Пошаговое построение сечения параллелепипеда

Построение сечения методом следов – это поэтапное отыскание точек, принадлежащих одной и той же плоскости грани и одновременно плоскости сечения, то есть прямым, проходящим через точки, принадлежащие сечению. Метод подходит для использования тогда, когда следы секущей плоскости и прямые граней многогранника пересекаются в области чертежа, то есть если сечение параллельно или почти параллельно основанию, этот метод построения не подойдет.

[latexpage]

Задача 1. Построить сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки  $T, U, V$.

Задача 1. Дано

Шаг 1. Чезез точки $U$ и $V$, которые принадлежат одной грани, и, следовательно, одной плоскости, проводим прямую. Точки этой прямой все принадлежат секущей плоскости. Точка $T$ лежит в плоскости основания, поэтому неплохо бы найти найти точку прямой $UV$, которая также принадлежала бы основанию. Для этого проводим прямую $CD$, и находим точку ее пересечения с прямой $UV$ – $W$.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямую $WT$, принадлежащую плоскости основания. Находим точку пересечения этой прямой ребра $AD$ – $X$.

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Точка $V$ лежит в задней грани, поэтому надо бы найти точку прямой $WT$, которая принадлежала бы плоскости задней грани. Для этого проведем прямую $BC$, которая принадлежит как плоскости основания, так и плоскости задней грани, и найдем точку ее пересечения с прямой $WT$ – $Y$. Через две точки задней грани проводим прямую $YV$, и находим место пересечения этой прямой с ребром $BB_1$ – $Z$.

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Окончание построения. Соединяем полученные точки отрезками, и строим многоугольник сечения.

Задача 1. Шаг 4.

Задача 2. Построить сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки  $T, U, V$

Задача 2. Дано.

Шаг 1. Точки $U$ и $T$ лежат в одной плоскости, можно соединить их прямой. Прямая $UT$ пересечет ребро $BB_1$ в точке $W$.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Точки $T$ и $V$ также лежат в одной плоскости. Соединяем их прямой и отыскиваем точку пересечения ею ребра $B_1C$ – $X$.

Задача 2. Шаг 2

Шаг 3. Найдем точку секущей плоскости, принадлежащую передней грани, чтобы затем через эту точку и точку $U$ можно было бы тоже провести след секущей плоскости. Для того, чтобы найти такую точку, проведем луч $A_1D_1$ и найдем его пересечение с прямой $TV$ – ведь обе эти прямые принадлежат плоскости верхней грани. Точка пересечения – точка $Y$. Точки $Y$ и $U$ можно соединить отрезком.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Находим точку пересечения отрезком $YU$ ребра $DD_1$ – точку $Z$.

Задача 2. Шаг 4

Шаг 5. После этого соединяем отрезками полученные точки и закрашиваем многоугольник сечения.

Задача 2. Шаг 5

Задача 3. Построить сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки  $T, U, V$

Задача 3. Дано.

Шаг 1. Построим прямую $TU$, это можно сделать, так как обе точки принадлежат одной грани. Точка $V$ принадлежит грани основания, поэтому нужна точка в этой плоскости.

Задача 3. Шаг 1

Шаг 2. Для того, чтобы найти точку, одновременно принадлежащую и секущей плоскости, и плоскости нижней грани, продолжим прямую $AB$ и найдем точку ее пересечения с прямой $TU$ – $W$.

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3. Проводим прямую $WV$ и находим точку пересечения этой прямой с ребром $BC$ – точка $X$.

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Теперь надо найти точку в плоскости передней  грани, потому что в этой плоскости у нас уже есть точка – точка $T$. Для того, чтобы найти такую точку, продлим прямую $AD$  и найдем пересечение этой прямой с прямой $WV$ – точка $Y$.

Задача 3. Шаг 4

Шаг 5. Проводим прямую $TY$, отыскиваем точки пересечения ею ребер $DD_1$ – точку $Z$, и ребра $A_1D_1$ – точку $K$.

Задача 3. Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки и получаем многоугольник сечения.

Задача 3. Шаг 6

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

Окончательный вид

Задача 4. Построить сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки  $T, U, V$. Точка $T$ в задней грани.

Задача 4. Дано

Шаг 1.  Проводим прямую через две точки одной плоскости – $U$ и $T$.  Определяем точку пересечения данной прямой ребра $BC$ – $W$.

Задача 4. Шаг 1.

Шаг 2. Продолжение прямой $TU$ пересечется с продолжением прямой $CC_1$ – так как обе прямые принадлежат плоскости задней грани. Точка $X$ также принадлежит задней грани, но также и боковой. А в боковой грани у нас есть точка $V$, и тогда можно провести прямую $XV$.

Задача 4. Шаг 2.

Шаг 3. Точка $Y$ – точка пересечения прямой $XV$ ребра $D_1C_1$. Продлим также ребро $CD$ и найдем пересечение прямой $CD$ и прямой $XV$ – точку $Z$, которая принадлежит плоскости основания.

Задача 4. Шаг 3

Шаг 4. Соединяем Точки $W$ и $Z$ плоскости основания, определяем точку пересечения данной прямой с ребром $AD$ – точку $K$. Соединяем полученные точки отрезками. Штрихуем полученный многоугольник сечения.

Задача 4. Шаг 4.

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

Окончание построения