Сегодня научимся строить сечения четырехугольной правильной пирамиды. Использовать для построения будем метод следов. Пользоваться этим методом неудобно и даже иногда невозможно, когда сечение имеет малый наклон или не имеет наклона к плоскости основания. Если такой случай вам попадется, лучше использовать метод внутреннего проецирования.
Задача 1. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды плоскостью, проходящей через точки
.

Задача 1. Дано
Шаг 1. Через точки и
, принадлежащие плоскости грани
, проведем прямую
. Определим точку плоскости основания пирамиды, которая бы принадлежала и секущей плоскости. Для этого проведем продолжение ребра
и найдем точку его пересечения с прямой
– точка
.

Задача 1. Шаг 1.
Шаг 2. Аналогично найдем вторую точку секущей плоскости в плоскости основания: проводим прямую , находим ее пересечение с продолжением ребра
– точка
.

Задача 1. Шаг 2.
Шаг 3. Через две точки можно провести прямую, и, так как точки и
принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, то и прямая, проведенная через них, будет принадлежать обеим плоскостям. А раз эта прямая лежит в плоскости основания, то определим точки пересечения этой прямой с другими прямыми плоскости основания, например, с продолжением ребра
– точка
, и продолжением ребра
– точка
. Значит, точки
и
– тоже точки плоскости сечения, а за счет того, что прямая
лежит в плоскости грани
, точка
также принадлежит плоскости этой грани. Аналогично, так как прямая
принадлежит плоскости грани
, то и точка
– точка этой же плоскости. Теперь можно соединить точки
и
– как точки одной плоскости, и соединить точки
и
.

Задача 1. Шаг 3.
Шаг 4. Пересечение прямых и
даст нам последнюю точку искомого сечения – точку
.

Задача 1. Шаг 4.
Проводим отрезки ,
, завершая построение:

Многоугольник сечения
Окончательный вид сечения:

Окончательный вид
Задача 2. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды плоскостью, проходящей через точки
.

Задача 2. Дано
Шаг 1. Проводим прямую , она принадлежит грани
, так как точки
и
принадлежат ей.

Задача 2. Шаг 1.
Шаг 2. Прямая пересечет прямую
, и точка их пересечения
благодаря принадлежности прямой
будет лежать в плоскости основания.

Задача 2. Шаг 2.
Шаг 3. Точки и
принадлежат плоскости основания, проведем через них прямую
, найдем точку пересечения этой прямой ребра
– точку
. Продлим прямую
до пересечения с прямой
, получим точку
. Точка
принадлежит плоскости
, тк как этой плоскости принадлежит прямая
.

Задача 2. Шаг 3.
Шаг 4. Соединим точки и
. Найдем место пересечения данной прямой ребра
– точку
.

Задача 2. Шаг 4.
Шаг 5. Соединяем полученные точки отрезками.

Задача 2. Шаг 5.
Окончательный вид с другого ракурса:

Окончательный вид сечения
Задача 3. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды плоскостью, проходящей через точки
.

Задача 3. Дано
Шаг 1. Соединим и
, как точки одной плоскости.

Задача 3. Шаг 1.
Шаг 2. Прямая принадлежит плоскости грани
, следовательно, пересечет прямую этой же грани
. Найдем точку их пересечения
, продлив ребро
.

Задача 3. Шаг 2.
Шаг 3. Точки и
– “одного поля ягоды” – обе принадлежат плоскости грани
. Поэтому соединим их, отметив точку пересечения с ребром
–
.

Задача 3. Шаг 3.
Шаг 4. Точки и
принадлежат плоскости основания, соединяем их. Прямая
лежит в плоскости основания и пересечет прямую
в точке
.

Задача 3. Шаги 4-5.
Шаг 5. Точки и
соединяем, так как обе они принадлежат плоскости
, и получаем последнюю точку сечения –
на ребре
.
Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

Задача 3. Шаг 6.
Окончательный вид сечения:

Окончательный вид сечения
Задача 4. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды плоскостью, проходящей через точки
.

Задача 4. Дано.
Шаг 1-2. Точки и
принадлежат грани
, соединим их отрезком (прямой). Точки
и
принадлежат грани основания, также соединим их.

Задача 4. Шаги 1-2
Шаг 3. Прямая пересечет продолжение ребра
в точке
. Точка
, таким образом, принадлежит плоскости грани
.

Задача 4. Шаг 3.
Шаг 4. Соединяем точки и
, проводя прямую
. Она пересечет ребро
в точке
.

Задача 4. Шаг 4.
Шаг 5. Соединяем полученные точки на ребрах отрезками:

Задача 4. Шаг 5.
Окончательный вид с удобного ракурса:

Окончательный вид
Комментариев - 2
Пожалуйста, откройте чертежи построения сечения пирамиды.
Не поняла Вас, Татьяна: у меня нормально все отображается, все картинки видны.