Пошаговое построение сечения шестиугольной призмы

В этой статье приведено несколько примеров пошагового построения сечения правильной шестиугольной призмы методом следов. Иногда к методу следов был взят в помощь аксиоматический метод. Я старалась избегать пользоваться методом внутреннего проецирования намеренно, чтобы показать построение именно методом следов.

[latexpage]

Задача 1. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью, проходящей через точки $M, N,O$.

Задача 1. Дано.

Шаг 1. Проведем прямую $NO$, принадлежащую плоскости сечения. Благодаря тому, что точки $N$ и $O$ лежат в основании призмы, прямая $NO$ также принадлежит плоскости основания, а значит, будет пересекаться с другими прямыми, также лежащими в этой плоскости. Тогда можно провести прямую $BA$, и определить точку пересечения $BA$ и $NO$ – $P$. Точка $P$ принадлежит плоскости грани $AA_1B_1B$, поскольку прямая $AB$ принадлежит ей.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Точки $P$ и $M$ можно соединить прямой. Прямая $PM$ пересечет ребро $AA_1$ в точке $Q$. Проводим прямую $ED$ в плоскости основания и находим ее пересечение с прямой $NO$ – точку $R$.

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Через точки $Q$ и $N$ проводим прямую. Она принадлежит плоскости грани $AA_1F_1F$, поэтому обязательно пересечется с прямой $F_1F$ этой плоскости – в точке $S$. Точка $S$ лежит “под” призмой, ниже ее основания. Точка $S$, благодаря принадлежности прямой $F_1F$, также принадлежит и плоскости грани $FF_1E_1E$, а в этой плоскости у нас имеется точка – точка $O$.

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Следовательно, можно соединить точки $S$ и $O$ прямой. Эта прямая пересечет ребро $EE_1$ в точке $T$.

Задача 1. Шаг 4.

Шаг 5. Точка $R$ принадлежит прямой $ED$, а следовательно, лежит в плоскости грани $EE_1D_1D$, таким образом, ее можно соединить с точкой $T$ этой же плоскости прямой $RT$. Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в точке $U$. Для дальнейшего построения нам нужны точки в плоскости верхней грани призмы. Добудем их. Продлим прямую $PM$ до пересечения с прямой $A_1B_1$. Отметим точку $V$.

Задача 1. Шаг 5.

Шаг 6. Проведем прямую $E_1D_1$, принадлежащую грани $EE_1D_1D$, и найдем точку ее пересечения с прямой $RT$ – точку $W$. Тогда точки $V$ и $W$ принадлежат плоскости верхней грани (за счет принадлежности прямым этой плоскости) и их можно соединять прямой.

Задача 1. Шаг 6.

Шаг 7. Находим точки пересечения прямой $VW$ с ребрами $B_1C_1$ и $C_1D_1$ – точки $X$ и $Y$.

Задача 1. Шаг 7.

Шаг 8. Соединяем все полученные точки отрезками.

Задача 1. Шаг 8.

Окончательный вид сечения:

Окончание построения

Задача 2. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью, проходящей через точки $P, Q, R$.

Задача 2. Дано

Шаг 1. Проведем прямую $PQ$. Она принадлежит секущей плоскости. Также проведем проекцию этой прямой на плоскость нижнего основания призмы – прямую $CA$. Точка их пересечения одновременно принадлежит секущей плоскости и плоскости нижнего основания призмы. Обозначим ее $S$.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Аналогично поступим с точками $Q$ и $R$: проводим прямую $QR$ и ее проекцию в плоскости нижнего основания. Их пересечение – точка секущей плоскости $U$, одновременно лежащая в нижнем основании.

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Имея две точки в плоскости нижнего основания, проведем через них прямую $SU$, точки которой принадлежат секущей плоскости.

Проведем прямую $AB$. Она лежит в плоскости основания, но одновременно – в плоскости боковой грани, поэтому ее точки принадлежат этой боковой грани. Точка пересечения прямых $AB$ и $SU$, таким образом, принадлежит плоскости боковой грани призмы и плоскости сечения.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Проводим прямую $VP$ в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$ и отыскиваем точку пересечения ею ребра $BB_1$ – точку $W$.

Осталось немного: найти точку плоскости сечения на ребре $DD_1$, и пару точек в плоскости основания.

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем прямые $AF$ и $DE$ в плоскости основания. Они пересекут прямую $SV$ секущей плоскости в точках $Y$ и $Z$.

Задача 2. Шаг 5.

Шаг 6. Точки $P$ и $Y$ принадлежат плоскости грани $AA_1F_1F$, проведем через них прямую. Найдем точку, где эта прямая пересечет ребро $FF_1$ – точку $M$. Точки $Z$ и $R$ лежат в плоскости грани $EE_1D_1D$. Проводим через них прямую и находим точку пересечения этой прямой с ребром $DD_1$ – $N$.

Задача 2. Шаг 6.

Шаг 7. Соединяем точки отрезками.

Задача 2. Шаг 7.

Окончательный вид построенного сечения:

Окончательный вид построенного сечения

Задача 3. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью, проходящей через точки $P, Q, R$.

Задача 3. Дано

Шаг 1. Проводим прямую $PR$ секущей плоскости, а также ее проекцию в плоскости основания $AR$. Прямая $CD$ принадлежит плоскости основания и пересечет прямую $AR$ в точке $S$. Заметим, что точка $S$ не является точкой секущей плоскости.

Задача 3. Шаг 1.

Шаг 2. Из точки $S$ проводим перпендикуляр к плоскости основания (к прямой $AR$), его пересечение с прямой $PR$ – точка $V$ – принадлежит секущей плоскости, а также плоскости грани $CDD_1C_1$.

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3. Соединим точки $V$ и $Q$. Прямая $VQ$ пересечет ребро призмы $DD_1$ в точке $X$.

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Заполучив точку $X$, можем провести отрезок $RX$. Вот тут-то нам и понадобится аксиоматический метод. Так как грань  $AA_1B_1B$  параллельна грани $EE_1D_1D$, то плоскость рассечет ее по прямой, которая будет параллельна $RX$. Вот и проведем через $P$ такую параллельную прямой $RX$ прямую. Она пересечет ребро $A_1B_1$ в точке $Y$.

Задача 3. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем также через точку $P$ прямую, параллельную прямой $VQ$. Это можно сделать, так как грань $CC_1D_1D$ параллельна грани $AA_1F_1F$. Прямая эта пересечет ребро $AF$ в точке $M$.

Задача 3. Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

Задача 3. Шаг 6.

Окончательный вид:

Задача 3. Окончательный вид

Задача 4. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскостью, проходящей через точки $S, T, U$.

Задача 4. Дано

Шаг 1. Через точки $S$ и $U$ проводим прямую секущей плоскости. Также проведем проекции этой прямой на верхнее и нижнее основание – $A_1D_1$ на верхнее, и $AD$ – на нижнее. Точки пересечения прямой $SU$ с проекциями – это точки прокола данной прямой оснований призмы. Верхнее основание прямая $SU$ прошьет в точке $V$, а нижнее – в точке $W$. Таким образом, мы заполучили точки секущей плоскости в плоскостях верхнего и нижнего оснований.

Задача 4. Шаг 1.

Шаг 2. Точки $T$ и $V$ принадлежат одной плоскости, проводим через них прямую. Эта прямая даст нам две точки: точку $X$, в которой она пересечет ребро $A_1F_1$, и точку $Y$, в которой она пересечет ребро $C_1D_1$.

Шаг 3. Приобретя точку $X$ в грани $AA_1F_1F$, проведем прямую $SX$. Она пересечет ребро $AF$ в точке $Z$.

Задача 4. Шаги 2-3.

Шаг 4.  Проведем через точку $Z$ в плоскости основания призмы прямую, параллельную прямой $VT$ (или можно провести через точки $Z$ и $W$). Эта прямая пересечет ребро $CD$ в точке $M$.

Задача 4. Шаг 4.

Шаг 5.  Соединяем точки  отрезками.

Задача 4. Шаг 5.

Окончательный вид:

Окончательный вид сечения