Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Пошаговое построение сечения четырехугольной пирамиды

Сегодня научимся строить сечения четырехугольной правильной пирамиды. Использовать для построения будем метод следов. Пользоваться этим методом  неудобно и даже иногда невозможно, когда сечение имеет малый наклон или не имеет наклона к плоскости основания. Если такой случай вам попадется, лучше использовать метод внутреннего проецирования.

Задача 1. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки  M,O,N.

Задача 1. Дано

Шаг 1. Через точки M и N, принадлежащие плоскости грани SAD, проведем прямую MN. Определим точку плоскости основания пирамиды, которая бы принадлежала и секущей плоскости. Для этого проведем продолжение ребра AD и найдем точку его пересечения с прямой MN – точка P.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Аналогично найдем вторую точку секущей плоскости в плоскости основания: проводим  прямую ON, находим ее пересечение с продолжением ребра CD – точка Q.

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Через две точки можно провести прямую, и, так как точки Q и P принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, то и прямая, проведенная через них, будет принадлежать обеим плоскостям. А раз эта прямая лежит в плоскости основания, то определим точки пересечения этой прямой с другими прямыми плоскости основания, например, с продолжением ребра AB – точка R, и продолжением ребра BC – точка H. Значит, точки  R и H – тоже точки плоскости сечения, а за счет того, что прямая AB лежит в плоскости грани ASB, точка R также принадлежит плоскости этой грани. Аналогично, так как прямая BC принадлежит плоскости грани SBC, то и точка H – точка этой же плоскости. Теперь можно соединить точки R и M – как точки одной плоскости, и соединить точки O и H.

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Пересечение прямых RM и OH даст нам последнюю точку искомого сечения – точку T.

Задача 1. Шаг 4.

Проводим отрезки MT, TO, завершая построение:

Многоугольник сечения

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид

 

Задача 2. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки  G, H, L.

Задача 2. Дано

Шаг 1. Проводим прямую GH, она принадлежит грани ASB, так как точки G и H принадлежат ей.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Прямая GH пересечет прямую AB, и точка их пересечения  F благодаря принадлежности прямой AB будет лежать в  плоскости основания.

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Точки F и L принадлежат плоскости основания, проведем через них прямую FL,  найдем точку пересечения этой прямой ребра BC – точку M. Продлим прямую FL до пересечения с прямой AD, получим точку E. Точка E принадлежит плоскости ASD, тк как этой плоскости принадлежит прямая AD.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Соединим точки G и E. Найдем место пересечения данной прямой ребра SD – точку N.

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Соединяем полученные точки отрезками.

Задача 2. Шаг 5.

Окончательный вид с другого ракурса:

Окончательный вид сечения

Задача 3. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки  G, H, J.

Задача 3. Дано

Шаг 1. Соединим H и J, как точки одной плоскости.

Задача 3. Шаг 1.

Шаг 2. Прямая JH принадлежит плоскости грани SAB, следовательно, пересечет прямую этой же грани SA. Найдем точку их пересечения E, продлив ребро  SA.

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3.  Точки E и G – “одного поля ягоды” – обе принадлежат плоскости грани SAD. Поэтому соединим их, отметив точку пересечения с ребром ADF.

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Точки F и J принадлежат плоскости основания, соединяем их.  Прямая JF лежит в плоскости основания и пересечет прямую CD  в точке M.

Задача 3. Шаги  4-5.

Шаг 5. Точки M и G соединяем, так как обе они принадлежат плоскости SDC, и получаем последнюю точку сечения – I на ребре SC.

Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

Задача 3. Шаг 6.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид сечения

 

Задача 4. Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки  M,J,N.

Задача 4. Дано.

Шаг 1-2. Точки N и M принадлежат грани SDC, соединим их отрезком (прямой). Точки M и J принадлежат грани основания, также соединим их.

Задача 4. Шаги 1-2

Шаг 3. Прямая MJ пересечет продолжение ребра AD в точке K. Точка K, таким образом, принадлежит плоскости грани SAD.

Задача 4. Шаг 3.

Шаг 4.  Соединяем точки N и K, проводя прямую NK. Она пересечет ребро SA в точке L.

Задача 4. Шаг 4.

Шаг 5. Соединяем полученные точки на ребрах отрезками:

Задача 4. Шаг 5.

Окончательный вид с удобного ракурса:

Окончательный вид

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *