Поршни большие и маленькие

[latexpage]

Все задачи этой статьи – задачи, связанные с изопроцессами. Когда меняется объем – неизбежно меняется и давление, а если газ нагреть под поршнем – то давление останется тем же, а вот объем – нет.

Задача 1. Один конец цилиндрической трубки длиной 25 см и радиусом  1 см закрыт пробкой, а в другой вставлен поршень, который медленно вдвигают в трубку. Когда поршень подвинется на расстояние 8 см, пробка вылетает. Определите силу трения пробки о стенки трубки в момент вылета пробки. Атмосферное давление нормальное.

Когда мы будем вдвигать поршень (заметьте: медленно, следовательно, температура постоянна), то мы будем уменьшать объем воздуха между поршнем и пробкой, тем самым повышая его давление. На пробку действует сила трения и атмосферное давление, но! На поршень – тоже давит атмосфера, поэтому в этой задаче мы атмосферное давление не будем учитывать. Следовательно, сила трения равна силе давления воздуха внутри.

Когда пробка вылетит, мы подвинем поршень на $\Delta l=0,08$. С учетом того, что начальный объем воздуха $lS$, а конечный – $(l-\Delta l)S$, можем составить уравнение Бойля-Мариотта:

$$p_1V_1=p_2V_2$$

$$p_2=\frac{ p_1V_1}{ V_2}=\frac{ p_1 lS }{ (l-\Delta l)S }=\frac{ p_1 l }{ l-\Delta l }$$

Сила давления будет равна:

$$F_{tr}=F_p=p_2S=\frac{ p_1 l S}{ l-\Delta l }=\frac{ p_1 l \cdot \pi \cdot r^2}{ l-\Delta l }$$

$$F_{tr}=\frac{ 10^5\cdot 0,25 \cdot \pi \cdot 0,01^2}{ 0,25-0,08 }=46,2$$
Ответ: сила трения равна 46,2 Н.

Задача 2.  Два одинаковые сосуда, наполненные водородом, соединены трубкой, в которой находится столбик ртути.  В одном  сосуде температура водорода 0 °С, в другом – 20 °С. Сдвинется ли столбик ртути, если оба сосуда нагреть на 10 °С? В каком направлении?

Пусть давление в обоих сосудах было равно $p$. После нагрева сосудов давление в первом станет равным $p_1$, а во втором – $p_2$. Примем объем сосудов постоянным и равным $V$ –  как будто кто-то придерживает столбик ртути до поры. Тогда для первого сосуда:

$$\frac {pV }{T_1} =\frac {p_1V}{T_1+\Delta T}$$

$$\frac{p_1}{p}=\frac{ T_1+\Delta T }{ T_1}$$

А для второго:

$$\frac {pV }{T_2} =\frac {p_2V}{T_2+\Delta T}$$

$$\frac{p_2}{p}=\frac{ T_2+\Delta T }{ T_2}$$

То есть

$$p_1=p\left(1+\frac{\Delta T }{ T_1}\right)$$

$$p_2=p\left(1+\frac{\Delta T }{ T_2}\right)$$

Но $\frac{\Delta T }{ T_1}>\frac{\Delta T }{ T_2}$, поэтому давление вырастет больше в первом, менее нагретом, сосуде, следовательно, столбик сместится в сторону более нагретого.

К задаче 3

Задача 3.  В цилиндре под поршнем площадью 100 см$^2$ находится 28 г азота при температуре 273 К. Цилиндр нагревается до температуры 373 К. На сколько поднимется поршень, если его масса равна 100 кг. Атмосферное давление нормальное.

На поршень снизу давит газ, а сверху – атмосфера. Кроме того, нужно учесть силу тяжести. Тогда

$$p_1=p_0+\frac{m_pg}{S}$$

Газ занимает некоторый объем до того, как его начали подогревать. Этот объем можно определить:

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

$$V_1=\frac{\nu R T_1 }{p_1}=\frac{m R T_1}{Mp_1}=\frac{m R T_1}{M(p_0+\frac{m_pg}{S})}$$

Тогда начальная высота поршня равна

$$h_1=\frac{V_1}{S}=\frac{m R T_1}{MS(p_0+\frac{m_pg}{S})}=\frac{m R T_1}{M (p_0S+m_pg)}$$

Затем газ нагреют, и при неизменном давлении он начнет расширяться. И займет новый объем – $V_2$. По закону Гей-Люссака этот объем будет равен:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

$$V_2=\frac{T_2}{T_1}V_1$$

Высота положения поршня при этом

$$h_2=\frac{T_2}{T_1}h_1$$

Найдем изменение высоты положения поршня. При этом, так как $h_2>h_1$, то $\Delta h=h_2-h_1$.

$$\Delta h=\frac{T_2}{T_1}h_1-h_1=h_1\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)$$

$$\Delta h=\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)\cdot \frac{m R T_1}{M (p_0S+m_pg)}$$
$$\Delta h=\left(\frac{373}{273}-1\right)\cdot \frac{0,028\cdot8,31\cdot273}{0,028 (10^5\cdot10^{-2}+1000)}=0,415$$

Ответ: поршень поднимется на  41,5 см.