Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила трения

Подводные камни силы трения

Сегодня разберем задачу на силу трения. Она показалась мне очень полезной и совсем не простой.

Задача. Какова сила трения, действующая на брусок массой m, с каким ускорением движутся грузы и какова сила натяжения нити, если h=60 см, l=80 см, m=0,5 кг, \mu =0,25? Решите задачу при следующих значениях массы M: а) 0,1 кг;  б) 0,25 кг; в) 0,3 кг; г) 0,35 кг; д) 0,5 кг.

Два бруска

Начнем разбор со значения массы M=0,1 кг. Предположительно, при такой небольшой массе M бруски начнут соскальзывать влево. Сделав такое предположение, распишем уравнения по второму закону Ньютона:

    \[ma_1=mg\sin \alpha-F_{tr}-T\]

    \[Ma_1= T-Mg\]

    \[F_{tr}=\mu N\]

    \[N=mg \cos \alpha\]

Таким образом,

    \[ma_1=mg\sin \alpha-\mu mg \cos \alpha - Ma_1-Mg\]

Или

    \[a_1(M+m)=mg\sin \alpha-\mu mg \cos \alpha -Mg\]

Синус угла наклона плоскости будет равен \sin \alpha=0,6, \cos \alpha=0,8.

    \[a_1=\frac{g(m\sin \alpha-\mu m \cos \alpha -M) }{ M+m}=\frac{10(0,5\cdot0,6-0,25\cdot0,5 \cdot0,8 -0,1) }{ 0,6}=\frac{10}{6}\]

Знак ускорения – положителен, следовательно, мы угадали с его направлением.

Теперь попробуем по формуле выше рассчитать ускорение при M=0,25 кг.

    \[a=\frac{g(m\sin \alpha-\mu m \cos \alpha -M) }{ M+m}=\frac{10(0,5\cdot0,6-0,25\cdot0,5 \cdot0,8 -0,25) }{ 0,75}<0\]

Следовательно, либо ускорение направлено в другую сторону, либо его совсем нет, и система покоится. Но даже в покое сила трения может быть направлена по-разному.

У нас есть такие силы, которые остаются постоянными при любых массах и ускорениях. Например, mg\sin\alpha=3 Н. Сила трения скольжения (если она есть) F_{tr}=\mu mg \cos \alpha=1 Н.

Попробуем прикинуть, чему равна сила трения в том случае, если при M=0,25 движения нет. Если груз M покоится, то T=Mg=2,5 Н. И уравнение для груза m выглядит так:

    \[mg\sin\alpha-T+F_{tr}=0\]

Тогда F_{tr}=T- mg\sin\alpha=2,5-3=-0,5

То есть сила трения направлена вверх, и это сила трения покоя, так как она меньше силы трения скольжения.

При M=0,3  сила T=Mg=3 Н, силы трения нет. Она равна нулю.

При M=0,35 сила Mg=3,5 Н, значит, система может покоиться. Сила трения в этом случае направлена вниз и равна F_{tr}=1 Н. Она равна силе трения скольжения, значит, может наблюдаться и равномерное движение груза m вверх по плоскости. Ускорение равно нулю.

И наконец, при M=0,5 этот груз будет двигаться вниз. Следовательно, сила трения будет направлена вниз вдоль плоскости. Тогда уравнения будут выглядеть так:

    \[ma_2=-mg\sin \alpha-F_{tr}+T\]

    \[Ma_2= -T+Mg\]

    \[F_{tr}=\mu N\]

    \[N=mg \cos \alpha\]

Тогда

    \[ma_2=-mg\sin \alpha-\mu mg \cos \alpha - Ma_2+Mg\]

Или

    \[a_2(M+m)= Mg- mg\sin \alpha-\mu mg \cos \alpha\]

    \[a_2=\frac{g(-m\sin \alpha-\mu m \cos \alpha +M) }{ M+m}=\frac{10(0,5-0,5\cdot0,6-0,25\cdot0,5 \cdot0,8 ) }{ 1}=1\]

Ответ: а) ускорение a_1=1,67 м/с^2, направлено вниз, сила трения F_{tr}=1 Н, направлена вверх, сила натяжения нити T_1=M(a_1+g)=0,1\cdot 11,7=1,17 Н. б) ускорение – ноль, сила трения равна 0,5 Н, направлена вверх. Сила натяжения нити T=2,5 Н. в) система покоится, сила трения равна нулю,  ускорение равно нулю, сила натяжения нити T=3 Н. г) система покоится или движется равномерно, ускорение равно нулю, сила трения покоя равна 1 Н, направлена вниз. Сила натяжения нити T=3,5 Н. д) ускорение равно a_2=1 м/с^2, направлено вверх, сила трения скольжения равна 1 Н, направлена вниз, сила натяжения нити равна T_2=M(g-a_2)=4,5 Н.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *