Пошаговое построение сечения четырехугольной пирамиды

Сегодня научимся строить сечения четырехугольной правильной пирамиды. Использовать для построения будем метод следов. Пользоваться этим методом  неудобно и даже иногда невозможно, когда сечение имеет малый наклон или не имеет наклона к плоскости основания. Если такой случай вам попадется, лучше использовать метод внутреннего проецирования.

Задача 1. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Задача 1. Дано

Шаг 1. Через точки и , принадлежащие плоскости грани , проведем прямую . Определим точку плоскости основания пирамиды, которая бы принадлежала и секущей плоскости. Для этого проведем продолжение ребра и найдем точку его пересечения с прямой – точка .

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Аналогично найдем вторую точку секущей плоскости в плоскости основания: проводим  прямую , находим ее пересечение с продолжением ребра – точка .

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Через две точки можно провести прямую, и, так как точки и принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, то и прямая, проведенная через них, будет принадлежать обеим плоскостям. А раз эта прямая лежит в плоскости основания, то определим точки пересечения этой прямой с другими прямыми плоскости основания, например, с продолжением ребра – точка , и продолжением ребра – точка . Значит, точки   и – тоже точки плоскости сечения, а за счет того, что прямая лежит в плоскости грани , точка также принадлежит плоскости этой грани. Аналогично, так как прямая принадлежит плоскости грани , то и точка – точка этой же плоскости. Теперь можно соединить точки и – как точки одной плоскости, и соединить точки и .

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Пересечение прямых и даст нам последнюю точку искомого сечения – точку .

Задача 1. Шаг 4.

Проводим отрезки , , завершая построение:

Многоугольник сечения

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид

Задача 2. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Задача 2. Дано

Шаг 1. Проводим прямую , она принадлежит грани , так как точки и принадлежат ей.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Прямая пересечет прямую , и точка их пересечения   благодаря принадлежности прямой будет лежать в  плоскости основания.

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Точки и принадлежат плоскости основания, проведем через них прямую ,  найдем точку пересечения этой прямой ребра – точку . Продлим прямую до пересечения с прямой , получим точку . Точка принадлежит плоскости , тк как этой плоскости принадлежит прямая .

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Соединим точки и . Найдем место пересечения данной прямой ребра – точку .

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Соединяем полученные точки отрезками.

Задача 2. Шаг 5.

Окончательный вид с другого ракурса:

Окончательный вид сечения

Задача 3. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Задача 3. Дано

Шаг 1. Соединим и , как точки одной плоскости.

Задача 3. Шаг 1.

Шаг 2. Прямая принадлежит плоскости грани , следовательно, пересечет прямую этой же грани . Найдем точку их пересечения , продлив ребро  .

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3.  Точки и – “одного поля ягоды” – обе принадлежат плоскости грани . Поэтому соединим их, отметив точку пересечения с ребром – .

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Точки и принадлежат плоскости основания, соединяем их.  Прямая лежит в плоскости основания и пересечет прямую  в точке .

Задача 3. Шаги  4-5.

Шаг 5. Точки и соединяем, так как обе они принадлежат плоскости , и получаем последнюю точку сечения – на ребре .

Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

Задача 3. Шаг 6.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид сечения

Задача 4. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Задача 4. Дано.

Шаг 1-2. Точки и принадлежат грани , соединим их отрезком (прямой). Точки и принадлежат грани основания, также соединим их.

Задача 4. Шаги 1-2

Шаг 3. Прямая пересечет продолжение ребра в точке . Точка , таким образом, принадлежит плоскости грани .

Задача 4. Шаг 3.

Шаг 4.  Соединяем точки и , проводя прямую . Она пересечет ребро в точке .

Задача 4. Шаг 4.

Шаг 5. Соединяем полученные точки на ребрах отрезками:

Задача 4. Шаг 5.

Окончательный вид с удобного ракурса:

Окончательный вид