Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии

Подготовка в СУНЦ МГУ: законы сохранения – 3

Задач на сохранение энергии и импульса в экзаменах прошлых лет встречается больше всего. В том числе довольно сложные. Именно этим объясняется, что больше всего статей я подготовила для вас на эту тему.

Задача 1. Пуля массой m=10 г вылетела из дула ружья с начальной скоростью \upsilon=600 м/с.  Найдите, под каким углом к горизонту вылетела пуля, если ее кинетическая энергия в высшей точке траектории равна W=450 Дж. (В.7, 2013 г., №4)

В высшей точке траектории у пули остается только горизонтальная составляющая скорости \upsilon_0\cos{\alpha}. Запишем кинетическую энергию пули:

    \[W=\frac{m\upsilon_0^2\cos^2{\alpha}}{2}\]

    \[\cos^2{\alpha}=\frac{ 2W }{ m\upsilon_0^2}\]

    \[\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{ 2W }{ m\upsilon_0^2}}=\sqrt{\frac{ 2\cdot450}{0,01\cdot600^2}}=\frac{1}{2}\]

Угол выстрела – 60^{\circ}.

Задача 2. В шар массой M=440 г, висящий на легком стержне длиной L=40 см, попадает и застревает в нем горизонтально летящая пуля массой m=10 г. При какой минимальной скорости пули шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости? (В.1, 2015 г., №4)

Если сообщить шару такую кинетическую энергию, что она была бы равна его потенциальной в верхней точке, то он сможет совершить полный оборот. Достаточная энергия – 2(M+m)gL, так как поднимется шар именно на высоту 2L. Тогда:

    \[2(M+m)gL=\frac{ (M+m)\upsilon^2}{2}\]

То есть у шара должна быть скорость после удара, равная:

    \[\upsilon=2\sqrt{gL}\]

По закону сохранения импульса

    \[m\upsilon_1=(m+M) \upsilon\]

Скорость пули должна быть равна:

    \[\upsilon_1=\frac{(m+M) \upsilon }{m}=\frac{(m+M) 2\sqrt{gL}}{m}=\frac{0,45\cdot 2\sqrt{4}}{0,01}=180\]

Ответ: \upsilon_1=180 м/с.

Задача 3. Горизонтально летящая пуля массы m попадает в лежащий на столе шар массой M и пробивает его по диаметру. После вылета из шара скорость пули стала в два раза меньше первоначальной.  Какая часть первоначальной энергии пули превратилась при этом во внутреннюю энергию шара и пули? (В.2, 2015 г., №4)

По закону сохранения импульса

    \[m\upsilon_1=m \upsilon_2+M\upsilon\]

Скорость шара

    \[M\upsilon= m(\upsilon_1- \upsilon_2)\]

    \[\upsilon_2=\frac{\upsilon_1}{2}\]

Следовательно,

    \[\upsilon= \frac{m(\upsilon_1- \frac{\upsilon_1}{2})}{M}\]

    \[\upsilon= \frac{m\upsilon_1}{2M}\]

Таким  образом, кинетическая энергия шара после удара:

    \[E_K=\frac{M\upsilon^2}{2}=\frac{m^2\upsilon_1^2}{8M}\]

Кинетическая энергия пули до удара:

    \[E_{k1}=\frac{ m\upsilon_1^2}{2}\]

Кинетическая энергия пули после удара:

    \[E_{k2}=\frac{ m\upsilon_1^2}{8}\]

Тогда

    \[Q= E_{k1}- E_{k2}- E_K=\frac{ m\upsilon_1^2}{2}-\frac{ m\upsilon_1^2}{8}-\frac{m^2\upsilon_1^2}{8M}=\frac{3m\upsilon_1^2}{8}-\frac{m^2\upsilon_1^2}{8M}\]

    \[Q=\frac{m\upsilon_1^2}{8}\left(3-\frac{m}{M}\right)\]

Определим, какую часть от E_{k1} это составит:

    \[\frac{Q}{E_{k1}}=\frac{\frac{m\upsilon_1^2}{8}\left(3-\frac{m}{M}\right)}{ \frac{ m\upsilon_1^2}{2}}=\frac{1}{4}\left(3-\frac{m}{M}\right)\]

Ответ: \frac{Q}{E_{k1}}=\frac{1}{4}\left(3-\frac{m}{M}\right).

 

Задача 4. В шар массой M=250 г, висящий на нити длиной l=50 см, попадает и застревает в нем горизонтально летящая пуля массой m=10 г. После удара нить с шаром отклоняется от вертикали на угол \alpha=60^{\circ}. Найдите, с какой скоростью летела пуля. (В.4, 2015 г., №4)

По закону сохранения импульса

    \[m\upsilon_1=(m+M) \upsilon\]

Скорость шара:

    \[\upsilon=\frac{ m\upsilon_1}{m+M}\]

Скорость пули:

    \[\upsilon_1=\frac{(m+M)\upsilon}{m}\]

Кинетическая энергия шара после удара пули:

    \[E_M=\frac{(M+m)\upsilon^2}{2}\]

Эта энергия перейдет в потенциальную:

    \[E_M=(M+m)gh\]

    \[h=l-l\cos{\alpha}\]

Тогда:

    \[\frac{(M+m)\upsilon^2}{2}=(M+m)g(l-l\cos{\alpha})\]

Тогда

    \[\upsilon^2=2g(l-l\cos{\alpha})\]

    \[\upsilon=\sqrt{2g(l-l\cos{\alpha})}\]

И скорость пули равна

    \[\upsilon_1=\frac{m+M}{m}\sqrt{2g(l-l\cos{\alpha})}\]

    \[\upsilon_1=\frac{0,01+0,25}{0,01}\sqrt{20(0,5-0,5\cdot\frac{1}{2})}=52\]

Ответ: 52 м/c.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *