Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (26), Планиметрия (16 (C4))

Подобие: увидеть и доказать!

Интересная планиметрическая задачка попалась на просторах интернета. Предлагаю вам мое решение.

Задача. В остроугольном треугольнике ABC высоты AK, BL,CM пересекаются в точке H, точки E и F – середины отрезков AH и BH соответственно, прямые ME и AC пересекаются в точке P, прямые MF и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что PQ \parallel  AB.

Решение:

Рисунок

Необходимо доказать, что отношение отрезков \frac{ME}{EP}=\frac{MF}{FQ}, тогда мы докажем, что EF \parallel PQ, а EF \parallel AB как средняя линия треугольника ABH.

Заметим, что треугольники ALH и BKH  – прямоугольные, и, так как имеют еще равные углы BHK и AHL (как вертикальные), то подобны по двум углам. Отсюда также следует равенство углов \angle HAL и \angle QBF.

Заметим также, что EL – медиана прямоугольного треугольника AHL, то есть EL=AE=EH, а так как ME – медиана прямоугольного треугольника AMH,то ME= EL=AE=EH. То есть точки A, E, M, H равноудалены от точки E, иными словами, можно описать окружность с центром в точке E около треугольника ALH и одновременно она будет являться описанной около треугольника AMH. Аналогично, MF – медиана прямоугольного треугольника MBH, то есть MF=HF=BF. KF – медиана прямоугольного треугольника BKH, то есть FK=MF=HF=BF. Значит, можно описать окружность с центром F около треугольников MBH и BKH. Отметим все равные углы на рисунке разными цифрами.

По отмеченным углам отмечаем, что подобными являются также треугольники EHL и FHK, AEL  и BFKAEP и FQK.

Докажем подобие треугольников AEP и FQK. Они имеют два равных угла, упомянутых ранее: \angle HAL и \angle QBF.

Видно, что угол AEP равен двум углам FEH. Докажем, что угол KFQ также равен двум углам FEH – тогда будет доказано, что треугольники подобны.

Угол 5, как внешний угол треугольника FEH, равен сумме \angle 5=\angle 1+\angle 2. Тогда

    \[2\angle 5=2\angle 1+2\angle 2\]

В треугольнике HFK \angle KFH=180-2\angle 5, следовательно:

    \[\angle KFH=180-2\angle 1-2\angle 2\]

Угол QFK=180-2\angle 2-\angle KFH =2\angle 1.

Итак, треугольники AEP и FQK подобны по двум углам. Отрезок AE является радиусом большей окружности, а отрезок BF – меньшей, поэтому коэффициент подобия \frac{AE}{BF}=\frac{R}{r}, и, естественно, \frac{EP}{FQ}=\frac{R}{r}.

Тогда, так как \frac{ME}{MF}=\frac{R}{r}, то  \frac{ME}{EP}=\frac{MF}{FQ}, что и требовалось доказать.

Из этого отношения следует подобие треугольников EMF и PMQ и параллельность прямых EF и PQ, а следовательно, и то, что PQ \parallel  AB.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *