Поршни большие и маленькие

Все задачи этой статьи – задачи, связанные с изопроцессами. Когда меняется объем – неизбежно меняется и давление, а если газ нагреть под поршнем – то давление останется тем же, а вот объем – нет.

Задача 1. Один конец цилиндрической трубки длиной 25 см и радиусом 1 см закрыт пробкой, а в другой вставлен поршень, который медленно вдвигают в трубку. Когда поршень подвинется на расстояние 8 см, пробка вылетает. Определите силу трения пробки о стенки трубки в момент вылета пробки. Атмосферное давление нормальное.

Когда мы будем вдвигать поршень (заметьте: медленно, следовательно, температура постоянна), то мы будем уменьшать объем воздуха между поршнем и пробкой, тем самым повышая его давление. На пробку действует сила трения и атмосферное давление, но! На поршень – тоже давит атмосфера, поэтому в этой задаче мы атмосферное давление не будем учитывать. Следовательно, сила трения равна силе давления воздуха внутри.

Когда пробка вылетит, мы подвинем поршень на $\Delta l=0,08$ . С учетом того, что начальный объем воздуха $lS$ , а конечный – $(l-\Delta l)S$ , можем составить уравнение Бойля-Мариотта:

$p_1V_1=p_2V_2$

$p_2=\frac{ p_1V_1}{ V_2}=\frac{ p_1 lS }{ (l-\Delta l)S }=\frac{ p_1 l }{ l-\Delta l }$

Сила давления будет равна:

$F_{tr}=F_p=p_2S=\frac{ p_1 l S}{ l-\Delta l }=\frac{ p_1 l \cdot \pi \cdot r^2}{ l-\Delta l }$

$F_{tr}=\frac{ 10^5\cdot 0,25 \cdot \pi \cdot 0,01^2}{ 0,25-0,08 }=46,2$

Ответ: сила трения равна 46,2 Н.

Задача 2. Два одинаковые сосуда, наполненные водородом, соединены трубкой, в которой находится столбик ртути. В одном сосуде температура водорода 0 °С, в другом – 20 °С. Сдвинется ли столбик ртути, если оба сосуда нагреть на 10 °С? В каком направлении?

Пусть давление в обоих сосудах было равно $p$ . После нагрева сосудов давление в первом станет равным $p_1$ , а во втором – $p_2$ . Примем объем сосудов постоянным и равным $V$ – как будто кто-то придерживает столбик ртути до поры. Тогда для первого сосуда:

$\frac {pV }{T_1} =\frac {p_1V}{T_1+\Delta T}$

$\frac{p_1}{p}=\frac{ T_1+\Delta T }{ T_1}$

А для второго:

$\frac {pV }{T_2} =\frac {p_2V}{T_2+\Delta T}$

$\frac{p_2}{p}=\frac{ T_2+\Delta T }{ T_2}$

То есть

$p_1=p\left(1+\frac{\Delta T }{ T_1}\right)$

$p_2=p\left(1+\frac{\Delta T }{ T_2}\right)$

Но $\frac{\Delta T }{ T_1}>\frac{\Delta T }{ T_2}$ , поэтому давление вырастет больше в первом, менее нагретом, сосуде, следовательно, столбик сместится в сторону более нагретого.

К задаче 3

Задача 3. В цилиндре под поршнем площадью 100 см $^2$ находится 28 г азота при температуре 273 К. Цилиндр нагревается до температуры 373 К. На сколько поднимется поршень, если его масса равна 100 кг. Атмосферное давление нормальное.