Подготовка в СУНЦ МГУ: трение, экзамен в 10 класс

Сила трения всегда направлена против движения или возможного направления движения. Если вводить систему координат и аккуратно записывать в уравнения все силы по осям – тогда ошибок быть не должно. Не забывайте раскладывать силы на составляющие по осям, если направления этих сил не совпадают с выбранными осями.

Задача 1. Вверх по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту $\alpha=45^{\circ}$ пущена шайба. Коэффициент трения шайбы о плоскость $\mu=0,5$ . Во сколько раз время спуска шайбы $t_2$ больше времени подъема $t_1$ ? (2014 г., вариант 1, №3)

Нарисуем чертеж. Вернее, потребуется два похожих чертежа: для спуска и для подъема. При движении шайбы вниз и вверх сила трения будет направлена в разные стороны. Направим на обоих рисунках ось $x$ вверх вдоль плоскости, а ось $y$ – перпендикулярно плоскости вверх.

К задаче 1: подъем.

Тогда для подъема, разложив силу тяжести на две составляющие, можем записать:

$\begin{Bmatrix}{-ma_1=-F_{tr}-mg\sin{\alpha}}\\{N=mg\cos{\alpha}}\\{F_{tr}=\mu N}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{ma_1= \mu mg\cos{\alpha}+mg\sin{\alpha}}\\{N=mg\cos{\alpha}}\end{matrix}$

$a_1= \mu g \cos{\alpha}+g\sin{\alpha}$

Для равнозамедленного движения шайбы вверх запишем уравнение:

$\upsilon=\upsilon_0-a_1t_1$

Так как в наивысшей точке шайба остановится, то

$\upsilon_0-a_1t_1=0$

$\upsilon_0=a_1t_1$

Путь шайбы

$S=\upsilon_0t_1-\frac{a_1t_1^2}{2}=a_1t_1^2-\frac{a_1t_1^2}{2}=\frac{a_1t_1^2}{2}$

К задаче 1: спуск

Теперь для спуска шайбы вниз имеем:

$\begin{Bmatrix}{-ma_2=F_{tr}-mg\sin{\alpha}}\\{N=mg\cos{\alpha}}\\{F_{tr}=\mu N}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{ma_2= -\mu mg\cos{\alpha}+mg\sin{\alpha}}\\{N=mg\cos{\alpha}}\end{matrix}$

$a_2= -\mu g \cos{\alpha}+g\sin{\alpha}$

Путь на спуске такой же, как на подъеме:

$S=\frac{a_2t_2^2}{2}$

Получаем, что

$\frac{a_1t_1^2}{2}=\frac{a_2t_2^2}{2}$

$a_1t_1^2= a_2t_2^2$

Тогда отношение времени спуска ко времени подъема равно:

$\frac{t_2}{t_1}=\sqrt{\frac{a_1}{a_2}}=\sqrt{\frac{ g\sin{\alpha} +\mu g \cos{\alpha}}{ g\sin{\alpha} -\mu g \cos{\alpha}}}=\sqrt{\frac{ 10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} +0,5\cdot10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - 0,5\cdot10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}=\sqrt{3}=1,7$

Ответ: в 1,7 раза.

Задача 2. Вверх по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту $\alpha=30^{\circ}$ пущена шайба со скоростью $\upsilon_0=17$ м/с. Через некоторое время она останавливается и соскальзывает вниз. С какой скоростью она вернется в исходную точку, если коэффициент трения шайбы о плоскость $\mu=\frac{1}{2\sqrt{3}}$ . (2014 г., вариант 2, №3)

Для равнозамедленного движения шайбы вверх запишем уравнение:

$\upsilon=\upsilon_0-a_1t_1$

Так как в наивысшей точке шайба остановится, то

$\upsilon_0-a_1t_1=0$

Для спуска

$\upsilon=a_2t_2$

Тогда

$\frac{\upsilon }{\upsilon_0}=\frac{ a_2t_2}{ a_1t_1}$

Из предыдущей задачи знаем, что

$\frac{t_2}{t_1}=\sqrt{\frac{a_1}{a_2}}$

Следовательно,

$\frac{\upsilon }{\upsilon_0}=\sqrt{\frac{ a_2}{ a_1}}$

Поэтому скорость в конце спуска

$\upsilon=\upsilon_0\sqrt{\frac{ a_2}{ a_1}}$

Отношение ускорений найдены в предыдущей задаче, поэтому ответ:

$\upsilon=\upsilon_0\sqrt{\frac{ g\sin{\alpha} -\mu g \cos{\alpha}}{ g\sin{\alpha} +\mu g \cos{\alpha}}}=17\sqrt{\frac{ 10\cdot0,5 -\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{10\cdot0,5 + \frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{17}{\sqrt{3}}=10$

Ответ: 10 м/с.

