[latexpage]
Для решения этих задач потребуется не только условие плавания, но и знание газовых законов. Задачи несложные, “изюминки” я в них не нашла.
Задача 1. Однородное тело массой $m=1$ кг, утонувшее в жидкости плотностью $\rho_1=810$ кг/м$^3$, давит на дно с силой $F=1$ Н. Какая часть $\alpha$ этого тела погружена в воду, когда оно плавает на ее поверхности? Плотность воды равна $\rho_2=1000$ кг/м$^3$. В расчетах принять $g=10$ м/с$^2$.
Сила тяжести равна $mg=10$ Н. Таким образом, раз тело давит на дно с силой 1 Н, то сила Архимеда равна 9 Н (может быть, тело неправильной формы и жидкость попадает под него). Это позволяет найти объем тела, так как известно, что оно утонуло.
$$F_{A1}=\rho_1\cdotg V$$
$$V=\frac{ F_{A1}}{\rho_1\cdotg }=\frac{9}{810\cdot10}=\frac{1}{900}$$
Теперь рассмотрим плавание тела в воде. Условие плавания:
$$mg=F_{A2}=\rho_2\cdot g V_{pogr}$$
$$ V_{pogr}=\frac{ mg }\rho_2\cdot g }=\frac{10}{1000\cdot10}=0,001$$
Определим, какую часть объема составляет погруженная часть:
$$\frac{ V_{pogr}}{V}=\frac{900}{1000}=0,9$$
Ответ: 0,9
Задача 2. Воздушный шар с эластичной оболочкой у поверхности земли при нормальном атмосферном давлении $p_0$ и температуре $T_0$ испытывает архимедову силу $F_0$. Найдите действующую на него архимедову силу $F_1$ на некоторой высоте $h$, где давление атмосферы $p_1$, а ее температура $T_1$. Газ из воздушного шара не вытекает. Давлением, обусловленным кривизной оболочки, пренебречь.
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для шара у земли:
$$p_0V_0=\nu R T_0$$
Откуда определим $V_0$:
$$V_0=\frac{\nu R T_0}{p_0}$$
Тогда сила Архимеда у земли равна
$$F_{A0}=\rho_0 g V_0=\frac{\nu R T_0\rho_0 g}{p_0}$$
Если аналогично записать все выкладки для шара на высоте $h$, то получим
$$F_{A1}=\rho_1 g V_1=\frac{\nu R T_1\rho_1 g}{p_1}$$
То есть отношение сил $F_{A1}$ и $F_{A0}$:
$$\frac{F_{A1}}{ F_{A0}} = \frac{p_0 }{\rho_0T_0}\cdot \frac{\rho_1 T_1}{p_1}$$
Оба отношения равны произведению $\nu R$, следовательно,
$$ F_{A1}= F_{A0}$$
Ответ: $ F_{A1}= F_{A0}$.
Задача 3. Пузырек воздуха поднимается со дна водоема глубиной $H$. Пренебрегая давлением водяного пара и силами поверхностного натяжения, найдите зависимость объема $V$ пузырька от глубины $h$ его погружения, если его объем на дне равен $V_0$. Процесс всплытия пузырька считать изотермическим.
Так как процесс изотермический, то применим закон Бойля-Мариотта:
$$p_1V_1=p_2V_2$$
Давление внутри пузырька $p_1$ у дна
$$p_1=p_0+\rho g H$$
Давление внутри пузырька $p_2$ на глубине $h$
$$p_2=p_0+\rho g h$$
Тогда из закона Бойля-Мариотта
$$V_2=\frac{ p_1V_1}{p_2}=\frac{( p_0+\rho g H)V_1}{ p_0+\rho g h }$$
Ответ: $V_2=\frac{( p_0+\rho g H)V_1}{ p_0+\rho g h }$.
Задача 4. На полу неподвижного лифта стоит ведро с водой, в котором плавает кусок льда. Лифт начинает двигаться вверх с ускорением $a=0,2g$. Утонет ли льдина, если плотность льда $\rho=0,9$ г/см$^3$. Ответ обосновать.
Вес льдины в ускоряющемся лифте равен:
$$P=m(g+a)$$
А Архимедова сила
$$F_A=\rho (g+a) V$$
То есть сила Архимеда увеличивается во столько же раз, во сколько и вес, следовательно, льдина не погрузится глубже, чем до начала движения лифта. А до начала движения льдина не тонет по причине того, что плотность льда меньше, чем у воды.
Комментариев - 2
Задача 2. Решена неверно. Ответ верный, а решение нет. К сожалению или счастью, объём меняется. Но при этом меняется и плотность. Поскольку мы пренебрегаем влиянием “резины шара”, то давление внутри соответствует давлению снаружи. В таком случае, при равных температураз меняется как давление, так и плотность.
Потому сила Архимеда – константа.
И потому еще, что она равна силе тяжести. Согласна с Вами. Исправлено.