[latexpage]
Я объединила задачи по законам сохранения в одно целое, потому что часто, чтобы определить энергию, нужно определить скорость с помощью закона сохранения импульса, и наоборот, требуется закон сохранения энергии, чтобы определить скорости тел.
Задача 1. Два тела массами $m_1=2$ кг и $m_2=4$ кг движутся по прямой навстречу друг другу со скоростями $\upsilon_1=2$ м/с и $\upsilon_2=1$ м/с соответственно. Найдите изменение внутренней энергии этих тел при их абсолютно неупругом центральном ударе. (В.1, 2014 г., №5)
Первое тело обладало энергией
$$E_{k1}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}$$
Второе тело:
$$E_{k2}=\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}$$
Запишем закон сохранения импульса и выясним скорость тел после удара:
$$m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_2=\upsilon(m_1+m_2)$$
$$\upsilon=\frac{ m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_2}{ m_1+m_2}$$
Получаем, что тела после удара неподвижны. То есть после удара кинетическая энергия тел нулевая. Следовательно,
$$\Delta E_{k1}= E_{k1}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}=\frac{2\cdot2^2}{2}=4$$
$$\Delta E_{k2}= E_{k2}=\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=\frac{4\cdot1^2}{2}=2$$
Ответ: $\Delta E_{k1}=4$ Дж, $\Delta E_{k2}=2$ Дж.
Задача 2. Между двумя телами, лежащими на гладкой плоскости, зажата пружина. Тела одновременно освобождают, и пружина распрямляется. Какие скорости приобретут эти тела, если их массы равны $m_1=2$ кг и $m_2=3$ кг, а энергия сжатой пружины $W=135$ Дж? (В.2, 2014 г., №5)
Сила, действующая на оба тела, одинакова. Поэтому
$$ m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_2=0$$
$$\upsilon_2=\frac{ m_1\upsilon_1}{ m_2}$$
Энергия пружины будет передана телам:
$$ E_{k1}+ E_{k2}=W$$
$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=W$$
Подставим сюда ранее найденную скорость:
$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_1^2\upsilon_1^2}{2m_2}=W$$
$$\frac{ \upsilon_1^2}{2} \left(m_1+\frac{m_1^2}{m_2}\right)=W$$
Определяем скорость первого тела до распрямления пружины:
$$\upsilon_1^2=\frac{2W}{\left(m_1+\frac{m_1^2}{m_2}\right)}$$
$$\upsilon_1=\sqrt{\frac{2Wm_2}{m_1(m_1+m_2)}}$$
Вычисляем:
$$\upsilon_1=\sqrt{\frac{2\cdot135\cdot3}{2(2+3)}}=9$$
$$\upsilon_2=\frac{ m_1\upsilon_1}{ m_2}=\frac{ 2\cdot9}{ 3}=6$$
Ответ: $\upsilon_1=9$ м/с, $\upsilon_2=6$ м/с.
Задача 3. Брусок массой $M=400$ г соскальзывает по наклонной плоскости с высоты $h=75$ см и, двигаясь по горизонтальной поверхности, сталкивается абсолютно неупруго с неподвижным бруском массой $m=350$ г. Трение при движении брусков отсутствует. Найдите кинетическую энергию брусков после столкновения. (В.3, 2014 г., №5)
Так как трения нет, то вся потенциальная энергия бруска перейдет в кинетическую. Тогда можно найти его скорость непосредственно перед ударом. Затем найдем скорости брусков после удара и их кинетические энергии. Делаем!
$$Mgh=\frac{M\upsilon^2}{2}$$
$$\upsilon=\sqrt{2gh}$$
Запишем закон сохранения импульса и выясним скорость тел после удара:
$$M\upsilon=\upsilon_1(M+m)$$
$$\upsilon_1=\frac{ M\upsilon}{ M+m}=\frac{ M\sqrt{2gh}}{ M+m}$$
$$\upsilon_1^2=\frac{ 2gh M^2}{ (M+m)^2}$$
Определяем кинетическую энергию брусков:
$$E_{k1}=\frac{gh M^2 }{M+m}=\frac{0,4^4\cdot10\cdot0,75}{0,75}=1,6$$
Ответ: 1,6 Дж.
Задача 4. На гладком горизонтальном столе лежит ящик массой $M=1$ кг. Его пробивает насквозь пуля массой $m=10$ г, летящая горизонтально со скоростью $\upsilon_1=800$ м/с. Найдите, какое количество тепла выделилось в этой системе тел, если пуля вылетела из ящика со скоростью $\upsilon_2=400$ м/с? (В.9, 2013 г., №4)
Выясним, приобрел ли ящик какую-либо скорость. В тепло перейдет разность сумм кинетических энергий ящика и пули до и после столкновения.
Запишем закон сохранения импульса и выясним скорость ящика после удара:
$$m\upsilon_1=\upsilon_M M+\upsilon_2m$$
$$\upsilon_M=\frac{ m\upsilon_1- m \upsilon_2}{ M}=\frac{0,01\cdot800-0,01\cdot400}{1}=4$$
Поэтому кинетическая энергия ящика после удара:
$$ E_{kM}=\frac{M\upsilon_M^2}{2}=\frac{1\cdot4^2}{2}=8$$
Кинетическая энергия пули после удара:
$$ E_{km2}=\frac{m\upsilon_2^2}{2}=\frac{0,01\cdot400^2}{2}=800$$
Кинетическая энергия пули до удара:
$$ E_{km1}=\frac{m\upsilon_1^2}{2}=\frac{0,01\cdot800^2}{2}=3200$$
Определяем энергию, перешедшую в тепло:
$$\Delta E= E_{km1}- E_{km2}- E_{kM}=3200-800-8=2392$$
Ответ: в тепло перешло 2392 Дж.
Задача 5. По склону горы длиной $L=50$ м скатываются санки массой $m=60$ кг. Перепад высот от вершины до подножия горы равен $h=10$ м. Определите среднюю силу сопротивления при движении санок, если у основания горы они имели скорость $\upsilon=8$ м/с. Начальная скорость санок равна 0. (В.1, 2013 г., №4)
Работа силы сопротивления будет равна разнице потенциальной энергии санок наверху и кинетической внизу склона (поскольку работа этой силы отрицательна, то можно, поменяв знак работы на положительный, вычитать из начальной энергии конечную, тогда как обычно мы делаем наоборот):
$$A=E_p-E_k$$
Тогда сила сопротивления может быть найдена как
$$F=\frac{A}{L}=\frac{ E_p-E_k }{L}=\frac{mgh-\frac{m\upsilon^2}{2}}{L}=\frac{60\cdot10\cdot10-\frac{60\cdot8^2}{2}}{50}=81,6$$
Ответ: $F=81,6$ Н.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...