Подготовка в СУНЦ МГУ: законы сохранения

Подготовка в СУНЦ МГУ: законы сохранения – 3

Задач на сохранение энергии и импульса в экзаменах прошлых лет встречается больше всего. В том числе довольно сложные. Именно этим объясняется, что больше всего статей я подготовила для вас на эту тему.

Задача 1. Пуля массой $m=10$ г вылетела из дула ружья с начальной скоростью $\upsilon=600$ м/с. Найдите, под каким углом к горизонту вылетела пуля, если ее кинетическая энергия в высшей точке траектории равна $W=450$ Дж. (В.7, 2013 г., №4)

В высшей точке траектории у пули остается только горизонтальная составляющая скорости $\upsilon_0\cos{\alpha}$ . Запишем кинетическую энергию пули:

$W=\frac{m\upsilon_0^2\cos^2{\alpha}}{2}$

$\cos^2{\alpha}=\frac{ 2W }{ m\upsilon_0^2}$

$\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{ 2W }{ m\upsilon_0^2}}=\sqrt{\frac{ 2\cdot450}{0,01\cdot600^2}}=\frac{1}{2}$

Угол выстрела – $60^{\circ}$ .

Задача 2. В шар массой $M=440$ г, висящий на легком стержне длиной $L=40$ см, попадает и застревает в нем горизонтально летящая пуля массой $m=10$ г. При какой минимальной скорости пули шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости? (В.1, 2015 г., №4)

Если сообщить шару такую кинетическую энергию, что она была бы равна его потенциальной в верхней точке, то он сможет совершить полный оборот. Достаточная энергия – $2(M+m)gL$ , так как поднимется шар именно на высоту $2L$ . Тогда:

$2(M+m)gL=\frac{ (M+m)\upsilon^2}{2}$

То есть у шара должна быть скорость после удара, равная:

$\upsilon=2\sqrt{gL}$

По закону сохранения импульса

$m\upsilon_1=(m+M) \upsilon$

Скорость пули должна быть равна:

$\upsilon_1=\frac{(m+M) \upsilon }{m}=\frac{(m+M) 2\sqrt{gL}}{m}=\frac{0,45\cdot 2\sqrt{4}}{0,01}=180$

Ответ: $\upsilon_1=180$ м/с.

Задача 3. Горизонтально летящая пуля массы $m$ попадает в лежащий на столе шар массой $M$ и пробивает его по диаметру. После вылета из шара скорость пули стала в два раза меньше первоначальной. Какая часть первоначальной энергии пули превратилась при этом во внутреннюю энергию шара и пули? (В.2, 2015 г., №4)

По закону сохранения импульса

$m\upsilon_1=m \upsilon_2+M\upsilon$

Скорость шара

$M\upsilon= m(\upsilon_1- \upsilon_2)$

$\upsilon_2=\frac{\upsilon_1}{2}$

Следовательно,

$\upsilon= \frac{m(\upsilon_1- \frac{\upsilon_1}{2})}{M}$

$\upsilon= \frac{m\upsilon_1}{2M}$

Таким образом, кинетическая энергия шара после удара:

$E_K=\frac{M\upsilon^2}{2}=\frac{m^2\upsilon_1^2}{8M}$

Кинетическая энергия пули до удара:

$E_{k1}=\frac{ m\upsilon_1^2}{2}$

Кинетическая энергия пули после удара:

$E_{k2}=\frac{ m\upsilon_1^2}{8}$

Тогда

$Q= E_{k1}- E_{k2}- E_K=\frac{ m\upsilon_1^2}{2}-\frac{ m\upsilon_1^2}{8}-\frac{m^2\upsilon_1^2}{8M}=\frac{3m\upsilon_1^2}{8}-\frac{m^2\upsilon_1^2}{8M}$

$Q=\frac{m\upsilon_1^2}{8}\left(3-\frac{m}{M}\right)$

Определим, какую часть от $E_{k1}$ это составит:

$\frac{Q}{E_{k1}}=\frac{\frac{m\upsilon_1^2}{8}\left(3-\frac{m}{M}\right)}{ \frac{ m\upsilon_1^2}{2}}=\frac{1}{4}\left(3-\frac{m}{M}\right)$

Ответ: $\frac{Q}{E_{k1}}=\frac{1}{4}\left(3-\frac{m}{M}\right)$ .

Задача 4. В шар массой $M=250$ г, висящий на нити длиной $l=50$ см, попадает и застревает в нем горизонтально летящая пуля массой $m=10$ г. После удара нить с шаром отклоняется от вертикали на угол $\alpha=60^{\circ}$ . Найдите, с какой скоростью летела пуля. (В.4, 2015 г., №4)