Подготовка в СУНЦ МГУ: трение, экзамен в 10 класс

[latexpage]

Сила трения всегда направлена против движения или возможного направления движения. Если вводить систему координат и аккуратно записывать в уравнения все силы по осям – тогда ошибок быть не должно. Не забывайте раскладывать силы на составляющие по осям, если  направления этих сил не совпадают с выбранными осями.

Задача 1.  Вверх по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту $\alpha=45^{\circ}$ пущена шайба.  Коэффициент трения шайбы о плоскость $\mu=0,5$. Во сколько раз время спуска шайбы  $t_2$ больше времени подъема $t_1$? (2014 г., вариант 1, №3)

Нарисуем чертеж. Вернее, потребуется два похожих чертежа: для спуска и для подъема. При движении шайбы вниз и вверх сила трения будет направлена в разные стороны. Направим на обоих рисунках ось $x$ вверх вдоль плоскости, а ось $y$ – перпендикулярно плоскости вверх.

Тогда для подъема, разложив силу тяжести на две составляющие, можем записать:

$$\begin{Bmatrix}{-ma_1=-F_{tr}-mg\sin{\alpha}}\\{N=mg\cos{\alpha}}\\{F_{tr}=\mu N}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ma_1= \mu mg\cos{\alpha}+mg\sin{\alpha}}\\{N=mg\cos{\alpha}}\end{matrix}$$

$$a_1= \mu g \cos{\alpha}+g\sin{\alpha}$$

Для равнозамедленного движения шайбы вверх запишем уравнение:

$$\upsilon=\upsilon_0-a_1t_1$$

Так как в наивысшей точке шайба остановится, то

$$\upsilon_0-a_1t_1=0$$

$$\upsilon_0=a_1t_1$$

Путь шайбы

$$S=\upsilon_0t_1-\frac{a_1t_1^2}{2}=a_1t_1^2-\frac{a_1t_1^2}{2}=\frac{a_1t_1^2}{2}$$

Теперь для спуска шайбы вниз имеем:

$$\begin{Bmatrix}{-ma_2=F_{tr}-mg\sin{\alpha}}\\{N=mg\cos{\alpha}}\\{F_{tr}=\mu N}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ma_2= -\mu mg\cos{\alpha}+mg\sin{\alpha}}\\{N=mg\cos{\alpha}}\end{matrix}$$

$$a_2= -\mu g \cos{\alpha}+g\sin{\alpha}$$

Путь на спуске такой же, как на подъеме:

$$S=\frac{a_2t_2^2}{2}$$

Получаем, что

$$\frac{a_1t_1^2}{2}=\frac{a_2t_2^2}{2}$$

$$a_1t_1^2= a_2t_2^2$$

Тогда отношение времени спуска ко времени подъема равно:

$$\frac{t_2}{t_1}=\sqrt{\frac{a_1}{a_2}}=\sqrt{\frac{ g\sin{\alpha} +\mu g \cos{\alpha}}{ g\sin{\alpha} -\mu g \cos{\alpha}}}=\sqrt{\frac{ 10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} +0,5\cdot10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{10\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} – 0,5\cdot10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}}=\sqrt{3}=1,7$$

Ответ: в 1,7 раза.

 

Задача 2. Вверх по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту $\alpha=30^{\circ}$ пущена шайба со скоростью $\upsilon_0=17$ м/с. Через некоторое время она останавливается и соскальзывает вниз. С какой скоростью она вернется  в исходную точку, если коэффициент трения шайбы о плоскость $\mu=\frac{1}{2\sqrt{3}}$. (2014 г., вариант 2, №3)

Для равнозамедленного движения шайбы вверх запишем уравнение:

$$\upsilon=\upsilon_0-a_1t_1$$

Так как в наивысшей точке шайба остановится, то

$$\upsilon_0-a_1t_1=0$$

Для спуска

$$\upsilon=a_2t_2$$

Тогда

$$\frac{\upsilon }{\upsilon_0}=\frac{ a_2t_2}{ a_1t_1}$$

Из предыдущей задачи знаем, что

$$\frac{t_2}{t_1}=\sqrt{\frac{a_1}{a_2}}$$

Следовательно,

$$\frac{\upsilon }{\upsilon_0}=\sqrt{\frac{ a_2}{ a_1}}$$

Поэтому скорость в конце спуска

$$\upsilon=\upsilon_0\sqrt{\frac{ a_2}{ a_1}}$$

Отношение ускорений найдены в предыдущей задаче, поэтому ответ:

$$\upsilon=\upsilon_0\sqrt{\frac{ g\sin{\alpha} -\mu g \cos{\alpha}}{ g\sin{\alpha} +\mu g \cos{\alpha}}}=17\sqrt{\frac{ 10\cdot0,5 -\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{10\cdot0,5 + \frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{17}{\sqrt{3}}=10$$

Ответ:  10 м/с.

 

Задача 3. Хоккейная шайба массой $m=150$ г влетела в ворота и ударила в сетку, которая прогнулась на $s=7,5$ см. Максимальная сила взаимодействия между сеткой и шайбой была $F=1,25$ кН. С какой скоростью летела шайба перед ударом о сетку? Считать, что сила упругости меняется в зависимости от прогиба сетки по закону Гука. (2014 г., вариант 3, №3)

Кинетическая энергия шайбы перед ударом равна

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Эта энергия перешла в потенциальную энергию растянутой сетки:

$$E_p=\frac{ks^2}{2}$$

Поэтому

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{ks^2}{2}$$

Сила упругости равна $F=ks$, подставим:

$$ m\upsilon^2=Fs$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{ Fs }{m}}=\sqrt{\frac{ 1,25\cdot10^3\cdot0,075 }{0,15}}=25$$

Ответ:  25 м/с.

Задача 4.  Брусок массой $m_1=400$ г находится на горизонтальном столе, на конце которого укреплен легкий блок. При помощи перекинутой через блок легкой нити  брусок связан с висящим на ней  грузом массой $m_2=100$ г. Найдите коэффициент трения бруска о стол, если груз из состояния покоя опускается на расстояние $S=80$ см за время $t=2$ с. (2013 г., вариант 9, №2)

Определим ускорение брусков:

$$a=\frac{2S}{t^2}$$

Направив ось $x$ вправо, можем записать уравнение по второму закону Ньютона для первого бруска:

$$m_1a=T-F_{tr}$$

Где $T$ – сила натяжения нити. Она пока неизвестна нам, найдем ее, записав аналогичное уравнение для второго бруска:

$$m_2a=m_2g-T$$

$$T=m_2(g-a)$$

Подставим эту силу в уравнение для первого бруска:

$$m_1a= m_2(g-a)-F_{tr}$$

$$m_1a= m_2(g-a)-\mu m_1 g$$

$$\mu=\frac{ m_2(g-a)- m_1a }{ m_1 g }=\frac{m_2}{m_1}-\frac{a}{g}\cdot\frac{m_2}{m_1}-\frac{a}{g}=\frac{m_2}{m_1}-\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)\frac{2S}{gt^2}$$

Подставляем численные данные:

$$\mu=\frac{1}{4}-\left(1+\frac{1}{4}\right)\frac{1,6}{40}=0,2$$

Ответ: $\mu=0,2$.

Задача 5. Ящик массой $m=50$ кг равномерно перемещают по полу с помощью прикрепленной к нему легкой веревки. Коэффициент трения между ящиком и полом $\mu=0,6$, а веревка образует с горизонтом угол $\alpha=30^{\circ}$. С какой силой следует тянуть веревку? (2013 г., вариант 3, №3)

Введем систему координат, и запишем уравнения по второму закону Ньютона по обеим осям:

$$\begin{Bmatrix}{0=-F_{tr}+F\cos{\alpha}}\\{N=mg-F\sin{\alpha}}\\{F_{tr}=\mu N}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{F_{tr}=F\cos{\alpha}}\\{N=mg-F\sin{\alpha}}\\{F_{tr}=\mu (mg-F\sin{\alpha})}\end{matrix}$$

Тогда, приравнивая два выражения для силы трения, получим:

$$ F\cos{\alpha}=\mu (mg-F\sin{\alpha})$$

$$ F\cos{\alpha}=\mu mg-\mu F\sin{\alpha}$$

$$\mu mg= F(\cos{\alpha}+\mu \sin{\alpha})$$

$$F=\frac{\mu mg }{\cos{\alpha}+\mu \sin{\alpha}}$$

Подставляем численные данные:

$$F=\frac{0,6\cdot50\cdot10 }{\frac{\sqrt{3}}{2}+0,6\cdot0,5}=257,5$$

Ответ: 258 Н

 

Задача 6. Горизонтальный диск медленно раскручивают  вокруг вертикальной оси. На поверхности диска находится небольшое тело, которое вращается вместе с диском.  Когда частота вращения диска достигает значения $n=30$ об/мин, тело начинает скользить по диску. Найдите, на каком расстоянии от оси вращения находилось тело, если коэффициент трения  между телом и поверхностью диска равен $\mu=0,2$. (2015 г., вариант 7, №1)

На вращающееся тело будет действовать центростремительная сила, выражение для которой мы запишем так:

$$F_n=ma_n=\frac{m\upsilon^2}{R}$$

Запишем второй закон Ньютона:

$$ F_n=F_{tr}$$

$$\frac{m\upsilon^2}{R}=\mu m g$$

Давайте определим скорость тела. По частоте вращения в об/мин определяем  ее в герцах: $\nu=0,5$ Гц. Скорость – частное от деления пути, пройденного телом (это длина окружности $2 \pi R$) на время (это период), или

$$\upsilon=\frac{2 \pi R }{T}=2 \pi R \nu$$

Тогда

$$\frac{ 4 \pi^2 R^2 \nu^2}{R}=\mu g$$

$$4 \pi^2 R \nu^2=\mu g$$

$$R=\frac{\mu g }{4 \pi^2 \nu^2}=\frac{2}{4\cdot 3,14^2\cdot\frac{1}{4}}=\frac{2}{3,14^2}=0,2$$

Ответ: 20 см.