Пошаговое построение сечения параллелепипеда через точки, лежащие в гранях.

[latexpage]

Сегодня попробуем построить наиболее сложное сечение, когда точки, принадлежащие ему, лежат в гранях параллелепипеда, а не на его ребрах.

Задача. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и точки $T, U , V$ в его гранях. Точка $U$ принадлежит нижней грани $A_1B_1C_1D_1$, точка $V$ – грани $AA_1B_1B$, точка $T$ – грани $BCC_1B_1$. Построить сечение параллелепипеда, проходящее через эти точки.

Рисунок 1

Рисунок 2

Шаг 1. Проведем через данные точки $U, T, V$ прямые, параллельные прямой $BB_1$. Точки пересечения этих вертикалей с ребрами $BC, B_1C_1, A_1D_1, AB, A_1B_1$ обозначим $P,H,W, M, K, L$.

Рисунок 3

Шаг 2. Проводим прямую через точки $T$ и $U$, принадлежащие сечению, и ее проекцию на нижнюю грань – прямую $HU$.

Рисунок 4.

Шаг 3. Находим точку $Q$, где прямая $HU$ пересечет ребро $D_1C_1$. Через точку $Q$ проводим вертикальную прямую и определяем точку, где эту вертикаль пересечет прямая $TU$. Эта точка пересечения $O$ во-первых, принадлежит сечению, во вторых, лежит в грани $DCC_1D_1$. Вообще все точки, принадлежащие сечению, будут иметь красный цвет, остальные – синий.

Рисунок 5.

Шаг 4. Проводим прямую $VU$, принадлежащую сечению, и ее проекцию на нижнюю грань  – прямую $LU$. Определяем точку пересечения $LU$ с ребром $D_1C_1$ – точку $N$.

Рисунок 6.

Шаг 5. Через точку $N$ проводим перпендикуляр. Прямая $VU$ пересечет его в точке $Y$. Эта точка принадлежит сечению. Также она принадлежит плоскости грани $DCC_1D_1$. Поэтому через точки $O$ и $Y$ можно провести прямую, которая вся будет принадлежать плоскости сечения, а также и грани $DCC_1D_1$. Находим точки пересечения прямой $OY$ с ребром $D_1C_1$ ($X$) и с ребром $CC_1$ – $R$.

Рисунок 7.

Шаг 6.  Через точки $R$ и $T$, лежащие в плоскости задней грани $BCC_1B_1$, проводим прямую. Определяем точку ее пересечения с продолжением ребра $B_1B$ – $S$, и с ребром $BC$ – $R_1$.

Рисунок 8.

Шаг 7. Через точки $S$ и $V$, лежащие в одной плоскости грани $ABB_1A_1$, проводим прямую. Она пересечет ребро $AA_1$ в точке $V_1$ (точек уже не хватает :)). Находим также, где прямая $SR$ пересечет продолжение ребра $B_1C_1$ – точку $T_1$.(да можно было и не строить, обойтись точками $X$ и $U$) .

Рисунок 9.

Шаг 8. Через точки $T_1$, $X$, $U$ проводим прямую до пересечения с ребром $A_1D_1$. Все, все точки пересечения плоскости сечения с ребрами найдены.

Рисунок 10.

Шаг 9. Проводим через точки $V_1, U_1, X, R, R_1$ сечение:

Рисунок 11.