Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 10-11 класс

Получение уравнения плоскости, параллельной вектору

Несколько задач на построение плоскости. Теперь будем получать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельной заданному вектору.

Задача 1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1, про него известно, что AB=5; DC=12; AA_1=14. Задача: получить уравнение плоскости, проходящей через точки A_1 и B_1 и параллельной вектору \vec{BD_1}.

К задаче 1

Введем систему координат.  Начало совместим с точкой A, оси направим так, как показано на рисунке.

К задаче 1- система координат

Определим координаты точки A_1: A_1 (0; 0; 14)

Определим координаты точки B_1: B_1 (0; 5; 14)

Определим координаты точки B: B (0; 5; 0)

Определим координаты точки D_1: D_1 (12; 0; 14)

 

Тогда координаты вектора \vec{ BD_1} \{12; -5; 14\}. Этот вектор параллелен плоскости, поэтому он перпендикулярен нормали \vec{n} \{a; b; c\}. Общее уравнение плоскости

    \[ax+by+cz+d=0\]

Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Из этого условия и условия принадлежности точек A_1 и B_1 плоскости составим систему.

Условие перпендикулярности:

    \[\vec{n}\cdot\vec{DC}=0\]

Имеем:

    \[\begin{Bmatrix}{ a\cdot 12-b\cdot 5+c\cdot 14=0}\\{ a\cdot 0+b\cdot0+c\cdot14+d=0}\\{ a\cdot0+b\cdot 5+c\cdot14+d=0}\end{matrix}\]

Тогда b=0, c=-\frac{d}{14}, a=\frac{d}{12}

И уравнение плоскости принимает вид

    \[\frac{1}{12}x-\frac{1}{14}z+1=0\]

Ответ: \frac{1}{12}x-\frac{1}{14}z+1=0

Задача 2, для самостоятельного решения. В единичном кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 записать уравнение плоскости, проходящей через точки C и C_1 и параллельной вектору A_1O, где O – центр грани DCC_1D_1.

К задаче 2- система координат

 

Показать

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *