Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Динамика, Квантово-оптические явления, Кинематика, Колебания и волны, Молекулярно-кинетическая теория, Оптика, Электромагнетизм

Погрешности

В задании 22 ЕГЭ по физике (2017) нужно уметь определять погрешности вычислений различных величин. Теория вычисления различных погрешностей  – сложная самостоятельная наука, которую преподают обычно в вузах. Для школы и для успешной сдачи экзамена нам потребуются базовые знания, которые я и собрала в этой статье.

В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, производить различные вычисления. Результатами измерений, подсчетов и вычислений являются числа. Однако точные измерения невозможны ввиду несовершенства наших органов зрения, неточности измерительных приборов и некоторых свойств самих измеряемых объектов.

При различных измерениях одной и той же величины получают различные приближенные значения. Каждое из этих приближений отличается от истинного значения на некоторую величину, называемую погрешностью.

Абсолютной погрешностью называется модуль разности истинного и приближенного значения некоторой величины, обозначается она буквой \Delta и измеряется в тех же единицах, что и вычисляемая величина:

    \[\Delta x =\mid x_0-x \mid\]

Где x_0 – истинное значение, x – приближенное.

Из этого определения следует, что истинное значение величины равно приближенному значению плюс-минус абсолютная погрешность \Delta:

    \[x_0=x \pm \Delta x\]

Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений, т.к., например, точность 1 см для определения ширины стадиона является высокой, а для определения длины листа бумаги – низкой. Поэтому для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности приближения к модулю числа приближенного значения. Обозначается относительная погрешность буквой \varepsilon  (эпсилон) и выражается в процентах:

    \[\varepsilon=\frac{\Delta x }{x}\cdot 100 \%\]

Далее я приведу таблицу правил определения погрешностей сумм, разностей, произведений и т.п.

Погрешности

Ну и теперь порешаем задачи, чтобы окончательно разобраться.

Задача 1. Чтобы оце­нить, каков будет пе­ри­од малых ко­ле­ба­ний ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка, ис­поль­зу­ем для вы­чис­ле­ний на каль­ку­ля­то­ре фор­му­лу T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}.  По оцен­ке «на гла­зок» длина нити равна 1,5 \pm 0,1 м. Каль­ку­ля­тор по­ка­зы­ва­ет на экра­не число 2,4322335. Чему равен, с учётом по­греш­но­сти оцен­ки длины нити, пе­ри­од ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка? (Ответ дайте в се­кун­дах, зна­че­ние и по­греш­но­сть за­пи­ши­те через точку с за­пя­той без про­бе­лов.)

Относительная погрешность определения периода равна

    \[\varepsilon=\frac{\Delta T}{T}\]

С другой стороны, по таблице находим, что

    \[\varepsilon=\frac{\Delta l}{n l}\]

Тогда

    \[\frac{\Delta T}{T}=\frac{\Delta l}{n l}\]

Тогда

    \[\Delta T=T \frac{\Delta l}{n l}=2,4322335 \frac{0,1}{2\cdot 1,5}=0,08107\]

Так как по правилам вычисления погрешностей мы должны оставить одну значащую цифру, то получим \Delta T=0,08 c, так как погрешность определена с точностью до сотых, то период тоже округляем до сотых: T=2,43. Имеем:

    \[T=2,43 \pm 0,08\]

Ответ: 2,43;0,08

Задача 2. При опре­де­ле­нии массы масла плот­но­стью 0,9 г/см^3 уче­ник из­ме­рил объём масла с ис­поль­зо­ва­ни­ем мер­но­го ци­лин­дра: V = (18,0 \pm 0,5) см^3. За­пи­ши­те в ответ массу масла в грам­мах с учётом по­греш­но­сти из­ме­ре­ний через точку с за­пя­той без про­бе­лов.

Определяем массу масла:

    \[m=\rho V=0,9\cdot 18=16,2\]

Определим погрешность вычисления:

    \[\Delta m=\rho \Delta V=0,9\cdot 0,5=0,45\]

Оставляя одну значащую цифру, имеем: \Delta m=0,5 г – тогда с такой же точностью и саму величину запишем: m=16,2 \pm 0,5

Ответ: 16,2;0,5

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *