Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 10-11 класс

Получение уравнения плоскости, параллельной двум ненулевым векторам

Несколько задач на получение уравнения плоскости. Сегодня будем искать уравнение плоскости, параллельной двум векторам.

Задача 1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1, про него известно, что AB=5; DC=12; AA_1=14. Задача: получить уравнение плоскости, проходящей через точку P, являющуюся точкой пересечения диагоналей, и параллельной векторам \vec{AD_1} и B_1C.

К задаче 1

Введем систему координат.  Начало совместим с точкой A, оси направим так, как показано на рисунке.

К задаче 1 – система координат

Определим координаты точки D_1: D_1 (12; 0; 14)

Определим координаты точки A: A (0; 0; 0)

Определим координаты точки C: C (12; 5; 0)

Определим координаты точки B_1: B_1 (0; 5; 14)

Определим координаты точки P: P (6; 2,5; 7)

Тогда координаты вектора \vec{ AD_1} \{12; 0; 14\}, а координаты вектора \vec{B_1C} \{12; 0; -14\}. Оба вектора параллельны плоскости, а значит, перпендикулярны нормали к ней. Поэтому скалярное произведение вектора нормали и данных векторов должно быть равно 0. И дополнит систему уравнение, в которое мы подставим координаты точки P, так как она принадлежит плоскости.

Общее уравнение плоскости

    \[ax+by+cz+d=0\]

Условия перпендикулярности:

    \[\vec{n}\cdot\vec{AD_1}=0\]

    \[\vec{n}\cdot\vec{B_1C}=0\]

Имеем:

    \[\begin{Bmatrix}{ a\cdot 12+b\cdot 0+c\cdot 14=0}\\{ a\cdot 12+b\cdot0-c\cdot 14=0}\\{ a\cdot6+b\cdot 2,5+c\cdot7+d=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ 12a+14c=0}\\{12a-14c=0}\\{ 6a+2,5b+7c+d=0}\end{matrix}\]

Если d=1, то b=-0,4, c=0,  a=0.

И уравнение плоскости принимает вид

    \[-\frac{2}{5}y+1=0\]

Ответ: -\frac{2}{5}y+1=0

Задача 2 для самостоятельного решения.

Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; 0; 0) и параллельной векторам TN \{-3; 0; 1\} и KP \{0; 3; -1\}.

Показать

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *