Подготовка в СУНЦ МГУ: законы сохранения – 2

[latexpage]

Я объединила задачи по законам сохранения в одно целое, потому что часто, чтобы определить энергию, нужно определить скорость с помощью закона сохранения импульса, и наоборот, требуется закон сохранения энергии, чтобы определить скорости тел.

Задача 1. Тело массой $m=0,5$ кг, брошенное в горизонтальном направлении с высоты $H=30$ м, в момент приземления обладало кинетической энергией $W=175$ Дж. Найдите, с какой скоростью было брошено тело. (В.5, 2013 г., №4)

У тела был запас потенциальной энергии, потому что относительно места приземления оно находилось на высоте $H$. Плюс еще была кинетическая энергия, потому что оно обладало начальной скоростью. В конце движения вся энергия стала кинетической.

$$E_{k0}+E_p=W$$

$$\frac{m\upsilon_0^2}{2}+mgh=W$$

$$\upsilon_0^2=\frac{2(W-mgh)}{m}$$

$$\upsilon_0=\sqrt{\frac{2(W-mgh)}{m}}=\sqrt{\frac{2(175-0,5\cdot10\cdot30)}{0,5}}=10$$

Ответ: $\upsilon_0=10$ м/с.

Задача 2. Определите кинетическую энергию тела массой 1 кг, брошенного горизонтально со скоростью $\upsilon=20$ м/с, в конце четвертой секунды его падения. (В.6, 2013 г., №4)

Тело обладает изначально кинетической энергией

$$E_{k0}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}$$

Кроме того, оно обладает и потенциальной энергией относительно места падения,  поскольку находится выше его. Найдем, какое расстояние по вертикали преодолеет тело за 4 с – именно потенциальная энергия, обусловленная этой высотой, перейдет в кинетическую во время полета.

$$ W = E_{k0}+E_p=\frac{m\upsilon_0^2}{2}+mgh $$

Осталось узнать, какой путь пройдет свободно падающее тело за 4 с:

$$S=\frac{gt^2}{2}=\frac{160}{2}=80$$

Тогда:

$$ W = E_{k}=\frac{m\upsilon_0^2}{2}+mgh =\frac{1\cdot400}{2}+1\cdot10\cdot80=1000 $$

Ответ: 1000 Дж.

Задача 3. Вагонетка с песком массой $M=10$ т движется по инерции со скоростью $\upsilon=36$ км/ч.  Снаряд массой $m=100$ кг, летящий ей навстречу со скоростью $u=500$ м/с, попадает в нее и застревает в песке. С какой скоростью стала двигаться вагонетка после попадания снаряда? (В.5, 2013 г., №3)

Переведем для начала скорость вагонетки в м/с:

$$\frac{36000}{3600}=10$$

Теперь можно записать закон сохранения импульса:

$$M\upsilon-mu=\upsilon_1( M+m)$$

$$\upsilon_1=\frac{ M\upsilon-mu }{ M+m }=\frac{ 10000\cdot10-100\cdot500}{ 10100 }=4,95$$

Ответ: 4,95 м/с.

Задача 4. Ядро, летевшее горизонтально со скоростью $\upsilon=20$ м/с, разорвалось на два осколка. Массы осколков $m=5$ и $M=10$ кг. Скорость меньшего осколка равна $u=90$ м/с и направлена также, как и скорость ядра до разрыва. Найдите скорость и направление движения большего осколка. (В.8, 2013 г., №3)

Запишем закон сохранения импульса:

$$(M+m)\upsilon=um+\upsilon_M M$$

$$\upsilon_M=\frac{ (M+m)\upsilon-um }{ M }=\frac{ 15\cdot20-90\cdot5}{ 10 }=-15$$

Минус говорит о том, что осколок полетел в обратную сторону.

Ответ: 15 м/с, направлена противоположно первоначальной.

Задача 5. Движущееся тело сталкивается с неподвижным телом. После этого они движутся вместе со скоростью в $n=4$ раза меньше скорости первоначально движущегося тела.  Какая часть кинетической энергии первого тела превратилась во внутреннюю энергию двух слипшихся тел? (В.3, 2015 г., №4)

Сначала тело обладало энергией

$$E_{k0}=\frac{m_1\upsilon_0^2}{2}$$

Затем, после столкновения, энергией

$$E_{k1}=\frac{m_1\upsilon^2}{2}=\frac{m_1\upsilon_0^2}{32}$$

Второму телу также была сообщена энергия:

$$E_{k2}=\frac{m_2\upsilon^2}{2}=\frac{m_2\upsilon_0^2}{32}$$

По закону сохранения импульса

$$m_1\upsilon_0=(m_1+m_2)\frac{\upsilon_0}{4}$$

Откуда

$$m_2=3m_1$$

Таким образом, во внутреннюю перешло количество энергии, равное:

$$\Delta E=E_{k0}- E_{k1}- E_{k2}=\frac{m_1\upsilon_0^2}{2}-\frac{m_1\upsilon_0^2}{32}-\frac{3m_1\upsilon_0^2}{32}=\frac{m_1\upsilon_0^2}{2}-\frac{m_1\upsilon_0^2}{8}=\frac{3m_1\upsilon_0^2}{8}=\frac{3}{4}E_{k0}$$

Ответ: $\Delta E=\frac{3}{4}E_{k0}$ Дж.