Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Сила Архимеда

Подготовка в СУНЦ МГУ: сила Архимеда

Эта статья продолжает серию по подготовке к поступлению в 10 класс СУНЦ МГУ. В ней вам предложены задачи экзаменов разных лет, объединенные темой “сила Архимеда”.

Задача 1. Доска длиной L=3,5 м и поперечным сечением S=0,04 м^2 плавает в воде. Какую наибольшую массу может иметь человек, чтобы доска не погрузилась полностью, когда он встанет на нее? Плотность дерева \rho=500 кг/м^3, плотность воды \rho_0=1 г/см^3.

Чтобы доска не погрузилась, нужно, чтобы сила архимеда была бы больше или равна, чем сила тяжести, действующая на саму доску и человека, стоящего на ней.

    \[F_A \geqslant g(m_d+m_{ch})\]

Сила Архимеда зависит от объема, погруженного в жидкость:

    \[F_A=\rho g V=\rho g S L\]

Имеем неравенство:

    \[\rho g S L\geqslant g(m_d+m_{ch})\]

    \[\rho S L\geqslant m_d+m_{ch}\]

    \[m_{ch}\leqslant \rho S L- m_d\]

Масса доски равна m_d=\rho_d V=\rho_d S L.

    \[m_{ch}\leqslant \rho S L- \rho_d S L\]

    \[m_{ch}\leqslant SL(\rho -\rho_d)\]

    \[m_{ch}\leqslant 0,04\cdot3,5(1000 -500)=70\]

Ответ: масса человека должна быть не более 70 кг, в случае, если масса будет равна 70 кг доска погрузится полностью.

Задача 2. Тело плотностью \rho=0,8\cdot10^3 кг/м^3 плавает в жидкости плотностью \rho_g=1,2\cdot10^3 кг/м^3. Во сколько раз объем погруженной части тела больше объема выступающей части?

Запишем условие плавания:

    \[F_A=mg\]

    \[\rho g V_p=mg\]

    \[\rho  V_p=\rho_t V\]

Тогда отношение объема погруженной части V_p к полному объему тела V равно:

    \[\frac{V_p}{V}=\frac{\rho_t }{\rho}=\frac{0,8}{1,2}=\frac{2}{3}\]

Следовательно, если погружено \frac{2}{3} объема, то выступает \frac{1}{3}, и объем погруженной части вдвое больше, чем выступающей.

Ответ: в 2 раза.

Задача 3. Льдина плавает в воде, при этом объем ее надводной части V=2,5 м^3. Определите массу льдины. Плотность льда \rho_l=900 кг/м^3, плотность воды \rho_0=1 г/см^3.

Запишем условие плавания:

    \[F_A=mg\]

    \[\rho g V_p=mg\]

    \[\rho  V_p=\rho_t V\]

Тогда отношение объема погруженной части V_p к полному объему льдины V равно:

    \[\frac{V_p}{V}=\frac{\rho_t }{\rho}=\frac{900}{1000}=\frac{9}{10}\]

Следовательно, если погружено 0,9 объема, то выступает 0,1, а это 2,5 м^3, и объем всей льдины тогда равен 25 м^3, а масса такого объема льдины равна

    \[m_L=\rho_L\cdotV=900\cdot 25=22500\]

Ответ: 22,5 тонны.

Задача 4. В плавающую в воде открытую консервную банку медленно наливают воду. Банка начинает тонуть, когда масса налитой воды равна m=200 г. Найдите массу банки, если площадь дна банки равна S=35 см^2, а высота H=8 см. Плотность воды \rho_0=1 г/см^3.

Запишем условие плавания:

    \[F_A=mg\]

    \[\rho g V_p=(m_b+m_v)g\]

    \[\rho  V_p= m_b+m_v\]

Объем воды массой 200 г составляет 200 мл, при имеющихся геометрических размерах объем банки будет равен:

    \[V=Sh=35\cdot8=280\]

То есть когда из 280 мл объема банки 200 опустятся ниже уровня воды, банка начинает тонуть, или сила Архимеда и вес равны. Откуда следует вывод, что масса банки 80 г.

Ответ: 80 г.

Задача 5. Определите наименьшую толщину плоской однородной льдины, способной удержать на своей поверхности человека массой m=70 кг, если ее площадь S=3 м^2. Плотность льда \rho_l=900 кг/м^3, плотность воды \rho_0=1 г/см^3.

Запишем условие плавания:

    \[F_A=mg\]

    \[\rho_0 g V_p=(m_L+m)g\]

    \[\rho_0  V_p= m_L+m\]

В предельном случае льдина погрузится так, что ее верхняя поверхность совпадет с уровнем воды, поэтому

    \[V_p=Sh\]

    \[\rho_0 Sh = Sh\rho_l+m\]

    \[\rho_0 Sh - Sh\rho_l=m\]

    \[Sh(\rho_0  - \rho_l)=m\]

    \[h=\frac{m}{S(\rho_0  - \rho_l)}=\frac{70}{3(1000-900)}=0,23\]

Ответ: 23 см

 

Задача 6. Масса пробкового спасательного круга равна m=4,8 кг. Какова подъемная сила этого круга в пресной воде? Плотность пробки \rho_{pr}=0,24 г/см^3, плотность воды \rho_0=1 г/см^3.

Если круг погрузится весь, то сила Архимеда, выталкивающая его, будет равна

    \[F_A=\rho g V\]

Но часть этой силы пойдет на поддержание на плаву самого круга, а оставшаяся часть – на поддержание тонущего:

    \[F=F_A-mg=\rho g V-mg=\rho g \frac{m}{\rho_{pr}}-mg=mg(\frac{\rho}{\rho_{pr}}-1)= 48(\frac{1000}{240}-1)=152\]

Ответ: 152 Н

Задача 7. Радиозонд объемом  V=10 м^3 наполнен водородом. Какой массы радиоаппаратуру  он может поднять, если масса его оболочки равна m=600 г? Плотность водорода \rho_v=0,09 кг/м^3, плотность воздуха \rho_0=1,29 кг/м^3.

Подъемная сила равна разности силы Архимеда и силы тяжести:

    \[F=F_A-mg=F_A-g(m+m_{H})=\rho_0 g V-g(m+\rho_vV)\]

    \[m_ag=\rho_0 g V-g(m+\rho_vV)\]

    \[m_a=\rho_0  V-m-\rho_vV=1,29\cdot10-0,6-0,09\cdot10=11,4\]

Ответ: 11,4 кг.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *