого $r = 1$ Ом, подключен резистор сопротивлением $R = 9$ Ом. Найти коэффициент полезного действия источника тока.

Задача аналогична предыдущей – ответ 90%.

Задача 4. При подключении к источнику тока резистора $R_1 = 18$ Ом, а затем последовательно с ним резистора $R_2 = 63$ Ом коэффициент полезного действия возрос в $n= 2$ раза. Определить сопротивление источника тока.

Запишем КПД при подключении первого резистора:

$$\eta_1=\frac{R_1}{r+R_1}$$

А при подключении двух:

$$\eta_2=\frac{R_2+R_1}{r+R_1+R_2}$$

По условию $\eta_2=2\eta_1$, поэтому

$$\frac{2R_1}{r+R_1}=\frac{R_2+R_1}{r+R_1+R_2}$$

$$2R_1(r+R_1+R_2)=(R_2+R_1)( r+R_1)$$
Подставим числа и решим:

$$36(r+81)=81( r+18)$$
$$81r-36r=-81\cdot18+81\cdot36$$

$$45r=81\cdot18$$

$$r=\frac{81\cdot2}{5}=32,4$$

Ответ: 32,4 Ом.

Задача 5. Лампочки, сопротивления которых $R_1 = 3$ Ом и $R_2 = 12$ Ом,
подключенные поочередно к некоторому источнику тока, потребляют одинаковую мощность. Найти внутреннее сопротивление источника тока и КПД цепи в каждом случае. 12.180.

Ток в первом случае:

$$I_1=\frac{E}{r+R_1}$$

Во втором случае:

$$I_2=\frac{E}{r+R_2}$$

Мощности в обоих случаях:

$$P_1=I_1^2R_1=I_2^2R_2$$

$$\frac{E^2R_1}{(r+R_1)^2}=\frac{E^2R_2}{(r+R_2)^2}$$

Удобно здесь сократить на $E^2$ и сразу извлечь корни:

$$\frac{\sqrt{R_1}}{r+R_1}=\frac{\sqrt{R_2}}{r+R_2}$$

$$\sqrt{R_1}( r+R_2)= \sqrt{R_2}( r+R_1)$$

$$r=\frac{ R_2\sqrt{R_1}- R_1\sqrt{R_2}}{\sqrt{R_2}-\sqrt{R_1}}=\sqrt{R_1R_2}=\sqrt{3\cdot12}=6$$

КПД цепи в первом случае равен

$$\eta_1=\frac{R_1}{r+R_1}=\frac{3}{6+3}=\frac{1}{3}$$

А во втором

$$\eta_2=\frac{R_2}{r+R_2}=\frac{12}{6+12}=\frac{2}{3}$$

Ответ: $r=6$ Ом, $\eta_1=33\%$, $\eta_2=66\%$.

Задача 6. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление батареи, состоящей из трех источников тока, если $E_1 = E_2 = E_3$ и $r_1 = r_2 = r_3$.

К задаче 6

Внутренние сопротивления просто сложим (соединены последовательно):

$$r=r_1+r_2+r_3$$

Чтобы найти ЭДС, обратим внимание, что источники включены «неправильно», поэтому ЭДС будет равна

$$E=E_1+E_2-E_3$$

Ответ: $r=r_1+r_2+r_3$, $E=E_1+E_2-E_3$.