Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Волновая оптика

Показатель преломления. Дисперсия.

В статье собраны задачи, относящиеся как к явлению дифракции, так и дисперсии, и объединенные понятием “показатель преломления”.

Задача 1. Для излучения некоторой длины волны дифракционный максимум первого порядка наблюдают под углом \varphi_1 = 8‚5^{\circ}. Какой угол дифракции соответствует последнему максимуму для той же длины волны?
Угол дифракции –  угол между нормалью дифракционной решетки и направлением на дифракционный максимум.

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

    \[d \sin \varphi_1= m_1\lambda\]

С учетом того, что m_1=1, получаем выражение для синуса угла дифракции:

    \[\sin \varphi_1 = \frac{\lambda}{d}\]

Для последнего максимума угол будет другим:

    \[d \sin \varphi_n= m_n\lambda\]

Но нам неизвестен порядок этого максимума – m_n.
Устремим угол, соответствующий последнему максимуму, в бесконечность. Тогда синус этого угла будет стремиться к 1. Следовательно,

    \[m_n=\frac{ d }{\lambda }\]

Но

    \[\frac{ d }{ \lambda }=\frac{1}{\sin \varphi_1}\]

Тогда

    \[m_n=\frac{1}{\sin \varphi_1}=\frac{1}{\sin 8‚5^{\circ}}=6\]

И

    \[d \sin \varphi_n= 6\lambda\]

    \[\sin \varphi_n=6\frac{\lambda }{d}=6\sin \varphi_1=0,886\]

    \[\varphi_n=\operatorname{arcsin}(0,886)=62,5^{\circ}\]

Ответ: \varphi_n=62,5^{\circ}.

Задача 2. При падении на дифракционную решетку монохроматического света первый дифракционный максимум наблюдают под углом дифракции \varphi_1 = 6‚9^{\circ}‚ а последний – под углом \varphi_m = 74^{\circ}. Чему равен максимальный порядок спектра решетки для длин волн вблизи длины волны падающего света?

Воспользуемся формулой для дифракционной решетки:

    \[d \sin \varphi_1= m_1\lambda\]

С учетом того, что m_1=1, получаем выражение для синуса угла дифракции:

    \[\sin \varphi_1 = \frac{\lambda}{d}\]

Для последнего максимума угол будет другим:

    \[d \sin \varphi_n= m_n\lambda\]

    \[m_n=\frac{d}{\lambda }\sin \varphi_n=\frac{\sin \varphi_n }{\sin \varphi_1 }=\frac{\sin 74^{\circ} }{\sin 6‚9^{\circ}}=8\]

Ответ: m_n=8.

К задаче 3

Задача 3. В водоем на некоторую глубину помещен источник белого света. Показатель преломления для красных лучей n_k = 1,328, а для фиолетовых n_f= 1,385. Вычислить отношение радиусов кругов, в пределах которых возможен выход красных и фиолетовых лучей из воды в воздух.

Выход лучей возможен, если угол, под которым они падают на поверхность жидкости, не превышает предельного:

    \[\sin {\alpha_{pred k}=\frac{1}{n_k}\]

    \[\sin {\alpha_{pred f}=\frac{1}{n_f}\]

Найдем синусы предельных углов из геометрических соображений:

    \[\sin {\alpha_{pred k}=\frac{R_k}{\sqrt{R_k^2+h^2}}\]

    \[\sin {\alpha_{pred f}=\frac{R_f}{\sqrt{R_f^2+h^2}}\]

Возведем в квадрат оба выражения:

    \[\sin^2 {\alpha_{pred k}}=\frac{R^2_k}{R_k^2+h^2}\]

    \[\sin^2 {\alpha_{pred f}}=\frac{R^2_f}{R_f^2+h^2}\]

    \[\sin^2 {\alpha_{pred k}}(R_k^2+h^2)=R^2_k\]

    \[\sin^2 {\alpha_{pred f}}(R_f^2+h^2)=R^2_f\]

    \[R_k^2(1-\sin^2 {\alpha_{pred k}})=h^2= R_f^2(1-\sin^2 {\alpha_{pred f}})\]

Тогда отношение радиусов:

    \[\frac{ R_k }{ R_f}=\sqrt{\frac{1-\left(\frac{1}{n_k}\right)^2}{1-\left(\frac{1}{n_f}\right)^2}}\]

    \[\frac{ R_k }{ R_f}=\sqrt{\frac{( n_k^2-1) n_f^2}{( n_f^2-1) n_k^2}}=\frac{ n_f}{ n_k}\sqrt{\frac{ n_k^2-1}{n_f^2-1}}=\frac{ 1,385}{ 1,328}\sqrt{\frac{ 1,328^2-1}{1,385^2-1}}=0,99\]

Ответ: \frac{ R_k }{ R_f}=0,99.
Задача 4. Луч света падает под углом \alpha = 30^{\circ} на призму, преломляющий угол которой \varphi = 45^{\circ}. Определить угол Q между крайними лучами спектра при выходе из призмы, если показатель преломления стекла призмы для крайних лучей видимого спектра n_k = 1,62 и n_f = 1,67.

Определим, как преломятся лучи красного и фиолетового цветов на входе в призму:

    \[\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin \alpha_k}=\frac{1}{n_k}\]

    \[\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin \alpha_f}=\frac{1}{n_f}\]

    \[\sin \alpha_k=\frac{\sin 30^{\circ}}{n_k}\]

    \[\sin \alpha_f=\frac{\sin 30^{\circ}}{n_f}\]

Какой угол будет между лучами внутри призмы, такой будет и на выходе из нее, поэтому:

    \[Q=\operatorname{arcsin}\alpha_f-\operatorname{arcsin}\alpha_k=56,6^{\circ}-54,1^{\circ}=2,5^{\circ}\]

Ответ: Q=2,5^{\circ}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *