Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Пошаговое построение сечения шестиугольной призмы

В этой статье приведено несколько примеров пошагового построения сечения правильной шестиугольной призмы методом следов. Иногда к методу следов был взят в помощь аксиоматический метод. Я старалась избегать пользоваться методом внутреннего проецирования намеренно, чтобы показать построение именно методом следов.

Задача 1. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 плоскостью, проходящей через точки M, N,O.

Задача 1. Дано.

Шаг 1. Проведем прямую NO, принадлежащую плоскости сечения. Благодаря тому, что точки N и O лежат в основании призмы, прямая NO также принадлежит плоскости основания, а значит, будет пересекаться с другими прямыми, также лежащими в этой плоскости. Тогда можно провести прямую BA, и определить точку пересечения BA и NOP. Точка P принадлежит плоскости грани AA_1B_1B, поскольку прямая AB принадлежит ей.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Точки P и M можно соединить прямой. Прямая PM пересечет ребро AA_1 в точке Q. Проводим прямую ED в плоскости основания и находим ее пересечение с прямой NO – точку R.

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Через точки Q и N проводим прямую. Она принадлежит плоскости грани AA_1F_1F, поэтому обязательно пересечется с прямой F_1F этой плоскости – в точке S. Точка S лежит “под” призмой, ниже ее основания. Точка S, благодаря принадлежности прямой F_1F, также принадлежит и плоскости грани FF_1E_1E, а в этой плоскости у нас имеется точка – точка O.

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Следовательно, можно соединить точки S и O прямой. Эта прямая пересечет ребро EE_1 в точке T.

Задача 1. Шаг 4.

Шаг 5. Точка R принадлежит прямой ED, а следовательно, лежит в плоскости грани EE_1D_1D, таким образом, ее можно соединить с точкой T этой же плоскости прямой RT. Эта прямая пересечет ребро DD_1 в точке U. Для дальнейшего построения нам нужны точки в плоскости верхней грани призмы. Добудем их. Продлим прямую PM до пересечения с прямой A_1B_1. Отметим точку V.

Задача 1. Шаг 5.

Шаг 6. Проведем прямую E_1D_1, принадлежащую грани EE_1D_1D, и найдем точку ее пересечения с прямой RT – точку W. Тогда точки V и W принадлежат плоскости верхней грани (за счет принадлежности прямым этой плоскости) и их можно соединять прямой.

Задача 1. Шаг 6.

Шаг 7. Находим точки пересечения прямой VW с ребрами B_1C_1 и C_1D_1 – точки X и Y.

Задача 1. Шаг 7.

Шаг 8. Соединяем все полученные точки отрезками.

Задача 1. Шаг 8.

Окончательный вид сечения:

Окончание построения

 

Задача 2. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R.

Задача 2. Дано

Шаг 1. Проведем прямую PQ. Она принадлежит секущей плоскости. Также проведем проекцию этой прямой на плоскость нижнего основания призмы – прямую CA. Точка их пересечения одновременно принадлежит секущей плоскости и плоскости нижнего основания призмы. Обозначим ее S.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Аналогично поступим с точками Q и R: проводим прямую QR и ее проекцию в плоскости нижнего основания. Их пересечение – точка секущей плоскости U, одновременно лежащая в нижнем основании.

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Имея две точки в плоскости нижнего основания, проведем через них прямую SU, точки которой принадлежат секущей плоскости.

Проведем прямую AB. Она лежит в плоскости основания, но одновременно – в плоскости боковой грани, поэтому ее точки принадлежат этой боковой грани. Точка пересечения прямых AB и SU, таким образом, принадлежит плоскости боковой грани призмы и плоскости сечения.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Проводим прямую VP в плоскости боковой грани AA_1B_1B и отыскиваем точку пересечения ею ребра BB_1 – точку W.

Осталось немного: найти точку плоскости сечения на ребре DD_1, и пару точек в плоскости основания.

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем прямые AF и DE в плоскости основания. Они пересекут прямую SV секущей плоскости в точках Y и Z.

Задача 2. Шаг 5.

Шаг 6. Точки P и Y принадлежат плоскости грани AA_1F_1F, проведем через них прямую. Найдем точку, где эта прямая пересечет ребро FF_1 – точку M. Точки Z и R лежат в плоскости грани EE_1D_1D. Проводим через них прямую и находим точку пересечения этой прямой с ребром DD_1N.

 

Задача 2. Шаг 6.

Шаг 7. Соединяем точки отрезками.

Задача 2. Шаг 7.

Окончательный вид построенного сечения:

Окончательный вид построенного сечения

 

Задача 3. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R.

Задача 3. Дано

Шаг 1. Проводим прямую PR секущей плоскости, а также ее проекцию в плоскости основания AR. Прямая CD принадлежит плоскости основания и пересечет прямую AR в точке S. Заметим, что точка S не является точкой секущей плоскости.

Задача 3. Шаг 1.

Шаг 2. Из точки S проводим перпендикуляр к плоскости основания (к прямой AR), его пересечение с прямой PR – точка V – принадлежит секущей плоскости, а также плоскости грани CDD_1C_1.

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3. Соединим точки V и Q. Прямая VQ пересечет ребро призмы DD_1 в точке X.

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Заполучив точку X, можем провести отрезок RX. Вот тут-то нам и понадобится аксиоматический метод. Так как грань  AA_1B_1B  параллельна грани EE_1D_1D, то плоскость рассечет ее по прямой, которая будет параллельна RX. Вот и проведем через P такую параллельную прямой RX прямую. Она пересечет ребро A_1B_1 в точке Y.

Задача 3. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем также через точку P прямую, параллельную прямой VQ. Это можно сделать, так как грань CC_1D_1D параллельна грани AA_1F_1F. Прямая эта пересечет ребро AF в точке M.

Задача 3. Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

Задача 3. Шаг 6.

Окончательный вид:

Задача 3. Окончательный вид

 

 

Задача 4. Построить методом следов  сечение шестиугольной призмы ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 плоскостью, проходящей через точки S, T, U.

Задача 4. Дано

Шаг 1. Через точки S и U проводим прямую секущей плоскости. Также проведем проекции этой прямой на верхнее и нижнее основание – A_1D_1 на верхнее, и AD – на нижнее. Точки пересечения прямой SU с проекциями – это точки прокола данной прямой оснований призмы. Верхнее основание прямая SU прошьет в точке V, а нижнее – в точке W. Таким образом, мы заполучили точки секущей плоскости в плоскостях верхнего и нижнего оснований.

Задача 4. Шаг 1.

Шаг 2. Точки T и V принадлежат одной плоскости, проводим через них прямую. Эта прямая даст нам две точки: точку X, в которой она пересечет ребро A_1F_1, и точку Y, в которой она пересечет ребро C_1D_1.

Шаг 3. Приобретя точку X в грани AA_1F_1F, проведем прямую SX. Она пересечет ребро AF в точке Z.

Задача 4. Шаги 2-3.

Шаг 4.  Проведем через точку Z в плоскости основания призмы прямую, параллельную прямой VT (или можно провести через точки Z и W). Эта прямая пересечет ребро CD в точке M.

Задача 4. Шаг 4.

Шаг 5.  Соединяем точки  отрезками.

Задача 4. Шаг 5.

Окончательный вид:

Окончательный вид сечения

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *