Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 26 (ГИА С6), Планиметрия (16 (C4))

Подобие: увидеть и доказать!

Интересная планиметрическая задачка попалась на просторах интернета. Предлагаю вам мое решение.

Задача. В остроугольном треугольнике высоты пересекаются в точке , точки и – середины отрезков и соответственно, прямые и пересекаются в точке , прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .

Решение:

Рисунок

Необходимо доказать, что отношение отрезков , тогда мы докажем, что , а как средняя линия треугольника .

Заметим, что треугольники и  – прямоугольные, и, так как имеют еще равные углы и (как вертикальные), то подобны по двум углам. Отсюда также следует равенство углов и .

Заметим также, что – медиана прямоугольного треугольника , то есть , а так как – медиана прямоугольного треугольника ,то . То есть точки равноудалены от точки , иными словами, можно описать окружность с центром в точке около треугольника и одновременно она будет являться описанной около треугольника . Аналогично, – медиана прямоугольного треугольника , то есть . – медиана прямоугольного треугольника , то есть . Значит, можно описать окружность с центром около треугольников и . Отметим все равные углы на рисунке разными цифрами.

По отмеченным углам отмечаем, что подобными являются также треугольники и ,   и и .

Докажем подобие треугольников и . Они имеют два равных угла, упомянутых ранее: и .

Видно, что угол равен двум углам . Докажем, что угол также равен двум углам – тогда будет доказано, что треугольники подобны.

Угол 5, как внешний угол треугольника , равен сумме . Тогда

   

В треугольнике , следовательно:

   

Угол .

Итак, треугольники и подобны по двум углам. Отрезок является радиусом большей окружности, а отрезок – меньшей, поэтому коэффициент подобия , и, естественно, .

Тогда, так как , то  , что и требовалось доказать.

Из этого отношения следует подобие треугольников и и параллельность прямых и , а следовательно, и то, что .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *