Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии

Подготовка в СУНЦ МГУ: законы сохранения

Я объединила задачи по законам сохранения в одно целое, потому что часто, чтобы определить энергию, нужно определить скорость с помощью закона сохранения импульса, и наоборот, требуется закон сохранения энергии, чтобы определить скорости тел.

Задача 1. Два тела массами m_1=2 кг и m_2=4 кг движутся по прямой навстречу друг другу со скоростями \upsilon_1=2 м/с и \upsilon_2=1 м/с соответственно. Найдите изменение внутренней энергии этих тел при их абсолютно неупругом центральном ударе. (В.1, 2014 г., №5)

Первое тело обладало энергией

    \[E_{k1}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}\]

Второе тело:

    \[E_{k2}=\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}\]

Запишем закон сохранения импульса и выясним скорость тел после удара:

    \[m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_2=\upsilon(m_1+m_2)\]

    \[\upsilon=\frac{ m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_2}{ m_1+m_2}\]

Получаем, что тела после удара неподвижны. То есть после удара кинетическая энергия тел нулевая. Следовательно,

    \[\Delta E_{k1}= E_{k1}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}=\frac{2\cdot2^2}{2}=4\]

    \[\Delta E_{k2}= E_{k2}=\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=\frac{4\cdot1^2}{2}=2\]

Ответ: \Delta E_{k1}=4 Дж, \Delta E_{k2}=2 Дж.

 

Задача 2. Между двумя телами, лежащими на гладкой плоскости, зажата пружина. Тела одновременно освобождают, и пружина распрямляется. Какие скорости приобретут эти тела, если их массы равны m_1=2 кг и m_2=3 кг, а энергия сжатой пружины W=135 Дж? (В.2, 2014 г., №5)

Сила, действующая на оба тела, одинакова. Поэтому

    \[m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_2=0\]

    \[\upsilon_2=\frac{ m_1\upsilon_1}{ m_2}\]

Энергия пружины будет передана телам:

    \[E_{k1}+ E_{k2}=W\]

    \[\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=W\]

Подставим сюда ранее найденную скорость:

    \[\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_1^2\upsilon_1^2}{2m_2}=W\]

    \[\frac{ \upsilon_1^2}{2} \left(m_1+\frac{m_1^2}{m_2}\right)=W\]

Определяем скорость первого тела до распрямления пружины:

    \[\upsilon_1^2=\frac{2W}{\left(m_1+\frac{m_1^2}{m_2}\right)}\]

    \[\upsilon_1=\sqrt{\frac{2Wm_2}{m_1(m_1+m_2)}}\]

Вычисляем:

    \[\upsilon_1=\sqrt{\frac{2\cdot135\cdot3}{2(2+3)}}=9\]

    \[\upsilon_2=\frac{ m_1\upsilon_1}{ m_2}=\frac{ 2\cdot9}{ 3}=6\]

Ответ: \upsilon_1=9 м/с, \upsilon_2=6 м/с.

Задача 3. Брусок массой M=400 г соскальзывает по наклонной плоскости с высоты h=75 см и, двигаясь по горизонтальной поверхности, сталкивается абсолютно неупруго с неподвижным бруском массой m=350 г. Трение при движении брусков отсутствует. Найдите кинетическую энергию брусков после столкновения. (В.3, 2014 г., №5)

Так как трения нет, то вся потенциальная энергия бруска перейдет в кинетическую. Тогда можно найти его скорость непосредственно перед ударом. Затем найдем скорости брусков после удара и их кинетические энергии. Делаем!

    \[Mgh=\frac{M\upsilon^2}{2}\]

    \[\upsilon=\sqrt{2gh}\]

Запишем закон сохранения импульса и выясним скорость тел после удара:

    \[M\upsilon=\upsilon_1(M+m)\]

    \[\upsilon_1=\frac{ M\upsilon}{ M+m}=\frac{ M\sqrt{2gh}}{ M+m}\]

    \[\upsilon_1^2=\frac{ 2gh M^2}{ (M+m)^2}\]

Определяем кинетическую энергию брусков:

    \[E_{k1}=\frac{gh M^2 }{M+m}=\frac{0,4^4\cdot10\cdot0,75}{0,75}=1,6\]

Ответ: 1,6 Дж.

 

Задача 4.  На гладком горизонтальном столе лежит ящик массой M=1 кг. Его пробивает насквозь пуля массой m=10 г, летящая горизонтально со скоростью \upsilon_1=800 м/с.  Найдите, какое количество тепла выделилось в этой системе тел, если пуля вылетела из ящика со скоростью  \upsilon_2=400 м/с? (В.9, 2013 г., №4)

Выясним, приобрел ли ящик какую-либо скорость. В тепло перейдет разность сумм кинетических энергий ящика и пули до и после столкновения.

Запишем закон сохранения импульса и выясним скорость ящика после удара:

    \[m\upsilon_1=\upsilon_M M+\upsilon_2m\]

    \[\upsilon_M=\frac{ m\upsilon_1- m \upsilon_2}{ M}=\frac{0,01\cdot800-0,01\cdot400}{1}=4\]

Поэтому кинетическая энергия ящика после удара:

    \[E_{kM}=\frac{M\upsilon_M^2}{2}=\frac{1\cdot4^2}{2}=8\]

Кинетическая энергия пули после удара:

    \[E_{km2}=\frac{m\upsilon_2^2}{2}=\frac{0,01\cdot400^2}{2}=800\]

Кинетическая энергия пули до удара:

    \[E_{km1}=\frac{m\upsilon_1^2}{2}=\frac{0,01\cdot800^2}{2}=3200\]

Определяем энергию, перешедшую в тепло:

    \[\Delta E= E_{km1}- E_{km2}- E_{kM}=3200-800-8=2392\]

Ответ: в тепло перешло 2392 Дж.

Задача 5. По склону горы длиной L=50 м скатываются санки массой m=60 кг. Перепад высот от вершины до подножия горы равен h=10 м.  Определите среднюю силу сопротивления  при движении санок, если у основания горы они имели скорость  \upsilon=8 м/с.   Начальная скорость санок равна 0. (В.1, 2013 г., №4)

Работа силы сопротивления будет равна разнице потенциальной энергии санок наверху и кинетической внизу склона (поскольку работа этой силы отрицательна, то можно, поменяв знак работы на положительный, вычитать из начальной энергии конечную, тогда как обычно мы делаем наоборот):

    \[A=E_p-E_k\]

Тогда сила сопротивления может быть найдена как

    \[F=\frac{A}{L}=\frac{ E_p-E_k }{L}=\frac{mgh-\frac{m\upsilon^2}{2}}{L}=\frac{60\cdot10\cdot10-\frac{60\cdot8^2}{2}}{50}=81,6\]

Ответ: F=81,6 Н.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *