Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон Ома, Законы Кирхгофа, Сопротивление

Постоянный ток: источники тока 2

Расчет падений напряжений между различными точками, определение токов и напряжений в цепи в том числе с использованием законов Кирхгофа – вот что нас ждет в этой статье.

Задача 1. В батарее, изображенной на рисунке, E_1 = 10 В, r_1=1 Ом, E_2=8 В‚r_2=2 Ом‚ E_3= 15 В, r_3=3 Ом; R_1=5 Ом‚ R_2=1 Ом. Найти ЭДС и внутреннее сопротивление этой батареи.

К задаче 1

Внутренние сопротивления просто сложим (соединены последовательно):

    \[r=r_1+r_2+r_3+R_1+R_2=12\]

Чтобы найти ЭДС, обратим внимание, что источники включены «неправильно», поэтому ЭДС будет равна

    \[E=E_1+E_2-E_3=3\]

Ответ: r=12 Ом, E=3 В.

Задача 2. Вычислить ЭДС и внутреннее сопротивление батареи, состоящей из трех источников ЭДС (рис.), если ЭДС источников соответственно 10 В, 20 В, 30 В, а их внутренние сопротивления одинаковы и равны 1 Ом.
При параллельном соединении источников их можно пересчитать в один по следующим формулам:

К задаче 2

    \[\frac{E}{r}=\sum^{n}_{i=1}  {\frac{E_i}{r_i}}\]

    \[\frac{1}{r}=\sum^{n}_{i=1}  {\frac{1}{r_i}}\]

Тогда

    \[\frac{E}{r}=\frac{E_1}{r_1}+\frac{E_2}{r_2}=\frac{10}{1}+\frac{20}{1}=30\]

    \[r=0,5\]

    \[E=15\]

Теперь пересчитаем последовательное соединение двух источников:

    \[E_0=E+E_3=15+30=45\]

    \[r_0=r+r_3=1,5\]

Ответ: r_0=1,5 Ом, E_0=45 В.
Задача 3.  В некоторой цепи имеется участок, изображенный на рисунке, R_1 = 1 Ом,R_2 = 2 Ом‚R_3=3 Ом, \varphi = 10В, \varphi_2=9 В‚ \varphi_3=6 В. Найти силу тока в каждом сопротивлении и потенциал \varphi_0.

К задаче 3

По первому закону Кирхгофа I_1+I_2+I_3=0.

Пусть

    \[I_1=\frac{\varphi_1-\varphi_0}{R_1}\]

    \[I_2=\frac{\varphi_2-\varphi_0}{R_2}\]

    \[I_3=\frac{\varphi_3-\varphi_0}{R_3}\]

Тогда:

    \[\frac{\varphi_1-\varphi_0}{R_1}+\frac{\varphi_2-\varphi_0}{R_2}+\frac{\varphi_3-\varphi_0}{R_3}=0\]

    \[\frac{\varphi_1}{R_1}+\frac{\varphi_2}{R_2}+\frac{\varphi_3}{R_3}=\frac{\varphi_0}{R_1}+\frac{\varphi_0}{R_2}+\frac{\varphi_0}{R_3}\]

    \[\frac{\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2}{R_1R_2R_3}=\varphi_0\frac{ R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2}{ R_1R_2R_3}\]

    \[\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2=\varphi_0(R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2)\]

    \[\varphi_0=\frac{\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2}{ R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2}\]

Тогда сила тока в ветвях:

    \[I_1=\frac{\varphi_1}{R_1}-\frac{\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2}{ R_1(R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2)}\]

    \[I_2=\frac{\varphi_2}{R_2}-\frac{\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2}{ R_2(R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2)}\]

    \[I_3=\frac{\varphi_3}{R_3}-\frac{\varphi_1 R_2R_3+\varphi_2 R_1R_3+\varphi_3 R_1R_2}{ R_3(R_2R_3+ R_1R_3+R_1R_2)}\]


Задача 4. Определить разность потенциалов между клеммами в схеме, изображенной на рисунке, если E = 4 В, R_1 = 3 Ом, R2 = 1 Ом.

К задаче 4

Сопротивления ветвей равны

    \[R=R_1+R_2=4\]

Так как сопротивления ветвей равны, то общее сопротивление обеих ветвей

    \[R_0=\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}=2\]

А ток в неразветвленной части цепи равен

    \[I=\frac{E}{R_0}=2\]

Этот ток разделится ровно пополам в точке a – опять же по причине равенства сопротивлений ветвей. Таким образом, токи в ветвях равны 1 A.

Эти токи создадут падения напряжений U_1=I_1R_1=3 В, U_2=I_2R_2=1 В.

Из рисунка можем записать по второму закону Кирхгофа:

    \[U=U_2-U_1=1-3=-2\]

Ответ: U=-2 В.

Задача 5. Найти разность потенциалов на зажимах каждого источника тока, если r_1 = 1 Ом, r_2= 1,5 Ом, R = 0,5 Ом, E_1 = E_2 = 2 В.

К задаче 5

Определим ток в цепи, для этого сначала определим суммарную ЭДС:

    \[E_0=E_1+E_2=4\]

    \[R_0=R+r_1+r_2=3\]

Ток в цепи равен:

    \[I=\frac{E_0}{R_0}=\frac{4}{3}\]

Такой ток создаст падение напряжения на r_1:

    \[U_1=Ir_1=\frac{4}{3}\]

На r_2:

    \[U_2=Ir_2=2\]

Тогда на зажимах первого источника

    \[\Delta \varphi_1=E_1-U_1=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\]

На зажимах второго источника

    \[\Delta \varphi_1=E_2-U_2=2-2=0\]

Ответ: \Delta \varphi_1=\frac{2}{3} B, \Delta \varphi_2=0 B.

Задача 6. В цепь включены три источника ЭДС и два резистора (рис.) Определить ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного источника‚ действующего в цепи, а также разность потенциалов между точками А и В, если E_1 = 10 В, E_2 = 20 В, E_3 = 15 В, r_1 = 1 Ом, r_2 = 2 Ом, r_3 = 1,5 Ом, R_1 = 4,5 Ом, R_2=16 Ом.

К задаче 6

Вcе сопротивления просто сложим (соединены последовательно):

    \[r=r_1+r_2+r_3=4,5\]

Чтобы найти ЭДС, обратим внимание, что источники включены «неправильно», поэтому ЭДС будет равна

    \[E=E_1+E_2-E_3=15\]

Ток в цепи будет равен:

    \[I=\frac{E}{r+R_1+R_2}=\frac{15}{4,5+4,5+16}=0,6\]

Такой ток создаст падения напряжений:

    \[U_{R_1}=IR_1=2,7\]

    \[U_{r_1}=Ir_1=0,6\]

    \[U_{r_2}=Ir_2=1,2\]

По второму закону Кирхгофа запишем:

    \[U_{R_1}+ U_{r_1}+ U_{r_2}-U_{AB}=E_1+E_2\]

    \[U_{AB}= U_{R_1}+ U_{r_1}+ U_{r_2}-E_1-E_2=4,5-10-20=-25,5\]

Ответ: U_{AB}=-25,5 В.


Задача 7. В схему включены три батареи (рис. 12.62) E_1 = 3 В, E_2 = 2 В, E_3 = 3 В, r = 1 Ом, r_2 = 2 Ом, r_3 = 3 Ом. Найти напряжение на зажимах первой батареи.

К задаче 7

Вcе сопротивления просто сложим (соединены последовательно):

    \[r=r_1+r_2+r_3=6\]

Чтобы найти ЭДС, обратим внимание, что источники включены «неправильно», поэтому ЭДС будет равна

    \[E=E_1-E_2+E_3=4\]

Ток в цепи будет равен:

    \[I=\frac{E}{r}=\frac{4}{6}=0,66\]

Такой ток создаст падение напряжения:

    \[U_{r_1}=Ir_1=0,66\]

Искомое напряжение равно

    \[U_{AB}=E_1-Ir_1=3-0,66=2,34\]

Ответ: U_{AB}=2,34 В.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *