Погрешности

В задании 22 ЕГЭ по физике (2017) нужно уметь определять погрешности вычислений различных величин. Теория вычисления различных погрешностей  – сложная самостоятельная наука, которую преподают обычно в вузах. Для школы и для успешной сдачи экзамена нам потребуются базовые знания, которые я и собрала в этой статье.

В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, производить различные вычисления. Результатами измерений, подсчетов и вычислений являются числа. Однако точные измерения невозможны ввиду несовершенства наших органов зрения, неточности измерительных приборов и некоторых свойств самих измеряемых объектов.

При различных измерениях одной и той же величины получают различные приближенные значения. Каждое из этих приближений отличается от истинного значения на некоторую величину, называемую погрешностью.

Абсолютной погрешностью называется модуль разности истинного и приближенного значения некоторой величины, обозначается она буквой  и измеряется в тех же единицах, что и вычисляемая величина:

Где – истинное значение, – приближенное.

Из этого определения следует, что истинное значение величины равно приближенному значению плюс-минус абсолютная погрешность :

Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений, т.к., например, точность 1 см для определения ширины стадиона является высокой, а для определения длины листа бумаги – низкой. Поэтому для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности приближения к модулю числа приближенного значения. Обозначается относительная погрешность буквой   (эпсилон) и выражается в процентах:

Далее я приведу таблицу правил определения погрешностей сумм, разностей, произведений и т.п.

Погрешности

Ну и теперь порешаем задачи, чтобы окончательно разобраться.

Задача 1. Чтобы оце­нить, каков будет пе­ри­од малых ко­ле­ба­ний ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка, ис­поль­зу­ем для вы­чис­ле­ний на каль­ку­ля­то­ре фор­му­лу .  По оцен­ке «на гла­зок» длина нити равна  м. Каль­ку­ля­тор по­ка­зы­ва­ет на экра­не число 2,4322335. Чему равен, с учётом по­греш­но­сти оцен­ки длины нити, пе­ри­од ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка? (Ответ дайте в се­кун­дах, зна­че­ние и по­греш­но­сть за­пи­ши­те через точку с за­пя­той без про­бе­лов.)

Относительная погрешность определения периода равна

С другой стороны, по таблице находим, что

Тогда

Тогда

Так как по правилам вычисления погрешностей мы должны оставить одну значащую цифру, то получим c, так как погрешность определена с точностью до сотых, то период тоже округляем до сотых: . Имеем:

Ответ: 2,43;0,08

Задача 2. При опре­де­ле­нии массы масла плот­но­стью 0,9 г/см уче­ник из­ме­рил объём масла с ис­поль­зо­ва­ни­ем мер­но­го ци­лин­дра:  см. За­пи­ши­те в ответ массу масла в грам­мах с учётом по­греш­но­сти из­ме­ре­ний через точку с за­пя­той без про­бе­лов.

Определяем массу масла:

Определим погрешность вычисления:

Оставляя одну значащую цифру, имеем:  г – тогда с такой же точностью и саму величину запишем: 

Ответ: 16,2;0,5