Показатель преломления. Дисперсия.

В статье собраны задачи, относящиеся как к явлению дифракции, так и дисперсии, и объединенные понятием “показатель преломления”.

Задача 1. Для излучения некоторой длины волны дифракционный максимум первого порядка наблюдают под углом $\varphi_1 = 8‚5^{\circ}$ . Какой угол дифракции соответствует последнему максимуму для той же длины волны?
Угол дифракции – угол между нормалью дифракционной решетки и направлением на дифракционный максимум.

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

$d \sin \varphi_1= m_1\lambda$

С учетом того, что $m_1=1$ , получаем выражение для синуса угла дифракции:

$\sin \varphi_1 = \frac{\lambda}{d}$

Для последнего максимума угол будет другим:

$d \sin \varphi_n= m_n\lambda$

Но нам неизвестен порядок этого максимума – $m_n$ .
Устремим угол, соответствующий последнему максимуму, в бесконечность. Тогда синус этого угла будет стремиться к 1. Следовательно,

$m_n=\frac{ d }{\lambda }$

Но

$\frac{ d }{ \lambda }=\frac{1}{\sin \varphi_1}$

Тогда

$m_n=\frac{1}{\sin \varphi_1}=\frac{1}{\sin 8‚5^{\circ}}=6$

$d \sin \varphi_n= 6\lambda$

$\sin \varphi_n=6\frac{\lambda }{d}=6\sin \varphi_1=0,886$

$\varphi_n=\operatorname{arcsin}(0,886)=62,5^{\circ}$

Ответ: $\varphi_n=62,5^{\circ}$ .

Задача 2. При падении на дифракционную решетку монохроматического света первый дифракционный максимум наблюдают под углом дифракции $\varphi_1 = 6‚9^{\circ}$ ‚ а последний – под углом $\varphi_m = 74^{\circ}$ . Чему равен максимальный порядок спектра решетки для длин волн вблизи длины волны падающего света?

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

$d \sin \varphi_1= m_1\lambda$

С учетом того, что $m_1=1$ , получаем выражение для синуса угла дифракции:

$\sin \varphi_1 = \frac{\lambda}{d}$

Для последнего максимума угол будет другим:

$d \sin \varphi_n= m_n\lambda$

$m_n=\frac{d}{\lambda }\sin \varphi_n=\frac{\sin \varphi_n }{\sin \varphi_1 }=\frac{\sin 74^{\circ} }{\sin 6‚9^{\circ}}=8$

Ответ: $m_n=8$ .

К задаче 3

Задача 3. В водоем на некоторую глубину помещен источник белого света. Показатель преломления для красных лучей $n_k = 1,328$ , а для фиолетовых $n_f= 1,385$ . Вычислить отношение радиусов кругов, в пределах которых возможен выход красных и фиолетовых лучей из воды в воздух.

Выход лучей возможен, если угол, под которым они падают на поверхность жидкости, не превышает предельного:

$\sin {\alpha_{pred k}=\frac{1}{n_k}$

$\sin {\alpha_{pred f}=\frac{1}{n_f}$

Найдем синусы предельных углов из геометрических соображений:

$\sin {\alpha_{pred k}=\frac{R_k}{\sqrt{R_k^2+h^2}}$

$\sin {\alpha_{pred f}=\frac{R_f}{\sqrt{R_f^2+h^2}}$

Возведем в квадрат оба выражения:

$\sin^2 {\alpha_{pred k}}=\frac{R^2_k}{R_k^2+h^2}$

$\sin^2 {\alpha_{pred f}}=\frac{R^2_f}{R_f^2+h^2}$

$\sin^2 {\alpha_{pred k}}(R_k^2+h^2)=R^2_k$

$\sin^2 {\alpha_{pred f}}(R_f^2+h^2)=R^2_f$

$R_k^2(1-\sin^2 {\alpha_{pred k}})=h^2= R_f^2(1-\sin^2 {\alpha_{pred f}})$

Тогда отношение радиусов:

$\frac{ R_k }{ R_f}=\sqrt{\frac{1-\left(\frac{1}{n_k}\right)^2}{1-\left(\frac{1}{n_f}\right)^2}}$

$\frac{ R_k }{ R_f}=\sqrt{\frac{( n_k^2-1) n_f^2}{( n_f^2-1) n_k^2}}=\frac{ n_f}{ n_k}\sqrt{\frac{ n_k^2-1}{n_f^2-1}}=\frac{ 1,385}{ 1,328}\sqrt{\frac{ 1,328^2-1}{1,385^2-1}}=0,99$

Ответ: $\frac{ R_k }{ R_f}=0,99$ .
Задача 4. Луч света падает под углом $\alpha = 30^{\circ}$ на призму, преломляющий угол которой $\varphi = 45^{\circ}$ . Определить угол $Q$ между крайними лучами спектра при выходе из призмы, если показатель преломления стекла призмы для крайних лучей видимого спектра $n_k = 1,62$ и $n_f = 1,67$ .