Задача 3. Хоккейная шайба массой $m=150$ г влетела в ворота и ударила в сетку, которая прогнулась на $s=7,5$ см. Максимальная сила взаимодействия между сеткой и шайбой была $F=1,25$ кН. С какой скоростью летела шайба перед ударом о сетку? Считать, что сила упругости меняется в зависимости от прогиба сетки по закону Гука. (2014 г., вариант 3, №3)

Кинетическая энергия шайбы перед ударом равна

$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}$

Эта энергия перешла в потенциальную энергию растянутой сетки:

$E_p=\frac{ks^2}{2}$

Поэтому

$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{ks^2}{2}$

Сила упругости равна $F=ks$ , подставим:

$m\upsilon^2=Fs$

$\upsilon=\sqrt{\frac{ Fs }{m}}=\sqrt{\frac{ 1,25\cdot10^3\cdot0,075 }{0,15}}=25$

Ответ: 25 м/с.

Задача 4. Брусок массой $m_1=400$ г находится на горизонтальном столе, на конце которого укреплен легкий блок. При помощи перекинутой через блок легкой нити брусок связан с висящим на ней грузом массой $m_2=100$ г. Найдите коэффициент трения бруска о стол, если груз из состояния покоя опускается на расстояние $S=80$ см за время $t=2$ с. (2013 г., вариант 9, №2)

К задаче 4

Определим ускорение брусков:

$a=\frac{2S}{t^2}$

Направив ось $x$ вправо, можем записать уравнение по второму закону Ньютона для первого бруска:

$m_1a=T-F_{tr}$

Где $T$ – сила натяжения нити. Она пока неизвестна нам, найдем ее, записав аналогичное уравнение для второго бруска:

$m_2a=m_2g-T$

$T=m_2(g-a)$

Подставим эту силу в уравнение для первого бруска:

$m_1a= m_2(g-a)-F_{tr}$

$m_1a= m_2(g-a)-\mu m_1 g$

$\mu=\frac{ m_2(g-a)- m_1a }{ m_1 g }=\frac{m_2}{m_1}-\frac{a}{g}\cdot\frac{m_2}{m_1}-\frac{a}{g}=\frac{m_2}{m_1}-\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)\frac{2S}{gt^2}$

Подставляем численные данные:

$\mu=\frac{1}{4}-\left(1+\frac{1}{4}\right)\frac{1,6}{40}=0,2$

Ответ: $\mu=0,2$ .

Задача 5. Ящик массой $m=50$ кг равномерно перемещают по полу с помощью прикрепленной к нему легкой веревки. Коэффициент трения между ящиком и полом $\mu=0,6$ , а веревка образует с горизонтом угол $\alpha=30^{\circ}$ . С какой силой следует тянуть веревку? (2013 г., вариант 3, №3)

Введем систему координат, и запишем уравнения по второму закону Ньютона по обеим осям:

К задаче 5

$\begin{Bmatrix}{0=-F_{tr}+F\cos{\alpha}}\\{N=mg-F\sin{\alpha}}\\{F_{tr}=\mu N}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{F_{tr}=F\cos{\alpha}}\\{N=mg-F\sin{\alpha}}\\{F_{tr}=\mu (mg-F\sin{\alpha})}\end{matrix}$

Тогда, приравнивая два выражения для силы трения, получим:

$F\cos{\alpha}=\mu (mg-F\sin{\alpha})$

$F\cos{\alpha}=\mu mg-\mu F\sin{\alpha}$

$\mu mg= F(\cos{\alpha}+\mu \sin{\alpha})$

$F=\frac{\mu mg }{\cos{\alpha}+\mu \sin{\alpha}}$

Подставляем численные данные:

$F=\frac{0,6\cdot50\cdot10 }{\frac{\sqrt{3}}{2}+0,6\cdot0,5}=257,5$

Ответ: 258 Н

Задача 6. Горизонтальный диск медленно раскручивают вокруг вертикальной оси. На поверхности диска находится небольшое тело, которое вращается вместе с диском. Когда частота вращения диска достигает значения $n=30$ об/мин, тело начинает скользить по диску. Найдите, на каком расстоянии от оси вращения находилось тело, если коэффициент трения между телом и поверхностью диска равен $\mu=0,2$ . (2015 г., вариант 7, №1)

К задаче 6

На вращающееся тело будет действовать центростремительная сила, выражение для которой мы запишем так:

$F_n=ma_n=\frac{m\upsilon^2}{R}$

Запишем второй закон Ньютона:

$F_n=F_{tr}$

$\frac{m\upsilon^2}{R}=\mu m g$

Давайте определим скорость тела. По частоте вращения в об/мин определяем ее в герцах: $\nu=0,5$ Гц. Скорость – частное от деления пути, пройденного телом (это длина окружности $2 \pi R$ ) на время (это период), или