Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Пошаговое построение сечения параллелепипеда

Построение сечения методом следов – это поэтапное отыскание точек, принадлежащих одной и той же плоскости грани и одновременно плоскости сечения, то есть прямым, проходящим через точки, принадлежащие сечению. Метод подходит для использования тогда, когда следы секущей плоскости и прямые граней многогранника пересекаются в области чертежа, то есть если сечение параллельно или почти параллельно основанию, этот метод построения не подойдет.

Задача 1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью, проходящей через точки  T, U, V.

Задача 1. Дано

Шаг 1. Чезез точки U и V, которые принадлежат одной грани, и, следовательно, одной плоскости, проводим прямую. Точки этой прямой все принадлежат секущей плоскости. Точка T лежит в плоскости основания, поэтому неплохо бы найти найти точку прямой UV, которая также принадлежала бы основанию. Для этого проводим прямую CD, и находим точку ее пересечения с прямой UVW.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямую WT, принадлежащую плоскости основания. Находим точку пересечения этой прямой ребра ADX.

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Точка V лежит в задней грани, поэтому надо бы найти точку прямой WT, которая принадлежала бы плоскости задней грани. Для этого проведем прямую BC, которая принадлежит как плоскости основания, так и плоскости задней грани, и найдем точку ее пересечения с прямой WTY. Через две точки задней грани проводим прямую YV, и находим место пересечения этой прямой с ребром BB_1Z.

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Окончание построения. Соединяем полученные точки отрезками, и строим многоугольник сечения.

Задача 1. Шаг 4.

 

Задача 2. Построить сечение параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью, проходящей через точки  T, U, V

Задача 2. Дано.

Шаг 1. Точки U и T лежат в одной плоскости, можно соединить их прямой. Прямая UT пересечет ребро BB_1 в точке W.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Точки T и V также лежат в одной плоскости. Соединяем их прямой и отыскиваем точку пересечения ею ребра B_1CX.

Задача 2. Шаг 2

Шаг 3. Найдем точку секущей плоскости, принадлежащую передней грани, чтобы затем через эту точку и точку U можно было бы тоже провести след секущей плоскости. Для того, чтобы найти такую точку, проведем луч A_1D_1 и найдем его пересечение с прямой TV – ведь обе эти прямые принадлежат плоскости верхней грани. Точка пересечения – точка Y. Точки Y и U можно соединить отрезком.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Находим точку пересечения отрезком YU ребра DD_1 – точку Z.

Задача 2. Шаг 4

Шаг 5. После этого соединяем отрезками полученные точки и закрашиваем многоугольник сечения.

Задача 2. Шаг 5

Задача 3. Построить сечение параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью, проходящей через точки  T, U, V

Задача 3. Дано.

Шаг 1. Построим прямую TU, это можно сделать, так как обе точки принадлежат одной грани. Точка V принадлежит грани основания, поэтому нужна точка в этой плоскости.

Задача 3. Шаг 1

Шаг 2. Для того, чтобы найти точку, одновременно принадлежащую и секущей плоскости, и плоскости нижней грани, продолжим прямую AB и найдем точку ее пересечения с прямой TUW.

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3. Проводим прямую WV и находим точку пересечения этой прямой с ребром BC – точка X.

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Теперь надо найти точку в плоскости передней  грани, потому что в этой плоскости у нас уже есть точка – точка T. Для того, чтобы найти такую точку, продлим прямую AD  и найдем пересечение этой прямой с прямой WV – точка Y.

Задача 3. Шаг 4

Шаг 5. Проводим прямую TY, отыскиваем точки пересечения ею ребер DD_1 – точку Z, и ребра A_1D_1 – точку K.

Задача 3. Шаг 5.

Шаг 6. Соединяем точки и получаем многоугольник сечения.

Задача 3. Шаг 6

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

Окончательный вид

Задача 4. Построить сечение параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью, проходящей через точки  T, U, V. Точка T в задней грани.

Задача 4. Дано

Шаг 1.  Проводим прямую через две точки одной плоскости – U и T.  Определяем точку пересечения данной прямой ребра BCW.

Задача 4. Шаг 1.

Шаг 2. Продолжение прямой TU пересечется с продолжением прямой CC_1 – так как обе прямые принадлежат плоскости задней грани. Точка X также принадлежит задней грани, но также и боковой. А в боковой грани у нас есть точка V, и тогда можно провести прямую XV.

Задача 4. Шаг 2.

Шаг 3. Точка Y – точка пересечения прямой XV ребра D_1C_1. Продлим также ребро CD и найдем пересечение прямой CD и прямой XV – точку Z, которая принадлежит плоскости основания.

Задача 4. Шаг 3

Шаг 4. Соединяем Точки W и Z плоскости основания, определяем точку пересечения данной прямой с ребром AD – точку K. Соединяем полученные точки отрезками. Штрихуем полученный многоугольник сечения.

Задача 4. Шаг 4.

Окончательный вид сечения с другого ракурса:

Окончание построения

Комментариев - 9

  • Мария
    |

    Спасибо большое.Все очень доступно изложено,с замечательными иллюстрированными примерами.

    Ответить
  • Людмила
    |

    спасибо за желание объяснять:доступно, подробно.

    Ответить
    • Анна
      |

      Отлично, рада, что пригодилось.

      Ответить
  • Алексей
    |

    Вы не разобрали вариант, когда точки T,U,V лежат на разных гранях, скажем, если на рисинке Т лежит на A1B1, U лежит на AD, V лежит на CC1. Что тогда? Действует ли метод? Спасибо

    Ответить
    • Анна
      |

      Да, действительно, такой случай не рассмотрен. Так как в этом случае более эффективным является метод внутреннего проецирования: https://easy-physic.ru/metod-vnutrennego-proecirovaniya/. Я обещаю сделать в ближайшее время.

      Ответить
  • Анна
    |

    Сделала статью. Выйдет, правда, в феврале.

    Ответить
  • Борис
    |

    Уважаемая Анна Валерьевна!
    Позвольте поблагодарить Вас за интересный и содержательный сайт.
    Здоровья Вам, творческих успехов и удачи.

    Незнакомец.

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо Вам!

      Ответить
  • Евгений
    |

    Спасибо за работу.Мне она пригодилась)

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *