Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии

Подготовка в СУНЦ МГУ: законы сохранения – 4

Задач на сохранение энергии и импульса в экзаменах прошлых лет встречается больше всего. В том числе довольно сложные. Именно этим объясняется, что больше всего статей я подготовила для вас на эту тему.

Задача 1. Горизонтально летящая пуля массой m=10 г попадает в центр лежащего на краю стола шара массой M=440 г и застревает в нем.  Найдите, на каком расстоянии по горизонтали от края стола шар упадет на пол, если пуля летела со скоростью \upsilon=90 м/с, и высота стола равна H=1,8 м. (В.7, 2015 г., №4)

По закону сохранения импульса

    \[m\upsilon_1=(m+M) \upsilon\]

Скорость шара:

    \[\upsilon=\frac{ m\upsilon_1}{m+M}\]

С такой скоростью шар улетит на расстояние S=\upsilon t, только время надо узнать. Так как падал шар с высоты 1,8 м, то

    \[H=\frac{gt^2}{2}\]

    \[t=\sqrt{\frac{2H}{g}}\]

Тогда

    \[S=\upsilon t=\upsilon \sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2H}{g}}\frac{ m\upsilon_1}{m+M}=\sqrt{\frac{2\cdot1,8}{10}}\frac{ 0,01\cdot90}{0,45}=1,2\]

Ответ: S=1,2 м.

 

Задача 2. Наибольшая высота подъема брошенного вертикально вверх тела равна H. На какой высоте  потенциальная энергия тела будет вдвое больше его кинетической энергии? (В.10, 2015 г., №3)

Запишем условие равенства энергий:

    \[mgh=2\frac{m\upsilon^2}{2}\]

    \[gh=\upsilon^2\]

Так как максимальная высота подъема H, то

    \[\upsilon_0^2-\upsilon_k^2=2gH\]

    \[\upsilon_k=0\]

    \[\upsilon_0^2=2gH\]

Теперь запишем для искомой высоты:

    \[2gh=\upsilon_0^2-\upsilon^2\]

    \[2gh=2gH-gh\]

    \[H=\frac{3h}{2}\]

    \[h=\frac{2H}{3}\]

Другое, красивое и лаконичное решение Евгении Калинниковой:

Полная энергия тела равна mgH, в точке, про которую мы говорим, энергия тела равна сумме кинетической и потенциальной:

    \[mgH=mgh+\frac{m \upsilon^2}{2}\]

По условию потенциальная энергия тела вдвое больше кинетической:

    \[mgh=2\frac{m \upsilon^2}{2}\]

Тогда

    \[mgH=mgh+\frac{mgh}{2}\]

Откуда H=\frac{3h}{2}.

Ответ: h=\frac{2H}{3}

Задача 3.  Два фигуриста массами m_1=60 и m_2=30 кг, стоящие на льду, отталкиваются друг от  друга и скользят в противоположные стороны. Расстояние между ними после остановки равно L=100 м. Определите смещения каждого из фигуристов от исходной позиции, если коэффициенты трения их коньков по льду одинаковые. (В.1, 2016 г., №4)

При толчке каждый приобретет кинетическую энергию, которая перейдет в работу силы трения:

    \[\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}=F_{tr1} S_1\]

    \[\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=F_{tr2} S_2\]

Сила трения

    \[F_{tr1}=\mu m_1 g S_1\]

    \[F_{tr2}=\mu m_2 g S_2\]

То есть

    \[S_1=\frac{\upsilon_1^2}{2 \mu g}\]

    \[S_2=\frac{\upsilon_2^2}{2 \mu g}\]

Деление уравнений друг на друга дает

    \[\frac{S_1}{S_2}=\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}\]

Из закона сохранения импульса

    \[\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}=\frac{m_2^2}{m_1^2}\]

Следовательно,

    \[\frac{S_1}{S_2}=\frac{900}{3600}=0,25\]

 

Поэтому S_1=20 м, S_2=80 м.

Задача 4. Брошенное вертикально вверх тело массой m=2 кг упало обратно спустя время T=10 с. Определите его кинетическую энергию в момент броска и потенциальную энергию, отсчитываемую от места броска, через время \tau=4 с после броска. Сопротивление воздуха не учитывать. (В.3, 2016 г., №4)

Время подъема тела равно 5 с: это половина общего времени движения. То есть падало тело тоже 5 с, следовательно, упало с высоты 125 м:

    \[S=\frac{gt^2}{2}=\frac{10\cdot5^5}{2}=125\]

На такой высоте у тела была потенциальная энергия, равная:

    \[E_p=mgh=2\cdot10\cdot125=2500\]

Если считать, что в потенциальную перешла вся кинетическая энергия тела, то скорость тела можно найти:

    \[E_k=E_p\]

    \[\frac{m\upsilon_0^2}{2}=2500\]

    \[\upsilon_0=\sqrt{\frac{2E_p}{m}}=\sqrt{\frac{5000}{2}}=50\]

Определим потенциальную энергию тела через время \tau=4 с после броска. Тело в это время (используем обратимость движения) было в пяти метрах от максимальной высоты подъема, то есть на высоте 120 м, и обладало потенциальной энергией

    \[E_{p1}=mgh_1=2\cdot10\cdot120=2400\]

Следовательно, кинетическая его энергия в этот момент равна E_{k1}=E_p-E_{p1}=2500-2400=100 Дж.

Ответ: E_p=E_k=2500  Дж, E_{p1}=2400 Дж, E_{k1}=100 Дж.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *