Постоянный ток: источники, кастрюли и чайники

[latexpage]

Задачи, которые предложены в этой статье, очень интересные. Они все решаются довольно просто, но требуют “творческого подхода”, немного нестандартного мышления, широкого взгляда.

Задача 1. К источнику тока с ЭДС $E=9$ В, внутренним сопротивлением которого можно пренебречь, присоединены последовательно лампочка и резистор с сопротивлением $R_1=1$ кОм.  Вольтметр с сопротивлением $R_V=4$ кОм, подключенный к зажимам лампочки, показывает напряжение $U_V=6$ В. Какое напряжение $U_1$ будет на лампочке, если отключить вольтметр? Зависимость сопротивления лампы от температуры нити накала не учитывать.

Если вольтметр показывает 6 В, следовательно, на резисторе падает 3 В – ведь на пренебрежимо малом внутреннем  сопротивлении ничего не упадет (ну или пренебрежимо мало). Так как сопротивление резистора 1000 Ом, то по закону Ома ток в нем 0,003 А. Определим ток через вольтметр:

$$I_V=\frac{ U_V }{ R_V }=\frac{6}{4000}=0,0015$$

То есть делаем вывод, что через вольтметр течет ровно половина того тока, что тек через резистор. Или, иными словами, ток поделился пополам на ветвь с лампой и ветвь с вольтметром. Тогда и сопротивления лампы и вольтметра равны. Следовательно, сопротивление лампы 4 кОм.

Определим ток через лампу, если вольтметр  убрать.

$$I_l=\frac{E}{R_1+R_l}=\frac{9}{1000+4000}=0,018$$

Напряжение на лампе

$$U_l=IR_l=0,0018\cdot 4000=7,2$$

Ответ: 7,2 В.

Задача 2. Два источника тока с одинаковыми ЭДС, но разными внутренними сопротивлениями, включены последовательно и замкнуты на параллельно соединенные резисторы $R_1=2$ Ом, $R_2=8$ Ом. Внутреннее сопротивление первого источника $r_1=0,2$ Ом. Найдите внутреннее сопротивление второго источника $r_2$, если известно, что напряжение на его зажимах равно нулю.

Давайте упростим схему, заменив два сопротивления $R_1$ и $R_2$ одним.

$$R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{8\cdot2}{8+2}=1,6$$

Теперь подумаем, что значат слова «если известно, что напряжение на его зажимах равно нулю». Это значит следующее: ток таков, что на внутреннем сопротивлении второго источника падает вся его ЭДС!

$$E=Ir_2$$

А ток равен

$$I=\frac{2E}{R+r_1+r_2}$$

То есть получается, что

$$E=\frac{2Er_2}{R+r_1+r_2}$$

Или

$$2r_2= R+r_1+r_2$$

$$r_2= R+r_1=1,6+0,2=1,8$$

Можно было рассуждать и так: если напряжение одной ЭДС из двух падает на ее внутреннем сопротивлении, то напряжение второй падает на сумме $R+r_1$, то есть $r_2=R+r_1$.

Ответ: 1,8 Ом.

Задача 3. Цепь состоит из двух последовательно соединенных источников с одинаковыми ЭДС, равными 8 В каждый, и внутренними сопротивлениями $r_1=1$ и $r_2=2$ Ом. Параллельно каждому из источников включен резистор $R=1$ Ом. Какое значение покажет идеальный вольтметр, включенный в цепь?

Вольтметр показывает напряжение на резисторе, его и надо найти. Для этого нужно знать ток в резисторе. Можно воспользоваться законами Кирхгофа, а можно попробовать решить методом наложения, который основан на принципе суперпозиции.

Решаем по Кирхгофу:

$$\begin{Bmatrix} {I_1+I_2-I_3=0}\\{ I_1r_1+I_3R=E_1}\\{ I_2r_2+I_3R=E_2}\end{matrix}$$

Решим эту систему. ЭДС равны, так что можно заменить их обозначением $E$. Следовательно,

$$\begin{Bmatrix} {I_1+I_2=I_3}\\{ I_1r_1+( I_1+I_2)R=E}\\{ I_2r_2+( I_1+I_2)R=E}\end{matrix}$$

То есть $I_1=\frac{I_2r_2}{r_1}=2I_2$.

Тогда

$$I_1(r_1+R)+I_2R=E$$

$$2I_2(r_1+R)+I_2R=E$$

Откуда

$$I_2=\frac{E}{2(r_1+R)+R}=\frac{8}{5}=1,6$$

$$I_1=2I_2=3,2$$

$$I_3=I_1+I_2=1,6+3,2=4,8$$

$$U=I_3R=4,8\cdot1=4,8$$

Теперь решим по методу наложения: сначала закоротим один источник, оставив его внутреннее сопротивление, и рассчитаем токи в полученной цепи. Мы получим частичные токи, которые появляются вследствие влияния на цепь источника $E_1$. Потом точно так же поступим со вторым источником, и снова найдем частичные токи. Токи в ветвях будут получены в результате суммирования этих частей.

Сначала первая схема.

$$I_1’=\frac{E}{r_1+\frac{Rr_2}{R+r_2}}=\frac{8}{1+\frac{2}{3}}=\frac{24}{5}$$

$$U_R’=I_1’\cdot\frac{Rr_2}{R+r_2}=\frac{24}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{5}$$

$$I_R’=\frac{U_R’}{R}=\frac{16}{5}$$

Аналогично – вторая:

$$I_2’=\frac{E}{r_2+\frac{Rr_1}{R+r_1}}=\frac{8}{2+\frac{1}{2}}=\frac{16}{5}$$

$$U_R’’=I_2’\cdot\frac{Rr_1}{R+r_1}=\frac{16}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{8}{5}$$

$$I_R’’=\frac{U_R’’}{R}=\frac{8}{5}$$

$$I_R= I_R’+ I_R’’=\frac{16}{5}+\frac{8}{5}=\frac{24}{5}$$

$$U_R= I_R\cdot R=\frac{24}{5}=4,8$$

Ответ: 4,8 В

Задача 4. В электрическую цепь включены лампочка и резистор. КПД источника 60%. Внутреннее сопротивление источника тока $r=1$ Ом. Сила тока, текущего через источник, $I=1$ А. Найдите напряжение на лампочке.

Вспомним, что такое ЭДС источника: это отношение сопротивления нагрузки к сумме внутреннего сопротивления и сопротивления нагрузки. Или, что то же самое, отношение падений напряжений. На внутреннем сопротивлении в 1 Ом при токе в 1 А упадет 1 В, и это составит 40%, потому что остальные 60% обязаны упасть на сопротивлении нагрузки (это резистор и лампа вместе, на них одинаковое напряжение). Тогда ЭДС равна 2,5 В, а на нагрузке падает 1,5 В.

Ответ: 1,5 В

 

Задача 5. Спираль электрического чайника изготовлена из нихромовой проволоки сечением $S=0,5$ мм$^2$. В чайнике находится 1,5 литра воды,  и он подключен к сети с напряжением $U=220$ В. Вода в чайнике за $t=4$ мин нагревается от $T_1=298$ К до $T_ 2=373$ К. Какова длина проволоки,  если КПД чайника 75%? Удельное сопротивление нихрома $\rho=1,1\cdot10^{-6}$ Ом$\cdot$ м.

Мощность (электрическая) вычисляется как $I^2R$, количество теплоты – как $I^2Rt$. Но у чайника КПД 75%, поэтому количество тепла, переданное воде, равно $Q=0,75 I^2Rt=\eta\frac{U^2}{R}t$. Вода нагрелась на $\Delta T=T_2-T_1=373-298=75^{\circ}$, следовательно $Q=c m \Delta T$.

$$ c m \Delta T=\eta\frac{U^2}{R}t $$

$$R=\frac{\eta U^2t}{ c m \Delta T}$$

$$\frac{\rho l}{S}=\frac{\eta U^2t}{ c m \Delta T}$$

Замечу, что массу воды на экзамене надо вычислять через объем и плотность, неважно, что вы знаете, что 1,5 литра – это 1,5 кг воды.

$$l=\frac{\eta U^2t S}{ c m \rho \Delta T}=\frac{0,75\cdot 220^2\cdot240\cdot0,5\cdot10^{-6}}{ 4200\cdot1,5\cdot1,1\cdot10^{-6} \cdot75}=8,4$$

Ответ: 8,4 м.

Задача 6. В сеть включены параллельно электрический чайник и кастрюля разной емкости, потребляющие мощности $P_1=1000$ Вт и $P_2=500$ Вт. Вода в них закипает одновременно через $\tau=4$ мин. На сколько минут позже закипит вода в чайнике, чем в кастрюле, если их включить в ту же сеть последовательно?

Распишем мощности приборов. Так как включены они параллельно, то напряжения одинаковы, а токи – различны.

Мощность чайника:

$$P_1=UI_1$$

Мощность кастрюли:

$$P_2=UI_2$$

Количество тепла, нужное, чтобы закипела вода в чайнике:

$$Q_1=P_1t$$

Количество тепла, нужное, чтобы закипела вода в кастрюле:

$$Q_2=P_2t$$

То есть можно заключить, что

$$\frac{ P_1}{ P_2}=\frac{ I_1}{ I_2}$$

Так как при параллельном включении

$$I_1R_1=I_2R_2$$

То

$$\frac{ I_1}{ I_2}=\frac{ R_2}{ R_1}=\frac{ P_1}{ P_2}$$

Сопротивление больше у прибора с меньшей мощностью, то есть у кастрюли.

Теперь включаем приборы последовательно. Ток через оба прибора протекает один, а напряжения на приборах разные, так как у них разные сопротивления.

Теперь

$$I=\frac{U}{R_1+R_2}=\frac{U}{R_1+\frac{ P_1}{ P_2}R_1}=\frac{U}{R_2+\frac{P_2}{P_1}R_2}$$

Напряжение на чайнике тогда

$$U_1=IR_1=\frac{U}{R_1+\frac{ P_1}{ P_2}R_1}\cdotR_1=\frac{U}{ 1+\frac{ P_1}{ P_2}}$$

Напряжение на кастрюле

$$U_2=IR_2=\frac{U}{R_2+\frac{ P_2}{ P_1}R_2}\cdotR_2=\frac{U}{ 1+\frac{ P_2}{ P_1}}$$

Мощность чайника будет равна

$$P_1’=IU_1=\frac{U}{R_1+\frac{ P_1}{ P_2}R_1}\cdot \frac{U}{ 1+\frac{ P_1}{ P_2}}=\frac{U^2}{ R_1(1+\frac{ P_1}{ P_2})^2}$$

Мощность кастрюли будет равна

$$P_2’=IU_2=\frac{U}{R_2+\frac{P_2}{P_1}R_2}\cdot \frac{U}{ 1+\frac{ P_2}{ P_1}}=\frac{U^2}{ R_2(1+\frac{ P_2}{ P_1})^2}$$

Время нагрева было:

$$t=\frac{Q_1R_1}{U^2}=\frac{Q_2R_2}{U_2}$$

Так как, чтобы вскипятить воду, нужно то же количество теплоты, то

$$Q_1=P_1’t_1$$

$$Q_2=P_2’t_2$$

Время нагрева будет теперь для чайника:

$$t_1=\frac{Q_1}{P_1’}=\frac{ P_1t }{P_1’}=\frac{U^2t(R_1(1+\frac{ P_1}{ P_2})^2)}{R_1U^2}=(1+\frac{ P_1}{ P_2})^2)t=(1+2)^2\cdot4=36$$

А для кастрюли:

$$t_2=\frac{Q_2}{P_2’}=\frac{ P_2t }{P_2’}=\frac{U^2t(R_2(1+\frac{ P_2}{ P_1})^2)}{R_2U^2}=(1+\frac{ P_2}{ P_1})^2)t=(1+\frac{1}{2})^2\cdot4=9$$

Таким образом, чайник будет закипать на 27 минут дольше, несмотря на то, что мощность у него больше: просто кастрюля своим большим сопротивлением так ограничит ток, что чайнику будет не показать все, на что он «горазд».

Ответ: 27 минут.