Подготовка в СУНЦ МГУ: законы сохранения

[latexpage]

Я объединила задачи по законам сохранения в одно целое, потому что часто, чтобы определить энергию, нужно определить скорость с помощью закона сохранения импульса, и наоборот, требуется закон сохранения энергии, чтобы определить скорости тел.

Задача 1. Два тела массами $m_1=2$ кг и $m_2=4$ кг движутся по прямой навстречу друг другу со скоростями $\upsilon_1=2$ м/с и $\upsilon_2=1$ м/с соответственно. Найдите изменение внутренней энергии этих тел при их абсолютно неупругом центральном ударе. (В.1, 2014 г., №5)

Первое тело обладало энергией

$$E_{k1}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}$$

Второе тело:

$$E_{k2}=\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}$$

Запишем закон сохранения импульса и выясним скорость тел после удара:

$$m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_2=\upsilon(m_1+m_2)$$

$$\upsilon=\frac{ m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_2}{ m_1+m_2}$$

Получаем, что тела после удара неподвижны. То есть после удара кинетическая энергия тел нулевая. Следовательно,

$$\Delta E_{k1}= E_{k1}=\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}=\frac{2\cdot2^2}{2}=4$$

$$\Delta E_{k2}= E_{k2}=\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=\frac{4\cdot1^2}{2}=2$$

Ответ: $\Delta E_{k1}=4$ Дж, $\Delta E_{k2}=2$ Дж.

Задача 2. Между двумя телами, лежащими на гладкой плоскости, зажата пружина. Тела одновременно освобождают, и пружина распрямляется. Какие скорости приобретут эти тела, если их массы равны $m_1=2$ кг и $m_2=3$ кг, а энергия сжатой пружины $W=135$ Дж? (В.2, 2014 г., №5)

Сила, действующая на оба тела, одинакова. Поэтому

$$ m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_2=0$$

$$\upsilon_2=\frac{ m_1\upsilon_1}{ m_2}$$

Энергия пружины будет передана телам:

$$ E_{k1}+ E_{k2}=W$$

$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=W$$

Подставим сюда ранее найденную скорость:

$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_1^2\upsilon_1^2}{2m_2}=W$$

$$\frac{ \upsilon_1^2}{2} \left(m_1+\frac{m_1^2}{m_2}\right)=W$$

Определяем скорость первого тела до распрямления пружины:

$$\upsilon_1^2=\frac{2W}{\left(m_1+\frac{m_1^2}{m_2}\right)}$$

$$\upsilon_1=\sqrt{\frac{2Wm_2}{m_1(m_1+m_2)}}$$

Вычисляем:

$$\upsilon_1=\sqrt{\frac{2\cdot135\cdot3}{2(2+3)}}=9$$

$$\upsilon_2=\frac{ m_1\upsilon_1}{ m_2}=\frac{ 2\cdot9}{ 3}=6$$

Ответ: $\upsilon_1=9$ м/с, $\upsilon_2=6$ м/с.

Задача 3. Брусок массой $M=400$ г соскальзывает по наклонной плоскости с высоты $h=75$ см и, двигаясь по горизонтальной поверхности, сталкивается абсолютно неупруго с неподвижным бруском массой $m=350$ г. Трение при движении брусков отсутствует. Найдите кинетическую энергию брусков после столкновения. (В.3, 2014 г., №5)

Так как трения нет, то вся потенциальная энергия бруска перейдет в кинетическую. Тогда можно найти его скорость непосредственно перед ударом. Затем найдем скорости брусков после удара и их кинетические энергии. Делаем!

$$Mgh=\frac{M\upsilon^2}{2}$$

$$\upsilon=\sqrt{2gh}$$

Запишем закон сохранения импульса и выясним скорость тел после удара:

$$M\upsilon=\upsilon_1(M+m)$$

$$\upsilon_1=\frac{ M\upsilon}{ M+m}=\frac{ M\sqrt{2gh}}{ M+m}$$

$$\upsilon_1^2=\frac{ 2gh M^2}{ (M+m)^2}$$

Определяем кинетическую энергию брусков:

$$E_{k1}=\frac{gh M^2 }{M+m}=\frac{0,4^4\cdot10\cdot0,75}{0,75}=1,6$$

Ответ: 1,6 Дж.

Задача 4.  На гладком горизонтальном столе лежит ящик массой $M=1$ кг. Его пробивает насквозь пуля массой $m=10$ г, летящая горизонтально со скоростью $\upsilon_1=800$ м/с.  Найдите, какое количество тепла выделилось в этой системе тел, если пуля вылетела из ящика со скоростью  $\upsilon_2=400$ м/с? (В.9, 2013 г., №4)

Выясним, приобрел ли ящик какую-либо скорость. В тепло перейдет разность сумм кинетических энергий ящика и пули до и после столкновения.

Запишем закон сохранения импульса и выясним скорость ящика после удара:

$$m\upsilon_1=\upsilon_M M+\upsilon_2m$$

$$\upsilon_M=\frac{ m\upsilon_1- m \upsilon_2}{ M}=\frac{0,01\cdot800-0,01\cdot400}{1}=4$$

Поэтому кинетическая энергия ящика после удара:

$$ E_{kM}=\frac{M\upsilon_M^2}{2}=\frac{1\cdot4^2}{2}=8$$

Кинетическая энергия пули после удара:

$$ E_{km2}=\frac{m\upsilon_2^2}{2}=\frac{0,01\cdot400^2}{2}=800$$

Кинетическая энергия пули до удара:

$$ E_{km1}=\frac{m\upsilon_1^2}{2}=\frac{0,01\cdot800^2}{2}=3200$$

Определяем энергию, перешедшую в тепло:

$$\Delta E= E_{km1}- E_{km2}- E_{kM}=3200-800-8=2392$$

Ответ: в тепло перешло 2392 Дж.

Задача 5. По склону горы длиной $L=50$ м скатываются санки массой $m=60$ кг. Перепад высот от вершины до подножия горы равен $h=10$ м.  Определите среднюю силу сопротивления  при движении санок, если у основания горы они имели скорость  $\upsilon=8$ м/с.   Начальная скорость санок равна 0. (В.1, 2013 г., №4)

Работа силы сопротивления будет равна разнице потенциальной энергии санок наверху и кинетической внизу склона (поскольку работа этой силы отрицательна, то можно, поменяв знак работы на положительный, вычитать из начальной энергии конечную, тогда как обычно мы делаем наоборот):

$$A=E_p-E_k$$

Тогда сила сопротивления может быть найдена как

$$F=\frac{A}{L}=\frac{ E_p-E_k }{L}=\frac{mgh-\frac{m\upsilon^2}{2}}{L}=\frac{60\cdot10\cdot10-\frac{60\cdot8^2}{2}}{50}=81,6$$

Ответ: $F=81,6$ Н.